線性代數(shù)復(fù)習(xí) 初等變換 方程課件

第三章矩陣的初等變換與線性方程組掌握矩陣的初等變換，了解初等陣的性質(zhì)和矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法；1下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換

(i)對(duì)調(diào)兩行(列)

(ii)以非零數(shù)k乘某一行(列)中的所有元素

(3)把某一行(列)的k倍加到另一行(列)上去

矩陣的初等變換2矩陣的等價(jià)關(guān)系行等價(jià)列等價(jià)，等價(jià)等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)

(i)反身性A~A

(ii)對(duì)稱性若A~B

則B~A

(iii)傳遞性若A~B

B~C

則A~C

行階梯形矩陣，行最簡(jiǎn)形矩陣，標(biāo)準(zhǔn)形行最簡(jiǎn)形矩陣與線性方程組的解

如A與B是同階陣，則A、B等價(jià)存在可逆陣P、Q，使得PAQ=B；3定理2方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣P1P2

Pl

使AP1P2

Pl

推論1方陣A可逆的充分必要條件是A~E

r推論2

mn矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q使PAQB

若矩陣A可逆則矩陣(A

E)經(jīng)初等行變換可化為(E

A1)56說明

矩陣的秩設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D

且所有r1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式數(shù)r稱為矩陣A的秩記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

矩陣A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)

7矩陣秩的性質(zhì)

(8)若AmnBnlO則R(A)R(B)n

(7)R(AB)min{R(A)R(B)}

(6)R(AB)R(A)R(B)

(5)max{R(A)R(B)}R(AB)R(A)R(B)

特別地當(dāng)Bb為列向量時(shí)有R(A)R(Ab)R(A)1

(4)若P、Q可逆則R(PAQ)R(A)

(1)0R(Amn)min{m

n}

(2)R(AT)R(A)

(3)若A~B則R(A)R(B)8

Ax=0

有非零解

R(A)<n.求解1.化系數(shù)矩陣為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.

Ax=b有解R(A)=R(B).求解1.把增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.線性方程組10定理5

線性方程組Axb有解的充分必要條件是R(A)R(A

b)

定理6

n元齊次線性方程組Ax0有非零解的充分必要條件是R(A)n

定理4

n元線性方程組Axb(1)無解的充分必要條件是R(A)R(A

b)

(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)R(A

b)n

(3)有無限多解的充分必要條件是R(A)R(A

b)n

定理7

矩陣方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(A

B)

定理8

設(shè)ABC

則R(C)min{R(A)

R(B)}

定理9

矩陣方程AmnXnlO有零解的充分必要條件是R(A)n

12

例設(shè)非齊次線性方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0，則下面結(jié)論正確的是[].（A）若Ax=0有唯一解，則Ax=b必有唯一解；（B）若Ax=0有唯一解，則Ax=b必?zé)o解；（C）若Ax=0有無窮多個(gè)解，則Ax=b也有無窮多個(gè)解；（D）若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0也有無窮多個(gè)解.解D.D1415例設(shè)n階矩陣A