比例解行程問題

比例解行程問題教學目標1、熟知行程中三個量的比例關(guān)系。2、運用比例關(guān)系解決行程問題。知識精講比例的知識是小學數(shù)學最后一個重要內(nèi)容，從某種意義上講仿佛扮演著一個小學“壓軸知識點”的角色。從一個工具性的知識點而言，比例在解很多應(yīng)用題時有著彳得天獨厚”的優(yōu)勢，往往體現(xiàn)在方法的靈活性和思維的巧妙性上，使得一道看似很難的題目變得簡單明了。比例的技巧不僅可用于解行程問題，對于工程問題、分數(shù)百分數(shù)應(yīng)用題也有廣泛的應(yīng)用。我們常常會應(yīng)用比例的工具分析2個物體在某一段相同路線上的運動情況，我們將甲、乙的速度、時間、路程分別用v,v；t,t；ss來表示，大體可分為以下兩種情況：甲乙甲乙甲，乙1.當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，經(jīng)過同一段時間后，他們走過的路程之比就等于他們的速度之比。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"卜=VXt s s1甲甲甲，這里因為時間相同，即t=t=t，所以由t=予，t=yIs=VXt 甲乙 甲V乙V\o"CurrentDocument"I乙乙乙 甲 乙ss sV得到t=q=f，T=T，甲乙在同一段時間t內(nèi)的路程之比等于速度比VV sV2.當2個物體運行速度在所討論的路線上保持不變時，走過相同的路程時，2個物體所用的時間之比等于他們速度的反比?！杭?'X'甲，這里因為路程相同，即s=s=s，由s=VXt，s=VXtIs=VXt 甲乙 甲甲甲乙乙乙I乙乙乙Vt_ 得s=VXt=VXt，i=與，甲乙在同一段路程s上的時間之比等于速度比的反比。甲甲乙乙Vt典型例題 乙甲模塊一：比例初步——利用簡單倍比關(guān)系進行解題【例1】（難度等級派※※）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【解析】畫一張簡單的示意圖：4千來 汗來京二 X 二I ＞小明I ^笆爸圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4=4（千米）.而爸爸騎的距離是4+8=12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12-4=3（倍）.按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8x3=24（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4+12=16（千米）.少騎行24-16=8（千米）.摩托車的速度是8+8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.所以這時是8點32分。注意：小明第2個4千米，也就是從A到B的過程中，爸爸一共走12千米，這一點是本題的關(guān)鍵.對時間相同或距離相同，但運動速度、方式不同的兩種狀態(tài)，是一大類行程問題的關(guān)鍵.本題的解答就巧妙地運用了這一點.【鞏固】 （難度等級※※※，歡歡和貝貝是同班同學，并且住在同一棟樓里.早晨7:40，歡歡從家出發(fā)騎車去學校，7:46追上了一直勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學校的通知，歡歡立即調(diào)頭，并將速度提高到原來的2倍，回家換好校服，再趕往學校；歡歡8:00趕到學校時，貝貝也恰好到學校.如果歡歡在家換校服用去6分鐘且調(diào)頭時間不計，那么貝貝從家里出發(fā)時是幾點幾分.【解析】歡歡從出發(fā)到追上貝貝用了6分鐘，她調(diào)頭后速度提高到原來的2倍，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，她回到家所用的時間為3分鐘，換衣服用時6分鐘，所以她再從家里出發(fā)到到達學校用了20-6-3-6=5分鐘，故她以原速度到達學校需要10分鐘，最開始她追上貝貝用了6分鐘，還剩下4分鐘的路程，而這4分鐘的路程貝貝走了14分鐘，所以歡歡的6分鐘路程貝貝要走14x（6+4）=21分鐘，也就是說歡歡追上貝貝時貝貝已走了21分鐘，所以貝貝是7點25分出發(fā)的.【例2】難度等級派派派）甲、乙兩車分別同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地95千米處相遇.相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇.求A、B兩地間的距離？【解析】畫線段示意圖（實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線）：95千米甲軍一"7.）…! 世 T V,-…乙小或1次相遇 第7次相科可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個A、B兩地間的距離.當甲、乙兩車共行了一個A、B兩地間的距離時，甲車行了95千米，當它們共行三個A、B兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即95x3=285（千米），而這285千米比一個A、B兩地間的距離多25千米，可得：95x3-25=285-25=260（千米）.【鞏固】（難度等級※※※）地鐵有A,B兩站，甲、乙二人都要在兩站間往返行走.兩人分別從A,B兩站同時出發(fā)，他們第一次相遇時距A站800米，第二次相遇時距B站500米.問：兩站相距多遠？【解析】從起點到第一次迎面相遇地點，兩人共同完成1個全長，從起點到第二次迎面相遇地點，兩人共同完成3個全長，一個全程中甲走1段800米，3個全程甲走的路程為3段800米.畫圖可知，由3倍關(guān)系得到：A,B兩站的距離為800x3-500=1900米【鞏固】（難度等級派派派）如右圖，A,B是圓的直徑的兩端，甲在A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在C點第一次相遇，在D點第二次相遇.已知C離A有80米，D離B有60米，求這個圓的周長.甲A-【解析】根據(jù)總結(jié)可知，第二次相遇時，乙一共走了80x3=240米，兩人的總路程和為一周半，又甲所走路程比一周少60米，說明乙的路程比半周多60米，那么圓形場地的半周長為240-60=180米，周長為180x2=360米.【例3】（難度等級※※※※，甲、乙兩人從相距490米的A、B兩地同時步行出發(fā)，相向而行，丙與甲同時從A出發(fā)，在甲、乙二人之間來回跑步遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回1）.已知丙每分鐘跑240米，甲每分鐘走40米,當丙第一次折返回來并與甲相遇時，甲、乙二人相距210米，那么乙每分鐘走 米；甲下一次遇到丙時，甲、乙相距 米.【解析】 如圖所示：A D ECBll III丙 假設(shè)乙、丙在C處相遇，然后丙返回，并在D處與甲相遇，此時乙則從走C處到E處.根據(jù)題意可知DE=210米.由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同時間內(nèi)丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是從A到C再到D的長度是AD的6倍，那么CD=（6AD—AD）+2=2.5AD,AC=3.5AD，可見CD=5AC.那么丙從C到D所用的7時間是從A到C所用時間的5，那么這段時間內(nèi)乙、丙所走的路程之和（CD加CE）是前一段時間內(nèi)乙、丙所走的路程之和（AC加BC,即全程）的￡，所以CD+CE=490義7=350，而CD—CE=DE=210,可得CD=280,CE=70.相同時間內(nèi)丙跑的路程是乙走的路程的280?70=4倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度為240?4=60（米/分），即乙每分鐘走60米.TOC\o"1-5"\h\z當這一次丙與甲相遇后，三人的位置關(guān)系和運動方向都與最開始時相同，只是甲、乙之間的距離、.一..2103 、 、 ... .一,改變了，變?yōu)樵瓉淼?90=7，但三人的速度不變，可知運動過程中的比例關(guān)系都不改變，那么. 一. ?、一，, 、,3 ?…3…當下一次甲、丙相遇時，甲、乙之間的距離也是此時距離的 為210義三二90米.\o"CurrentDocument"7 7【鞏固】 （難度等級派※※）甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，不停地往返行駛于A、B兩地之間.已知甲車的速度比乙車快，并且兩車出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中C地.甲車的速度是乙車速度的多少倍？【解析】第一次相遇時兩車合走了兩個全程，而乙車走了AC這一段路；第二次相遇兩車又合走了兩個全程，而乙車走了從C地到B地再到C地，也就是2個BC段.由于兩次的總行程相等，所以每次乙車走的路程也相等，所以AC的長等于2倍BC的長.而從第一次相遇到第二次相遇之間，甲車走了2個AC段，根據(jù)時間一定，速度比等于路程的比，甲車、乙車的速度比為2AC:2BC=2:1,所以甲車的速度是乙車速度的2倍.【例4】（難度等級※※※※，甲、乙兩人同時從A地出發(fā)，在A、B兩地之間勻速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到達A地、B地或遇到乙都會調(diào)頭往回走，除此以外，兩人在A、B之間行走方向不會改變，已知兩人第一次相遇點距離B地1800米，第三次相遇點距離B地800米，那么第二次相遇的地點距離B地多少米？【解析】設(shè)甲、乙兩人的速度分別為二、V2,全程為s,第二次相遇的地點距離B地x米.由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到達B地并調(diào)頭往回走時遇到乙的，這,一*，一一**一一一 . 2s V-V一，時甲、乙合走了兩個全程，第一次相遇的地點與B地的距離為V義 s=T2s，那么1V+V V+V第一次相遇的地點到B地的距離與全程的比為二二；兩人第一次相遇后，甲調(diào)頭向B地走，V+V乙則繼續(xù)向B地走，這樣一個過程與第一次相遇前相似，只是這次的“全程”為第一次相遇的地點到B地的距離，即1800米.根據(jù)上面的分析可知第二次相遇的地點到B地的距離與第一次V-V相遇的地點到B地的距離的比為t-2；類似分析可知，第三次相遇的地點到B地的距離與V+V第二次相遇的地點到B地的距離的比為二二；那么800==，得到X=1200,故第二v+v X1800次相遇的地點距離B地1200米.1 2【例5】（難度等級※※※，每天早晨，小剛定時離家步行上學，張大爺也定時出家門散步，他們相向而行，并且準時在途中相遇.有一天，小剛提早出門，因此比平時早7分鐘與張大爺相遇.已知小剛步行速度是每分鐘70米，張大爺步行速度是每分鐘40米，那么這一天小剛比平時早出門多少分鐘？【解析】比平時早7分鐘相遇，那么小剛因提早出門而比平時多走的路程為小剛和張大爺7分鐘合走的路程，所以當張大爺出門時小剛已經(jīng)比平時多走了（70+40）x7=770米，因此小剛比平時早出門770:70=11分鐘.模塊二：時間相同速度比等于路程比【例6】（難度等級派※※）A、B兩地相距7200米，甲、乙分別從A,B兩地同時出發(fā)，結(jié)果在距B地2400米處相遇.如果乙的速度提高到原來的3倍，那么兩人可提前10分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？【解析】第一種情況中相遇時乙走了2400米，根據(jù)時間一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比為（7200-2400）:2400=2:1,所以第一情況中相遇時甲走了全程的2/3.乙的速度提高3倍后，兩人速度比為2:3,根據(jù)時間一定，路程比等于速度之比，所以第二種情況中相遇時甲走了33全程的=-?兩種情況相比，甲的速度沒有變化，只是第二種情況比第一種情況少走10分I乙33鐘，所以甲的速度為6000義（--g）+9=150（米/分）.58【例7】（難度等級※※※，甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3,二人相遇后繼續(xù)行進，甲到達B地和乙到達A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點30千米，則A、B兩地相距多少千米？【解析】兩個人同時出發(fā)相向而行，相遇時時間相等，路程比等于速度之比，即兩個人相遇時所走過的路程比為4:3.第一次相遇時甲走了全程的4/7；第二次相遇時甲、乙兩個人共走了3個全程，三4一一5. 一.5一4、2.個全程中甲走了三義3=1-個全程，與第一次相遇地點的距離為三-（1-三）二三個全程.所以A、7 7 7 7 7“2…一，B兩地相距30+7=105（千米）.【鞏固】 （難度等級※※※，甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛，3已知甲車的速度是乙車的速度的7，并且甲、乙兩車第2007次相遇（這里特指面對面的相遇）的地點與第2008次相遇的地點恰好相距120千米，那么，A、B兩地之間的距離等于多少千米？【解析】甲、乙速度之比是3：7,所以我們可以設(shè)整個路程為3+7=10份，這樣一個全程中甲走3份，第2007次相遇時甲總共走了3x（2007x2-1）=12039份，第2008次相遇時甲總共走了3x（2008x2-1）=12045份，所以總長為120;[12045-12040-（12040-12039）]x10=300米.【例8】 （難度等級※※※※※）B地在A,C兩地之間.甲從B地到A地去送信，甲出發(fā)10分后，乙從B地出發(fā)到C地去送另一封信，乙出發(fā)后10分，丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了，于是他從B地出發(fā)騎車去追趕甲和乙，以便把信調(diào)過來.已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙從出發(fā)到把信調(diào)過來后返回B地至少要用多少時間?！窘馕觥扛鶕?jù)題意當丙發(fā)現(xiàn)甲、乙剛好把兩封信拿顛倒了此時甲、乙位置如下：A 工10分鐘10分鐘B C10分鐘因為丙的速度是甲、乙的3倍，分步討論如下：（1）若丙先去追及乙，因時間相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走兩倍乙走需要10分鐘，所以丙用時間為：10；（3-1）=5（分鐘）此時拿上乙拿錯的信TOC\o"1-5"\h\zA .io分鐘.io分鐘B C0 " ■一二分鐘二 010分鐘* A5分鐘當丙再回到B點用5分鐘，此時甲已經(jīng)距B地有10+10+5+5=30（分鐘），同理丙追及時間為30；（3-1）=15（分鐘），此時給甲應(yīng)該送的信，換回乙應(yīng)該送的信在給乙送信，此時乙已經(jīng)距B地：10+5+5+15+15=50（分鐘），此時追及乙需要：50；（3-1）=25（分鐘），返回B地需要25分鐘所以共需要時間為5+5+15+15+25+25=90（分鐘）（2）同理先追及甲需要時間為120分鐘【例9】（難度等級派※※※）甲、乙兩人同時從A、B兩點出發(fā)，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行60米，出發(fā)一段時間后，兩人在距中點的C處相遇；如果甲出發(fā)后在途中某地停留了7分鐘，兩人將在距中點的D處相遇，且中點距C、D距離相等，問A、B兩點相距多少米？【解析】甲、乙兩人速度比為80:60=4:3，相遇的時候時間相等，路程比等于速度之比，相遇時甲走了43全程的7，乙走了全程的7.第二次甲停留，乙沒有停留，且前后兩次相遇地點距離中點相等，4 3所以第二次乙行了全程的7，甲行了全程的7.由于甲、乙速度比為4:3,根據(jù)時間一定，路33 4331程比等于速度之比，所以甲行走期間乙走了三x-，所以甲停留期間乙行了三--x-=:，所以74 77441A、B兩點的距離為60x7+=1680（米）.4【例10】（難度等級※※※※，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲、乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度減少20%,乙的速度增加20%.這樣當甲到達B地時，乙離A地還有10千米.那么A、B兩地相距多少千米？ .一....5 ...4 .. .、一【解析】兩車相遇時甲走了全程的§，乙走了全程的9,之后甲的速度減少20%,乙的速度增加20%,此時甲、乙的速度比為5x（1-20%）:4x（1+20%）=5:6，所以甲到達B地時，乙又走了—x———，距離A地6—R二石，所以A、B兩地的距離為10^—―=450（千米）.【例11］（難度等級派※※※※）早晨，小張騎車從甲地出發(fā)去乙地.下午1點，小王開車也從甲地出發(fā)，前往乙地.下午2點時兩人之間的距離是15千米.下午3點時，兩人之間的距離還是15千米.下午4點時小王到達乙地，晚上7點小張到達乙地.小張是早晨幾點出發(fā)？［解析】從題中可以看出小王的速度比小張塊.下午2點時兩人之間的距離是15千米.下午3點時，兩人之間的距離還是15千米，所以下午2點時小王距小張15千米，下午3點時小王超過小張15千米，可知兩人的速度差是每小時30千米.由下午3點開始計算，小王再有1小時就可走完全程，在這1小時當中，小王比小張多走30千米，那小張3小時走了153045=+千米，故小張的速度是45-3=15千米/時，小王的速度是15+30=45千米/時.全程是45x3=135千米，小張走完全程用了135+15=9小時，所以他是上午10點出發(fā)的。【例12］（難度等級派※※※※）從甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路與上坡路的距離相等。陳明開車從甲地到乙地共用了3小時，其中第一小時比第二小時多走15千米，第二小時比第三小時多走25千米。如果汽車走上坡路比走平路每小時慢30千米，走下坡路比走平路每小時快15千米。那么甲乙兩地相距多少千米？［解析］⑴由于3個小時中每個小時各走的什么路不明確，所以需要先予以確定.從甲地到乙地共用3小時，如果最后一小時先走了一段平路再走上坡路，也就是說走上坡路的路程不需要1小時，那么由于下坡路與上坡路距離相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小時，這說明第一小時既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小時則是全在走平路.這樣的話，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小時走的路程小于以下坡的速度走1小時的路程，而這個路程恰好比以平路的速度走1小時的路程（即第二小時走的路程）多走15千米，所以這樣的話第一小時走的路程比第二小時走的路程多走的少于15千米，不合題意，所以假設(shè)不成立，即第三小時全部在走上坡路.如果第一小時全部在走下坡路，那么第二小時走了一段下坡路后又走了一段平路，這樣第二小時走的路程將大于以平路的速度走1小時的路程，而第一小時走的路程比第二小時走的路程多走的少于15千米，也不合題意，所以假設(shè)也不成立，故第一小時已走完下坡路，還走了一段平路.所以整個行程為：第一小時已走完下坡路，還走了一段平路；第二小時走完平路，還走了一段上坡路；第三小時全部在走上坡路.⑵由于第二小時比第三小時多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小時30千米.所以第二小時內(nèi)用在走平路上的時間為25?30=5小時，其余的1小時在走上坡路；TOC\o"1-5"\h\z6 61因為第一小時比第二小時多走了15千米，而7小時的下坡路比上坡路要多走（30+15）x1=7.5千6 6米，那么第一小時余下的下坡路所用的時間為（15—7.5）+15-1小時，所以在第一小時中，有21 1 2 ，一,,一，1 — ,,+1=2小時是在下坡路上走的，剩余的彳小時是在平路上走的.63 3因此，陳明走下坡路用了2小時，走平路用了1+5=7小時，走上坡路用了1+1=7小時.366 66⑶因為下坡路與上坡路的距離相等，所以上坡路與下坡路的速度比是2:7=4:7.那么下坡路的36速度為（30+15）x工=105千米/時，平路的速度是每小時105—15=90千米，上坡路的速度是每7—4小時90—30=60千米.2 7 7 一，.那么甲、乙兩地相距105x—+90x7+60x7=245（千米）.366模塊三：路程相同速度比等于時間的反比【例13］（難度等級※※※，在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，6分后兩人相遇，再過4分甲到達B點，又過8分兩人再次相遇.甲、乙環(huán)行一周各需要多少分？【解析】由題意知，甲行4分相當于乙行6分.（抓住走同一段路程時間或速度的比例關(guān)系）從第一次相遇到再次相遇，兩人共走一周，各行12分，而乙行12分相當于甲行8分，所以甲環(huán)行一周需12+8=20（分），乙需20-4x6=30（分）.【例14］（難度等級※※※）上午8點整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點20分甲與從B地出發(fā)勻速去A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的3倍，乙速度不變；8點30分，甲、乙兩人同時到達各自的目的地.那么，乙從B地出發(fā)時是8點幾分.【解析】甲、乙相遇時甲走了20分鐘，之后甲的速度提高到原來的3倍，又走了10分鐘到達目的地，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，如果甲沒提速，那么后面的路甲需要走10x3=30分鐘，所以前后兩段路程的比為20:30=2:3,由于甲走20分鐘的路程乙要走10分鐘，所以甲走30分鐘的路程乙要走15分鐘，也就是說與甲相遇時乙已出發(fā)了15分鐘，所以乙從B地出發(fā)時是8點5分.【例15］（難度等級派※※）小芳從家到學校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路.小芳上學走這兩條路所用的時間一樣多.已知下坡的速度是平路的1?6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？［解析】設(shè)小芳上學路上所用時間為2,那么走一半平路所需時間是1.由于下坡路與一半平路的長度相同，根據(jù)路程一定，時間比等于速度的反比，走下坡路所需時間是1+1.6=5，因此，走上坡路8八511 —11…需要的時間是2--=，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時間的反比，為1： =8:11,8 8 8所以，上坡速度是平路速度的11倍.3一【例16］（難度等級派※※※）一列火車出發(fā)1小時后因故停車0.5小時，然后以原速的二前進，最4終到達目的地晚1.5小時.若出發(fā)1小時后又前進90公里再因故停車0.5小時，然后同樣以一...3 一....原速的;前進，則到達目的地僅晚1小時，那么整個路程為多少公里？4?一 一3一［解析］出發(fā)1小時后因故停車0.5小時，然后以原速的7前進，最終到達目的地晚1.5小時，所以后4TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3面以原速的;前進的時間比原定時間多用1.5-0.5=1小時，而速度為原來的二，所用時間為原4 4一r，4 °一來的§，所以后面的一段路程原定時間為1+（3-1）=3小時，原定全程為4小時；出發(fā)1小時后又前進90公里再因故停車0.5小時，然后同樣以原速的3前進，則到達目的地僅晚1小時，43所以后面以原速的;前進的時間比原定時間多用1-0.5=0.5小時所以后面的一段路程原定時間4…，4 …為0.5+（--1）=1.5小時，類似分析可知又前進90公里后的那段路程需要：3-1.5=1.5小時而原定全程為4小時，所以整個路程為90+1.5x4=240公里.【例17］（難度等級派※※※）王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計劃的速度提高了1/9,結(jié)果提前一個半小時到達；返回時，按原計劃的速度行駛280千米后，將車速提高1/6,于是提前1小時40分到達北京.北京、上海兩市間的路程是多少千米？［解析］從開始出發(fā)，車速即比原計劃的速度提高了1/