線性代數(shù)系列課件

數(shù)學之所以有生命力，就在于有趣；

數(shù)學之所以有趣，就在于他對思維的啟迪。線性代數(shù)主講：工程數(shù)學教研室E-mail:g@課程的地位和作用★線性代數(shù)（LinearAlgebra）是代數(shù)學的一個分支，“代數(shù)”這一個詞在我國出現(xiàn)較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學”，一直沿用至今?！锞€性代數(shù)是一門非常重要的基礎課之一。線性代數(shù)主要處理的是線性關系的問題，隨著數(shù)學的發(fā)展，線性代數(shù)的含義也不斷的擴大。它的理論不僅滲透到了數(shù)學的許多分支中，而且還在理論物理、理論化學、工程技術、國民經濟、生物技術、航天、航海等領域中都有著廣泛的應用。§1二階與三階行列式§

2全排列及其逆序數(shù)§

3n階行列式的定義§

4對換§

5行列式的性質§

6行列式按行（列）展開§

7Cramer法則第一章行列式§1矩陣§

2矩陣的運算§

3逆矩陣§

4矩陣分塊法第二章矩陣及其運算§1矩陣的初等變換§

2矩陣的秩§

3線性方程組的解第三章矩陣的初等變換與

線性方程組第四章向量組的線性相關性§1n維向量§2向量組的線性相關性§3向量組的秩§4線性方程組解的結構§5向量空間第六章線性空間與線性變換§1線性空間的定義與性質§2維數(shù)、基與坐標§3基變換與坐標變換§4線性變換§5線性變換的矩陣表示§1二階與三階行列式1、二階行列式的引入2、三階行列式方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.

由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即說明2.元素的第一個下標表示元素所在的行，第二個下標表示元素所在的列.1.行列式中的每一個數(shù)稱為行列式的元素，一般用表示.3.行列式定義為一個表達式，當元素有具體數(shù)值時，行列式表示一個具體數(shù)值.主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式例1解二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．

2.

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.說明

1.對角線法則只適用于二階與三階行列式．例２

解按對角線法則，有

如果三元線性方程組的系數(shù)行列式

利用三階行列式求解三元線性方程組則三元線性方程組的解為:例4

解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式同理可得故方程組的解為:代入驗證

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結思考題思考題解答解設所求的二次多項式為由題意得得一個關于未知數(shù)的線性方程組,又得故所求多項式為§2全排列及其逆序數(shù)

掌握全排列、逆序數(shù)、奇偶排列等概念.

會計算逆序數(shù).一、概念的引入引例用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有二、全排列及其逆序數(shù)問題定義把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）.

個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用表示.由引例同理

在一個排列中，若兩元素次序與標準排列不同時，則稱這兩個元素組成一個逆序.例如排列32514中，定義

我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序,n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序.排列的逆序數(shù)32514逆序逆序逆序

在一個排列中，若數(shù)則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.定義

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如排列32514中，32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.排列的奇偶性分別計算出排列中每個元素前面比它大的元素個數(shù)再求和。方法1分別計算出排列中每個元素后面比它小的元素個數(shù)再求和.方法23.逆序數(shù)的計算：例1

求排列32514的逆序數(shù).解在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;32514于是排列32514的逆序數(shù)為例2

計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.解當時為偶排列；當時為奇排列.2

排列具有奇偶性.3計算排列逆序數(shù)常用的方法有2種.1個不同的元素的所有排列種數(shù)為三、小結§

3n階行列式的定義

掌握n階行列式的定義.

掌握三角形行列式的特性.一、概念的引入三階行列式說明（1）三階行列式共有項，即項．（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標排列．二、n階行列式的定義定義說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項的代數(shù)和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;5、的符號為例1計算對角行列式分析展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項為同理，下列行列式中不為零的項為：上述兩種行列式統(tǒng)稱為對角行列式：例2

證明對角行列式例3例4

計算上三角行列式上述行列式統(tǒng)稱為三角行列式同理下式為分析展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解同理可得下三角行列式例5計算解例6計算解1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.2、階行列式共有項，每項都是位于不同行、不同列的個元素的乘積,正負號由下標排列的逆序數(shù)決定.三、小結思考題已知思考題解答解含的項有兩項,即對應于對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三元素的乘積冠以負號．復習復習分別計算出排列中每個元素前面比它大的元素個數(shù)再求和。方法1分別計算出排列中每個元素后面比它小的元素個數(shù)再求和.方法2排列逆序數(shù)的計算：復習定義復習1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、階行列式是項的代數(shù)和;3、階行列式的每項都是位于不同行、不同列個元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;5、的符號為§

4對換一、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調，叫做相鄰對換．例如二、對換與排列的奇偶性的關系定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．證明①鄰換設排列為對換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當時，的逆序數(shù)不變;經對換后的逆序數(shù)增加1,經對換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列奇偶性改變.當時，現(xiàn)來對換與+1不變-1不變②對換設排列為次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列奇偶性改變.推論奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明

由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.定理2

階行列式也可定義為其中為行標排列的逆序數(shù).定理3

階行列式也可定義為其中是兩個級排列，為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.例1

在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.解431265的逆序數(shù)為所以前邊應帶正號.行標排列341562的逆序數(shù)為列標排列234165的逆序數(shù)為所以前邊應帶正號.下標的逆序數(shù)為所以不是六階行列式中的項.例2

試判斷和是否都是六階行列式中的項.解下標的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項.例3

用行列式的定義計算解

1.一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結思考題證明在全部階排列中,奇偶排列各占一半.§

5行列式的性質

掌握n行列式的性質.

熟練運用行列式的性質計算行列式.一、行列式的性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等.行列式稱為行列式的轉置行列式.記分析

故兩行列式相等。中任取一項

在D中找出與之對應的一項，有性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.例如推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．性質４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如性質６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．例如符號表示

①換行（列）②倍行（列）③倍行（列）加把第j行的k倍加到第i行

把第j列的k倍加到第i列

注意區(qū)分例１二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解例2

計算階行列式解將第都加到第一列得例3證明證明(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結行列式的6個性質性質1

行列式與它的轉置行列式相等.性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.行列式的性質：復習性質４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式可以拆成兩個行列式的和.性質６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．復習例：證明解：§

6行列式按行（列）展開

掌握余式式和代數(shù)余子式的定義.

會運用行列式按行（列）展開法則及其推論計算行列式.例如一、余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如引理一個階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那末這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如證當位于第一行第一列時,即有又從而再證一般情形,此時得得中的余子式故得于是有定理３行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即證二、行列式按行（列）展開法則例計算行列式解按第一行展開，得例1

證用數(shù)學歸納法例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1階范德蒙德行列式推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證同理相同關于代數(shù)余子式的重要性質例3

計算行列式解例4求1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.

三、小結思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成§

7Cramer法則設線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念一、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為證明在把個方程依次相加，得由代數(shù)余子式的性質可知,于是當時,方程組有唯一的一個解由于方程組與方程組等價,故也是方程組的解.二、重要定理定理1

如果線性方程組的系