線性代數(shù)課件第一章課件

第一章行列式主對(duì)角線副對(duì)角線二階行列式的計(jì)算——對(duì)角線法則=

a11a22–a12a21三階行列式的計(jì)算——對(duì)角線法則逆序數(shù)在一個(gè)排列(i1

i2···

is

···it

···in)中,若數(shù)is>it,則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．n階行列式的定義或

n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即DT=D.性質(zhì)2:

互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).推論:

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.性質(zhì)3:

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.推論:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.性質(zhì)4:

行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零．性質(zhì)5:

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和,則該行列式等于兩個(gè)行列式之和.性質(zhì)6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式不變.行列式按行(列)展開在n階行列式D中,把元素aij所在的第i行和第j列元素劃去后,留下來的n–1階行列式叫做(行列式D的關(guān)于)元素aij的余子式,記作Mij.即記Aij=(–1)i+jMij,稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式.(1)8.克拉默法則定理1:(克拉默(Cramer)法則)如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,那么,線性方程組(1)有解,且解是唯一的,解可以表為其中Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式。

定理2:

如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一,則它的系數(shù)行列式必為零.

定理3:如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式D0,則齊次線性方程組沒有非零解.定理4:

如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式D必為零.在后面我們將證明:齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為它的系數(shù)行列式D必為零.例2:計(jì)算n階行列式典型例題可以按上例計(jì)算的行列式的共同特點(diǎn)：行列式每行元素的和相同。故，可把其他列元素加到第一列，然后提取第一列的公因子，把第一列元素變?yōu)?.行列式不同行元素只有兩個(gè)或三個(gè)元素不同，其余全相同。故，可用第一行元素去減其他行元素，把行列式變?yōu)?上、下)三角行列式。例:計(jì)算行列式上面的行列式稱為“三線型”行列式，指的是行列式出了某行，某列和對(duì)角線元素或次對(duì)角線元素非零外，其余元素均為零。計(jì)算方法：變?yōu)樯先切辛惺交蛳氯切辛惺嚼?計(jì)算行列式(和課后題6(5)類似)上面的行列式稱為“爪形三線型”行列式例2:

計(jì)算

評(píng)注:本題所給行列式各行(列)都是某元素的不同方冪,而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性質(zhì)(如提取公因子,調(diào)換各行(列)的次序等)將此行列式化成范德蒙行列式.例6:

證明“三線型”行列式，主對(duì)角線及兩個(gè)次對(duì)角線之外全為零元素評(píng)注:為了將Dn展開成用與Dn同形的行列式Dn–1,Dn–2表示,本例必須按第n行(或第n列)展開,不能用第1行(或第1列)展開,否則所得的低階行列式不是與Dn同形的行列式,從而無法進(jìn)行下一步證明.本題使用的是數(shù)學(xué)歸納法.

小結(jié):計(jì)算行列式的方法比較靈活,同一行列式可以有多種計(jì)算方法:有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用.在計(jì)算時(shí),首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn),利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后,再考察它是否能用常用的幾種方法.例：計(jì)算n+1階行列式課后習(xí)題6(5)證明課后習(xí)題8（3）計(jì)算行列式課后習(xí)題8（4）計(jì)算行列式課后習(xí)題8(6)，2010年期末考題

計(jì)算行列式課后習(xí)題11問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解?2010年期末考題填空題2009年期末考題計(jì)算行列式2008年期末考題計(jì)算行列式例7:求一個(gè)二次多項(xiàng)式f(x)=ax2+bx+c,使得f(1)=0,f(2)=3,f(–3)=28.解:由題意得f(1)=

a+b+c=0,f(2)=4a+2b+c=3,f(