探討初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

探討初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

沈丹【摘要】數(shù)學(xué)一直被稱作是科學(xué)之王，是一切知識(shí)的最高形式。初中數(shù)學(xué)包含方程、函數(shù)、幾何等豐富內(nèi)容，對(duì)很多學(xué)生來講，復(fù)雜且抽象，學(xué)起來很吃力。動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)函數(shù)題型中常見的問題，存在一定的難度。在動(dòng)點(diǎn)問題的學(xué)習(xí)上，很多學(xué)生都有畏難心理，教師在進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)時(shí)，可以把問題拆分為幾個(gè)小問題，從淺到深，化動(dòng)為靜，使學(xué)生逐步掌握動(dòng)點(diǎn)問題的解決方式?！綤ey】初中數(shù)學(xué);動(dòng)點(diǎn);解題策略G633.6

A

1671-8437（2020）28-0174-02動(dòng)點(diǎn)問題是一類開放性題型，具有較強(qiáng)的靈活性，在解題時(shí)需要把握好動(dòng)點(diǎn)問題的解題思路，將問題主體拆分成若干個(gè)小問題，由淺入深，層層遞進(jìn)，將一切動(dòng)點(diǎn)問題靜點(diǎn)化，通過動(dòng)中取靜和動(dòng)靜互換的方式確定題中變量間的關(guān)系、把握運(yùn)動(dòng)位置、構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，以此探尋解決問題的思路和辦法。動(dòng)點(diǎn)問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維具有重要幫助，借助該思維方式，學(xué)生可以有效地解決數(shù)學(xué)中的類似問題，提升分析和解決問題的能力。1

明確問題中變量與不變量之間的關(guān)系動(dòng)點(diǎn)問題的解決需要借助空間想象力，學(xué)生要想象問題中的動(dòng)點(diǎn)，在“動(dòng)”中求“靜”，教師要在課堂上給學(xué)生演示，讓學(xué)生理解變量和不變量之間的關(guān)系[1]。在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，學(xué)生需要找出條件中變量與不變量之間的關(guān)系，確定圖形運(yùn)動(dòng)中變量與不變量之間的關(guān)系，從而找到有效的解決方法。明確問題中的變量和不變量關(guān)系的解題方法，可以讓學(xué)生迅速在腦海進(jìn)行解決問題的構(gòu)想，選擇適合解決問題的方法，從而有效地提高解題的正確率。2

構(gòu)建圖形中變量的函數(shù)關(guān)系很多解題方法是通過動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡來解題，如一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，均勻繞扇形的一端一周，螞蟻爬行的時(shí)間為，螞蟻到點(diǎn)的距離為，計(jì)算的函數(shù)圖象。分析：→的運(yùn)動(dòng)過程中，螞蟻到點(diǎn)的距離隨著爬行時(shí)間的增加而增加;→的運(yùn)動(dòng)過程中，螞蟻到點(diǎn)的距離幾乎不變;→的運(yùn)動(dòng)過程中，螞蟻到點(diǎn)的距離隨爬行時(shí)間的增大而縮小。用這種思維方式思考問題可以解答很多相似的題，如移動(dòng)點(diǎn)和點(diǎn)、點(diǎn)組成的的形狀面積如何變化？3

二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題在中學(xué)數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題難度較大，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到頗多困難。通過一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將幾何圖形與二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合，解這類題需要具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和較強(qiáng)的理解能力[2]。充分把握二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)知識(shí)，既能讓已學(xué)知識(shí)得到有效鞏固，還能提高思維能力，提高答題的準(zhǔn)確率。數(shù)學(xué)是一門抽象且復(fù)雜的學(xué)科，不僅需要學(xué)生具有強(qiáng)大的空間、邏輯思維，還要求學(xué)生全面提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力及數(shù)學(xué)計(jì)算能力。然而，部分學(xué)生并沒有很好地掌握該知識(shí)點(diǎn)，也不能熟練地運(yùn)用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這就需要教師提高課堂質(zhì)量，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題的時(shí)候不那么困難。另外，教師的單一教學(xué)方式也是問題之一，數(shù)學(xué)的靈活性很強(qiáng)，很多數(shù)學(xué)題都有不同的解法，部分教師在上課時(shí)不僅缺乏多種方法，還缺乏引導(dǎo)學(xué)生去探索另一種解法的鼓勵(lì)。要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，教師就要進(jìn)行多元化教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的多種解題思維。在學(xué)習(xí)動(dòng)點(diǎn)的時(shí)候，學(xué)生需要努力，教師也需要努力，應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生有勇氣面對(duì)動(dòng)點(diǎn)難題，提高學(xué)習(xí)效率。4

把握運(yùn)動(dòng)中的特殊位置在利用動(dòng)點(diǎn)求一個(gè)值或者一個(gè)圖形時(shí)，學(xué)生應(yīng)該注意動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置和規(guī)律，把運(yùn)動(dòng)軌跡連接起來，捕捉圖形運(yùn)動(dòng)變化所隱藏的靜態(tài)瞬間，將一般的問題特殊化，尋求動(dòng)與靜的內(nèi)在關(guān)系。在動(dòng)點(diǎn)問題上，就像探索二次函數(shù)的性質(zhì)一樣，為了說明這部分的知識(shí)，傳統(tǒng)的教法是這樣的：首先取5個(gè)以上的動(dòng)點(diǎn)，在練習(xí)本上畫圖象，然后研究二次函數(shù)的性質(zhì)。在新教材中，可調(diào)整這里的部分知識(shí)，有效地融合幾何畫板和數(shù)學(xué)教學(xué)，在教室里進(jìn)行二次函數(shù)圖象的幾何畫板授課[3]。5

動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略與措施5.1

靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)，探索多種解題方法數(shù)學(xué)問題的魅力在于其沒有一種固定的解題思路，教師在教學(xué)中必須改變固有的思考方式，采取多元化的教學(xué)方法，明確地反映客觀事實(shí)，幫助學(xué)生迅速、有效地理解其中的知識(shí)點(diǎn)。如果一板一眼地上課，學(xué)生遲早會(huì)感到厭倦。如針對(duì)初中函數(shù)的常見問題：如何把二次函數(shù)的圖象移動(dòng)到的圖象的位置？看到問題后可以先作圖，然后根據(jù)“左加右減”的法則，將向左平移2個(gè)單位變成，再根據(jù)“上增下減”的法則，將“+2”變?yōu)椤?3”，必須將整個(gè)函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位。所以，答案是先向左移動(dòng)2個(gè)單位，再往下移動(dòng)5個(gè)單位。通過從不同角度思考問題來鍛煉思維。5.2

聯(lián)系生活用輔助工具解題生活中，有很多常見的東西可以讓人聯(lián)想到動(dòng)點(diǎn)，利用生活中的事物輔助學(xué)生答題，能夠讓學(xué)生更加容易理解。對(duì)此，教師應(yīng)在上課前做好充足準(zhǔn)備，選用更加生活化的題，在準(zhǔn)備教案時(shí)考慮學(xué)生的特性，使其掌握二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的整體內(nèi)容。另外，教師也可以在課堂中將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活聯(lián)系，幫助學(xué)生更加形象地理解函數(shù)。如與幾何圖形結(jié)合，讓學(xué)生更加直觀地看到動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的軌跡，更加直觀、方便地找出其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而有效地完成解答。5.3

引導(dǎo)探究，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單函數(shù)本身是很難理解的，在教授二次函數(shù)問題時(shí)，教師要盡量選擇科學(xué)、恰當(dāng)、通俗易懂的授課方式，簡(jiǎn)單、直觀地教授學(xué)生。如在教授函數(shù)知識(shí)時(shí)，教師可以先把一條直線上兩點(diǎn)之間的距離用代替，把復(fù)雜的坐標(biāo)用數(shù)字標(biāo)出來，方便學(xué)生直觀理解，然后列舉出一些組數(shù)值（注意選擇簡(jiǎn)單、有特點(diǎn)的數(shù)值），讓學(xué)生看到函數(shù)值的變化。如是二次函數(shù)的一般式，是帶有二次函數(shù)根的表達(dá)式。教師可以利用不同的教授方法，引導(dǎo)學(xué)生掌握多種多樣的思考方法，提高解題能力。6

動(dòng)點(diǎn)問題的解法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到題目中有這樣一句話“加上，沿著某條線運(yùn)動(dòng)”，這樣的問題叫做“動(dòng)點(diǎn)問題”。動(dòng)點(diǎn)問題與一般的幾何問題不同，其圖形形狀會(huì)隨著動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化。學(xué)生在遇到這樣的問題時(shí)經(jīng)常在兩個(gè)地方出問題：一是不知道問題是什么;二是無法理解題目的意思。那么，要怎樣避免這樣的問題呢？在這里，筆者分享一下關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。如題：在直角梯形中，、B=90°、=16cm、=6cm、=24cm，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，若、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)達(dá)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒。（1）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？（2）四邊形有可能是菱形嗎？（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是直角梯形？（4）是否存在，使得四邊形是等腰梯形？針對(duì)這個(gè)例題，按照上述步驟進(jìn)行嘗試。解析：（1）點(diǎn)和點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，剩下的點(diǎn)為定點(diǎn)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)是點(diǎn)，終點(diǎn)是點(diǎn)，方向是從到，速度是1cm/s;點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)是點(diǎn)，終點(diǎn)是點(diǎn)，方向是從到，速度是4cm/s?？梢钥吹絻蓚€(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)的速度很快。另外，這里需要特別注意，點(diǎn)從移動(dòng)到需要16秒，點(diǎn)從移到只需要6秒。條件是“其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一個(gè)要點(diǎn)就是停止運(yùn)動(dòng)”，所以，題中總共的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最多是6秒。（2）表示線段。運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，=、=4、=16-、=24-4、=6、=10。（3）列方程式。這里利用幾何圖形本身的性質(zhì)，找出其中的等量關(guān)系，排列公式。等邊：=16-=4=3.2。菱形：四邊相等，===，即=3.2，所以=12.8，但==10，矛盾，故不可能形成菱形。直角梯形：根據(jù)四邊形為矩形，矩形的對(duì)邊也相等，得==24-4，即=4.8。等腰梯形：等腰梯形的高度，基于兩個(gè)三角形的聯(lián)合。分別過點(diǎn)、做邊上的垂線，垂足分別為、，=-（24-4）=24-16=6。檢驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)結(jié)果超過了6，去除。所以，不能形成等腰梯形。綜上所述，對(duì)于初中數(shù)學(xué)中的動(dòng)點(diǎn)問題，教師需要研討出更多的方法，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索和研究，使學(xué)生多接觸和了解一些動(dòng)點(diǎn)題型，積累經(jīng)驗(yàn)，這樣在解題的時(shí)候，學(xué)生才可能想出更多的解答方法。教師也要多鍛煉學(xué)生從不同角度、維度思考問題的習(xí)慣，提高其舉一反三的