平面向量共線問題的再探討

平面向量共線問題的再探討

Summary：平面向量的平行與垂直是高中數(shù)學(xué)新課程向量部分的重要內(nèi)容，本文旨在對平面向量平行（即共線）相關(guān)定理進行推廣，得到兩個更加具有一般性的結(jié)論，并舉例說明它們的應(yīng)用，使問題的解決更簡捷。Keys：平面向量、共線定理、推廣、應(yīng)用。平面向量的共線，這部分內(nèi)容比較重要，在各種考試中也頻頻出現(xiàn)，教材上就兩個向量共線已給出兩個定理：向量與向量共線存在唯一實數(shù)，使得成立。向量與向量，則∥在此基礎(chǔ)之上，筆者對向量共線問題，再做進一步探討及推廣，若有不當(dāng)之處，請各位老師指正。對于定理（2）給出的結(jié)論，向量，的基底是單位正交向量：，，下面我們給出的結(jié)論中，涉及到的基底不一定是單位正交向量：，，而是任意一組基底：與，它更具有一般性。推論1：若，是不共線的兩個向量，，，與共線證明：與共線，當(dāng)且僅當(dāng)=，由①②平面向量基本定理得：①-②消去得：所以，與共線。上述結(jié)論還可以進一步推廣為：推論2：對于任意向量，，若，，那么與共線∥或證明：分兩種情況：與平行和與不平行（1）與平行時，結(jié)論成立。（2）與不平行時,與共線，當(dāng)且僅當(dāng)=，有：即：由①②平面向量基本定理得：①-②消去得：即：當(dāng)且僅當(dāng)時，與共線綜合（1）（2）知：與共線∥或上述兩個結(jié)論，尤其第二個，對向量共線的問題闡述得比較完備。在高考、模擬考、聯(lián)考等一系列考試中，常出現(xiàn)向量共線的問題，下面是兩個結(jié)論針對一些考題的應(yīng)用，所有例題都給出多種解法，其中“另解”應(yīng)用了上述結(jié)論，多種解法進行對比后，我們可以看出應(yīng)用上述結(jié)論可以使問題的解決更簡捷，從而節(jié)省時間。例1.（2009重慶卷文）已知向量，若與平行，則實數(shù)的值是（）A．-2B．0C．1D．2解法1：因為，，所以，由于與平行，得，解得，選D。解法2：因為與平行，則存在常數(shù)，使，即：，根據(jù)向量共線的條件知，向量與共線，故，選D。另解：因為與平行，即與平行，但，所以根據(jù)已知結(jié)論得：∥，所以有，，即得，選D。例2.已知，，當(dāng)為何值時，向量與平行？平行時它們是同向還是反向？解：∵，?！?，∵與平行∴解得.此時∴當(dāng)時，向量與平行，并且反向．另解：∵與不平行，且向量與平行?！?，即此時∴當(dāng)時，向量與平行，并且反向．例3.設(shè)兩個非零向量和不共線，如果，，，且A、C、D三點共線，求的值．解：，∵A、C、D三點共線，∴與共線，從而存在實數(shù)使得，即：，得，解得，.另解：由A、C、D三點共線，知與共線。所以，，故例4.若，是兩個不共線的非零向量，與起點相同，則當(dāng)為何值時，，，三向量的終點在同一條直線上？解：設(shè)，，，∴，要使A、B、C三點共線，只需.即:.∴有??！喈?dāng)時，三向量終點在同一直線上.另解：令，，。要使，，三向量的終點在同一條直線上，只需、、三點在同一條直線上.∵，?！?，即∴當(dāng)時，，，三向量終點在同一直線上.例PA5.已知點G是△ABO的重心，M是AB邊的中點，PQ過△ABO的重心G，且,,,,求證：.證M明：因為M是AB邊的中點所GB以又OQ因為G是△ABO的重心，所以.由P、G、Q三點共線，得∥，所以，有且只有一個實數(shù)，使.而，，所以.又因為、不共線，所以，消去，整理得，故.另證：∵G是△ABO的重心，所以.又∵,,,∴由P、G、Q三點共線，得∥，所以，去括號，整理得：等式兩邊同時除以得：結(jié)語：從以上5個例題可以看出靈活應(yīng)用定理及推論的重要性，一方面可使學(xué)生對向量共線