MATLAB習(xí)題答案(清華大學(xué))

MATLAB習(xí)題答案（清華大學(xué)）高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題MATLAB求解習(xí)題參考解答（薛定宇著）目錄第1章計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言概述2第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)5第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解17第4章線性代數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解29第5章積分變換與復(fù)變函數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解43第6章代數(shù)方程與最優(yōu)化問題的計(jì)算機(jī)求解53第7章微分方程問題的計(jì)算機(jī)求解71第8章數(shù)據(jù)插值、函數(shù)逼近問題的計(jì)算機(jī)求解93第9章概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的計(jì)算機(jī)求解114第10章數(shù)學(xué)問題的非傳統(tǒng)解法127第A章自由數(shù)學(xué)語(yǔ)言Scilab簡(jiǎn)介136第1章計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言概述1在你的機(jī)器上安裝MATLAB語(yǔ)言環(huán)境,并鍵入demo命令,由給出的菜單系統(tǒng)和對(duì)話框原型演示程序,領(lǐng)略MATLAB語(yǔ)言在求解數(shù)學(xué)問題方面的能力與方法?！厩蠼狻吭贛ATLAB提示符》下鍵入demo命令，則將打開如圖1-1所示的窗口,窗口左側(cè)的列表框可以選擇各種不同組合的演示內(nèi)容。圖1-1MATLAB演示程序界面1例如,用戶選擇MATLAB!Graphics!VolumeVlsulization演示,則將得出如圖1-2所示的演示說(shuō)明，單擊其中的Runthisdemo欄目，則將得出如圖1-3所示的演示界面。用戶可以在該界面下按按鈕，逐步演示相關(guān)內(nèi)容,而實(shí)現(xiàn)這樣演示的語(yǔ)句將在該程序界面的下部窗口中給出。2作者用MATLAB語(yǔ)言編寫了給出例子的源程序，讀者可以自己用type語(yǔ)句閱讀一下源程序，對(duì)照數(shù)學(xué)問題初步理解語(yǔ)句的含義,編寫的源程序說(shuō)明由下表列出。第1章計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言概述3圖1-2MATLAB演示程序界面舉例序號(hào)文件名程序說(shuō)明例1.1clexl.m利用MATLAB的符號(hào)運(yùn)算工具箱求解微分問題例1.2clex2.m分別利用MATLAB的符號(hào)運(yùn)算工具箱和數(shù)值運(yùn)算功能求解多項(xiàng)式方程,其中用數(shù)值方法得出的結(jié)果有誤差例1.3clex3.m分別利用MATLAB的符號(hào)運(yùn)算工具箱和數(shù)值運(yùn)算功能計(jì)算Hilbert矩陣的行列式,其中用數(shù)值方法得出的結(jié)果有很大誤差例1.4clex4.m令xl=y;x2=y_,則可以將原來(lái)的二階微分方程轉(zhuǎn)換成2ー階微分方程組,然后就可以求解微分方程的數(shù)值解了，原方程是非線性微分方程,故不存在解析解。ode45()函數(shù)可以求解常微分方程組，而dde23()可以求解延遲微分方程，或更直觀地采用Simulink繪制求解框圖。例1.5clex5.m線性規(guī)劃問題調(diào)用最優(yōu)化工具箱中的linprogO函數(shù)可以立即得出結(jié)果，若想求解整數(shù)規(guī)劃問題,則需要首先安裝整數(shù)規(guī)劃程序ipslvmexOo4第1章計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言概述圖1-3MATLAB體視化演示程序界面第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)!啟動(dòng)MATLAB環(huán)境,并給出語(yǔ)句tic,A=rand(500);B=inv(A)：norm(A*B-eye(500)),toe,試運(yùn)行該語(yǔ)句,觀察得出的結(jié)果，并利用help命令對(duì)你不熟悉的語(yǔ)句進(jìn)行幫助信息查詢,逐條給出上述程序段與結(jié)果的解釋?！厩蠼狻吭贛ATLAB環(huán)境中感觸如下語(yǔ)句，則可以看出，求解500￡500隨機(jī)矩陣的逆,并求出得出的逆矩陣與原矩陣的乘積,得出和單位矩陣的差,得出范數(shù)。一般來(lái)說(shuō),這樣得出的逆矩陣精度可以達(dá)到10i120>>tic,A=rand(500);B=inv(A);norm(A*B-eye(500)),toc3ans=1.2333e-012Elapsedtimeis1.301000seconds.2試用符號(hào)元素工具箱支持的方式表達(dá)多項(xiàng)式f(x)=x5+3x4+4x3+2x2+3x+6?并令X=Si1s+1,將f(x)替換成S的函數(shù)?！厩蠼狻靠梢韵榷x出f函數(shù),則由subs()函數(shù)將x替換成s的函數(shù)?symssxf=x-5+3*x*4+4*x*3+2*x*2+3*x+6;F=subs(f,x,(s-l)/(s+1))F二(s-1)^5/(s+l)"5+3*(s-1)"4/(s+D^4+4*(s-1)"3/(s+D*3+2*(s-1)*2/(s+1)^2+3*(s-1)/(s+1)+63用MATLAB語(yǔ)句輸入矩陣A和B矩陣①A二26641234432134142413775;②B2664TOC\o"1-5"\h\z+ 4j 2 + 3j 3 + 2j 4 + lj4+ lj 3 + 2j 2 + 3j 1 + 4j+ 3j 3 + 2j 4 + lj 1 + 4j+ 2j 2 + 3j 4 + lj 1 + 4j775前面給出的是4￡4矩陣,如果給出A(5;6)=5命令將得出什么結(jié)果?【求解】用課程介紹的方法可以直接輸入這兩個(gè)矩陣?A=[l234;4321;2341;3241]A=12346第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)321523413241若給出A(5,6)=5命令,雖然這時(shí)的行和列數(shù)均大于B矩陣當(dāng)前的維數(shù),但仍然可以執(zhí)行該語(yǔ)句,得出?A(5,6)=5A二123400432100234100324100000005復(fù)數(shù)矩陣也可以用直觀的語(yǔ)句輸入?B=[l+4i2+3i3+2i4+1i;4+1i3+2i2+3il+4i;2+3i3+2i4+lil+4i;3+2i2+3i4+lil+4i];B=1.0000+4.OOOOi2.0000+3.OOOOi3.0000+2.OOOOi4.0000+1.OOOOi4.0000+l.OOOOi3.0000+2.OOOOi2.0000+3.OOOOi1.0000+4.OOOOi2.0000+3.OOOOi3.0000+2.OOOOi4.0000+l.OOOOi1.0000+4.OOOOi3.0000+2.OOOOi2.0000+3.OOOOi4.0000+l.OOOOi1.0000+4.OOOOi4假設(shè)已知矩陣A,試給出相應(yīng)的MATLAB命令,將其全部偶數(shù)行提取出來(lái),賦給B矩陣,6用A二magic(8)命令生成A矩陣,用上述的命令檢驗(yàn)一下結(jié)果是不是正確。【求解】魔方矩陣可以采用magic()生成,子矩陣也可以提取出來(lái)?A=magic(8),B=A(2:2:end,:)A=642361606757955541213515016TOC\o"1-5"\h\z1747 46 20 21 43 42 244026 27 37 36 30 31 333234 35 29 28 38 39 254123 22 44 45 19 18 484915 14 52 53 11 10 56858595462631B=955541213515016第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)7402627373630313341232244451918488585954626315用MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)下面的分段函數(shù)y=f(x)=8<7h;x>Dh=Dx;jxj6Dih;x<iDo【求解】?jī)煞N方法,其ー,巧用比較表達(dá)式解決?y=h*(x>D)+h/D*x.*(abs(x)<=D)-h*(xく-D);另外一種方法,用循環(huán)語(yǔ)句和條件轉(zhuǎn)移語(yǔ)句>>fori=l:length(x)ifx(i)>D,y(i)=h;elseifabs(x(i))<=D,y(i)=h/D*x(i);else,y(i)=-h;endend其中,前者語(yǔ)句結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,但適用范圍更廣,允許使用矩陣型x,后者只能使用向量型的x,但不能處理矩陣問題。6用數(shù)值方法可以求出S二X63i=02i=1+2+4+8+000+262+263,試不采用循環(huán)的形式求出和式的數(shù)值解。由于數(shù)值方法采用double形式進(jìn)行計(jì)算的,難以保證有效位數(shù)字,所以結(jié)果不一定精確。試采用符號(hào)運(yùn)算的方法求該和式的精確值。8【求解】用符號(hào)運(yùn)算的方式可以采用下面語(yǔ)句?sum(sym(2)."[1:63])ans=18446744073709551614由于結(jié)果有19位數(shù)值,所以用double型不能精確表示結(jié)果,該數(shù)據(jù)類型最多表示16位有效數(shù)字。其實(shí)用符號(hào)運(yùn)算方式可以任意保留有效數(shù)字,例如可以求200項(xiàng)的和或1000項(xiàng)的和可以由下面語(yǔ)句立即得出。>>sum(sym(2),[1:200])ans=3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602750?sum(sym(2).[1:1000])ans=2143017214372534641896850098120003621122809623411067214887500776740702102249872244986396757631391716255189345835106293650374290571384628088第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)7196915514939714960786913554964846197084214921012474228375590836430609294996716388253479753511833108789215412582914239295537308433539208596633052487736744113361387507編寫ー個(gè)矩陣相加函數(shù)matadd(),使其具體的調(diào)用格式為A=matadd(A1,A2,A3,0tい,要求該函數(shù)能接受任意多個(gè)矩陣進(jìn)行解法運(yùn)算?！厩蠼狻靠梢跃帉懴旅娴暮瘮?shù),用varargin變量來(lái)表示可變輸入變量functionA=mat_add(varargin)A=0;fori=l:length(varargin),A=A+varargin{i};end如果想得到合適的錯(cuò)誤顯示,則可以試用try,catch結(jié)構(gòu)。functionA=matadd(varargin)tryA=0;fori=l:length(varargin),A=A+varargin{1};endcatch,error(lasterr);end8自己編寫一個(gè)MATLAB函數(shù),使它能自動(dòng)生成一個(gè)m￡m的Hanke1矩陣,并使其調(diào)用格式為v=[hl;h2;hm;hm+1;000;h2mi1];H=myhankel(v)〇【求解】解決這樣的問題可以有多種方法:①最直接的方法,Hi;j=hi+jil,利用雙重循環(huán)functionH=myhankel(v)m=(length(v)+1)/2;%嚴(yán)格說(shuō)來(lái)還應(yīng)該判定給定輸入向量長(zhǎng)度奇偶性lOfori=l:m,forj=l:mH(i,j)=v(i+j-l);end,end②考慮某一行(或列)，ai=[hi;hi+1;000;hi+mil],就可以用單重循環(huán)生成Hanke!矩陣了functionH=myhankel(v)m=(length(v)+1)/2;%嚴(yán)格說(shuō)來(lái)還應(yīng)該判定給定輸入向量長(zhǎng)度奇偶性fori=l:m,H(i,:)=v(i:i+m-l);end③利用現(xiàn)有的hankelO函數(shù),則functionH=myhankel(v)m=(length(v)+1)/2;%嚴(yán)格說(shuō)來(lái)還應(yīng)該判定給定輸入向量長(zhǎng)度奇偶性H=hankel(v(1:m),v(m:end));第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)99已知Fibonacci數(shù)列由式ak=akj1+akj2;k=3;4;000可以生成,其中初值為al=a2=1,試編寫出生成某項(xiàng)Fibonacci數(shù)值的MATLAB函數(shù),要求①函數(shù)格式為尸fib(k),給出k即能求出第k項(xiàng)ak并賦給y向量;②編寫適當(dāng)語(yǔ)句,對(duì)輸入輸出變量進(jìn)行檢驗(yàn),確保函數(shù)能正確調(diào)用;③利用遞歸調(diào)用的方式編寫此函數(shù)?！厩蠼狻考僭O(shè)fib(n)可以求出Fibonacci數(shù)列的第n項(xiàng),所以對(duì)n>3則可以用k=fib(nil)+fib(ni2)可以求出數(shù)列的n+1項(xiàng),這可以使用遞歸調(diào)用的功能,11而遞歸調(diào)用的出口為1〇綜上,可以編寫出Mー函數(shù)。functiony=fib(n)ifround(n)==n&n>=lifn>=3y=fib(n-l)+fib(n-2);else,y=l;endelseerror(*nmustbepositiveinteger.*)end例如,n=10可以求出相應(yīng)的項(xiàng)為?fib(10)ans=現(xiàn)在需要比較一下遞歸實(shí)現(xiàn)的速度和循環(huán)實(shí)現(xiàn)的速度?tic,fib(20),toeans=832040elapsed_time=62.0490>>tic,a=[l1];fori=3:30,a(i)=a(i-l)+a(i-2);end,a(30),toeans=12832040elapsed_time=0.0100應(yīng)該指出,遞歸的調(diào)用方式速度較慢,比循環(huán)語(yǔ)句慢很多,所以不是特別需要,解這樣問題沒有必要用遞歸調(diào)用的方式。10第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)10由矩陣?yán)碚摽芍?如果ー個(gè)矩陣M可以寫成M=A+BCBT,并且其中A,B,C為相應(yīng)階數(shù)的矩陣,則M矩陣的逆矩陣可以由下面的算法求出1=A+BCBT=Ai1iAiIB3Ci1+BTAiIBBTAi1試根據(jù)上面的算法用MATLAB語(yǔ)句編寫?個(gè)函數(shù)對(duì)矩陣M進(jìn)行求逆,并通過(guò)ー個(gè)小例子來(lái)檢驗(yàn)該程序,并和直接求逆方法進(jìn)行精度上的比較。13【求解】編寫這個(gè)函數(shù)functionMinv=partinv(A,B,C)Minv=inv(A)-inv(A)*B*inv(inv(C)+B'*inv(A)*B)*B'*inv(A);假設(shè)矩陣為M=2664515036165077603236608748163248683775且已知該矩陣可以分解成A二2664100000300004314775；B二266412343404000003775；C二266440000300002000013775對(duì)這個(gè)例子。可以?M=[51503616;50776032;36608748;16324868];iM=inv(M);%數(shù)值逆,直接解法15iM=0.0553-0.03890.00170.0041-0.03890.0555-0.0210-0.00210.0017-0.02100.0328-0.01370.0041-0.0021-0.01370.0244?A=diag([l234]);B=hankel([l234]);C=diag([4321]);iMl=part_inv(A,B,C)%分塊矩陣的求解方法iMl=0.0553-0.03890.00170.0041-0.03890.0555-0.0210-0.00210.0017-0.02100.0328-0.01370.0041-0.0021-0.01370.0244乍看結(jié)果,似乎二者完全一致,實(shí)際上數(shù)值算法是有區(qū)別的。我們這里用解析方法得出矩陣的逆,然后用下面的語(yǔ)句比較兩個(gè)結(jié)果的精度第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)11?Ml=sym(M);iM0=inv(Ml)iMO=[10713/193751,-7546/193751,332/193751,796/193751][-7546/193751,10759/193751,-4068/193751,-416/193751][332/193751,-4068/193751,19075/581253,-2652/193751][796/193751,-416/193751,-2652/193751,18919/775004]16?norm(double(iMO)-iM)%直接求解的誤差范數(shù)ans=7990e-017?norm(doub1e(iMO)-iM1)%間接求解的誤差范數(shù)ans=6583e-016可見,用間接方法得出的逆矩陣誤差更大,因?yàn)樵谶@里新編寫的函數(shù)中inv()函數(shù)使用了多次,由此產(chǎn)生很大的傳遞誤差。由此可以得出結(jié)論:如果某問題存在直接解,則盡量別使用間接方法,以加大傳遞誤差。11下面給岀了一個(gè)迭代模型(xk+1=1+yki1:4x2kyk+1=0:3xk寫出求解該模型的Mー函數(shù),如果取迭代初值為xO=0,yO=0,那么請(qǐng)進(jìn)行30000次迭代求出ー組x和y向量,然后在所有的xk和yk坐標(biāo)處點(diǎn)亮一個(gè)點(diǎn)(注意不要連線),最后繪制出所需的圖形。提示這樣繪制出的圖形又稱為Henon引力線圖,它將迭代出來(lái)的隨機(jī)點(diǎn)吸引到ー起,最后得出貌似連貫的引力線圖。17【求解】用循環(huán)形式解決此問題,可以得出如圖2T所示的Henon引力線圖。?x=0;y二〇;fori=l:29999x(i+l)=l+y(i)-1.4*x(i)*2;y(i+l)=O.3*x(i);endplot(x,y,'?’)上述的算法由于動(dòng)態(tài)定義x和y,所以每循環(huán)ー步需要重新定維,這樣做是很消耗時(shí)間的,所以為加快速度,可以考慮預(yù)先定義這兩個(gè)變量,如給出x二zeros(1,30000)。12用MATLAB語(yǔ)言的基本語(yǔ)句顯然可以立即繪制ー個(gè)正三角形,試結(jié)合循環(huán)結(jié)構(gòu),編寫ー個(gè)小程序,在同一個(gè)坐標(biāo)系下繪制出該正三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)后得出的ー系列三角形,還可以調(diào)整旋轉(zhuǎn)步距觀察效果。12第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)-1.5-1-0.500.511.5-0.4-0.3-0.218-0.10.10.20.30.4圖2THenon引力線圖【求解】假設(shè)正三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)卩度,則可以得出如圖2-2a所示的示意圖,三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為為osN;sinM）,（cos（卩+120〒）；sin（卩+120〒）），（cos（卩+24〇〒）；sin0A+24〇〒））,可以繪制出其曲線,如圖2-2b所示,試減小步距,如選擇”=2;1;0:1,觀察效果。卩xy6(a)示意圖-1-0.500.51-1-0.5190.51(b)曲線繪制效果圖2-2曲線繪制?t=[0,120,240,0]*pi/180;%變換成弧度xxx二口;yyy=[];fori=0:5:360tt=i*pi/180;xxx=[xxx;cos(tt+t)];yyy=[yyy;sin(tt+t)];end第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)13plot(xxx',yyy','r'),axis('square*)13選擇合適的步距繪制出下面的圖形sin卩1t,其中t2(il;Do【求解】用普通的繪圖形式,選擇等間距,得出如圖2-3a所示的曲線,其中x=0左右顯得粗糙。20?t=-l:〇,03:1;y=sin(1./t);plot(t,y)選擇不等間距方法,可以得出如圖2-3b所示的曲線。?t=[-l：o.03:-0.25,-0.248:0.001:0.248,0.25:.03:1];y=sin(l./t);plot(t,y)-1-0.500.51-1-0.50.51(a)等間距曲線繪制-1-0.500.51-1-0.51(b)不等間距曲線繪制圖2-3不同自變量選取下的sin(l二t)曲線14對(duì)合適的N范圍選取分別繪制出下列極坐標(biāo)圖形①%=1:0013財(cái),②％=cos(7^=2),③％=sin(四)=ル④％=1jcos3(7N)【求解】繪制極坐標(biāo)曲線的方法很簡(jiǎn)單,用polar(%力)即可以繪制出21極坐標(biāo)圖,如圖2-4所示。注意繪制圖形時(shí)的點(diǎn)運(yùn)算:?t=0:0.01:2*pi;subplot(221),polar(t,1.0013*t.2),%(a)subplot(222),tl=0:0.01:4*pi;polar(tl,cos(7*tl/2))%(b)subplot(223),polar(t,sin(t)./t)%(c)subplot(224),polar(t,l-(cos(7*t)).3)15用圖解的方式找到下面兩個(gè)方程構(gòu)成的聯(lián)立方程的近似解。x2+y2=3xy2;x3ix2=y2jy【求解】這兩個(gè)方程應(yīng)該用隱式方程繪制函數(shù)ezplotO來(lái)繪制,交點(diǎn)即方程的解,如圖2-5a所示。14第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)20403021060902701203002215033018000.5130210602409027012030015033018000.51302106024023902701203001503301800123021060240902701203003301800圖2-4極坐標(biāo)圖?ezplotCx2+y~2-3*x*y-2,);24holdonezplotCx*3-x*2=y2-y1)可用局部放大的方法求出更精確的值,如圖2-5b所示。從圖上可以精確讀出兩個(gè)交點(diǎn),(0:4012;j0:8916),(1:5894;0:8185)〇試將這兩個(gè)點(diǎn)分別代入原始方程進(jìn)行驗(yàn)證。-6-4-20246—6-4-2246xyx3-x2=y2-y=0(a)兩個(gè)方程的曲線,交點(diǎn)為解1.58941.58941.58941.58941.58941.58941.58940.81850.81850.8185250.81850.8185xyx3-x2=y2-y=0(b)局部放大區(qū)域圖2-5二元聯(lián)立方程的圖解法第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)1516請(qǐng)分別繪制出xy和sin(xy)的三維圖和等高線。【求解】(a)給出下面命令即可,得出的圖形如圖2-6a、b所示。?[x,y]=meshgrid(-1:.1:1);surf(x,y,x.*y),figure;contour(x,y,x.*y,30)(b)給出下面命令即可,得出的圖形如圖2-6c、d所示。?[x,y]=meshgrid(-pi1:pi);surf(x,y,sin(x.*y)),figure;contour(x,y,sin(x.*y),30)-11-11-126-0.500.51xy三維圖ー1一0.500.51-1-0.50xy等高線ー505-505一1-0.500.5271sin(xy)三維圖-3-2-10123-3-2-1123sin(xy)等高線圖2-6三維圖與等高線17在圖形繪制語(yǔ)句中,若函數(shù)值為不定式NaN,則相應(yīng)的部分不繪制出來(lái),試?yán)迷撘?guī)律繪制z=sinxy的表面圖,并剪切下x2+y260:52的部分?！厩蠼狻拷o出下面命令可以得出矩形區(qū)域的函數(shù)值,再找出x2+y260:52區(qū)域的坐標(biāo),將其函數(shù)值設(shè)輅成NaN,最終得出如圖2-7所示的曲面。16第2章MATLAB語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)>>[x,y]=meshgrid(-l:.1:1);z=sin(x.*y);ii=find(x「2+y.2<=0.5へ2);z(ii)=NaN;surf(x,y,z)-128-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51圖2-T得出的三維圖第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解1試求出如下極限。①limx!l(3x+9x)1x,②lim29x!l(x+2)x+2(X+3)x+3【求解】極限問題由下面的語(yǔ)句可以直接求出。?symsx;f=(3へx+9%)へ(1/x);limit(f,x,inf)ans=9>>symsx;f=(x+2)へ(x+2)*(x+3)(x+3)/(x+5)へ(2*x+5);limit(f,x,inf)ans=exp(-5)2試求下面的雙重極限。①limx!j1y!2x2y+xy3(x+y)3,②limx!0y!0xyp30xy+1j1,③limx!0y!0jcosx2+y2x2+y20ex2+y2〇【求解】雙重極限問題可以由下面語(yǔ)句直接求解。?symsxyfa=(x*2*y+x*y3)/(x+y)3;limit(limit(fa,x,-1),y,2)ans=-6?fb=x*y/(sqrt(x*y+l)-l);limitdimit(fb,x,0),y,0)ans=>>fc=(1-cos(x*2+y*2))*exp(x2+y*2)/(x*2+y*2);limit(limit(fc,x,0),y,0)ans=313求出下面函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。①y(x)=qxsinxPiex,②y二1iPcosax(1icosax)③atanyx=ln(x2+y2),@y(x)=j1naInxn+axn;n>018第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解【求解】由求導(dǎo)函數(shù)diff()可以直接得出如下結(jié)果,其中③為隱函數(shù),32故需要用隱函數(shù)求導(dǎo)公式得出導(dǎo)數(shù)。?symsx;f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(l-exp(x)));simple(diff(f))ans=1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))(1/2))"(1/2)?(sin(x)?(1-exp(x))(1/2)+x*cos(x)*(l-exp(x))(l/2)-l/2*x*sin(x)/(l-exp(x))*(l/2)*exp(x))?symsaxy=(1-sqrt(cos(a*x)))/(x*(l-cos(sqrt(a*x))))simple(diff(y))ans=l/2/cos(a*x)(l/2)*sin(a*x)*a/x/(l-cos((a*x)~(1/2)))-(1-cos(a*x)(l/2))/x2/(l-cos((a*x)(l/2)))-l/2*(l-cos(a*x)"(1/2))/x/(1-cos((a*x)(1/2)))2*sin((a*x)"(1/2))/(a*x)*(1/2)*a?f=atan(y/x)Tog(x2+y2);fl=simple(-diff(f,x)/diff(f,y))fl=(y+2*x)/(x-2*y)>>symsnpositive;symsa;f=-log((xn+a)/xn)/(n*a);diff(f,x)ans=-(n/x-(xへn+a)/(x*n)*n/x)/(x*n+a)*xへn/n/a用LATEX表示上面的結(jié)果,則33①1=2卩sin(x)P1jex+xcos(x)p1jexj1=2xsin(x)exp1jex1qxsin(x)P1jex②1=2sin(ax)apcos(ax)x(1icos(pax))1j34Pcos(ax)x2(1jcos(pax))j1=231jpcos(ax)'sin(pax)ax(1icos(pax))2pax③y+2xxj2y④i35gnx(xn+a)nxnxxn(xn+a)j1njlaj14試求出y(t)=s(xj1)(xi2)(xi3)(xi4)函數(shù)的4階導(dǎo)數(shù)?！厩蠼狻扛唠A導(dǎo)數(shù)可以由下面語(yǔ)句直接得出?symsaxf=sqrt((x-l)*(x-2)/(x-3)/(x-4));simple(diff(f,x,4))ans=第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解193*(16*x^ll-392*x\0+4312*x^9-28140*x，,8+121344*x^7-36456〇?x"6+783552*x~5-1214604*x"4+1342560*x'3-1015348*x"2+474596*x-103741)/((x-l)*(x-2)/(x-3)/(x-4))*(7/2)/(x-3)*8/(x-4)*8336U16x1li392xl0+4312x9i28140x8+121344x7；364560x6+783552x5；1214604x4+1342560x3；1015348x2+474596xj103741》ル(xj1)(xj2)(xj3)(xj4)U7=2(xi3)8(xi4)85在高等數(shù)學(xué)中,求解分子和分母均同時(shí)為0或1時(shí),分式極限時(shí)可使用L'H"pital法則,即對(duì)分子分母分別求導(dǎo)數(shù),再由比值得出,試用該法則limx!0ln(l+x)In(1ix)jln(ljx2)x4并和直接求出的極限結(jié)果相比較?！厩蠼狻繌慕o出的分母看,若想使之在x=0處的值不為〇,則應(yīng)該對(duì)其求4階導(dǎo)數(shù),同樣,還應(yīng)該對(duì)分子求4階導(dǎo)數(shù),將x=0代入結(jié)果,這樣就可以使用L'H-opital法則求出極限了。>>symsX：n=log(l+x)*log(l-x)-log(l-x~2);d=x"4;37n4=diff(n,x,4);d4-diff(d,x,4);n4=subs(n4,x,0);L=n4/d41/12現(xiàn)在直接求極限可以驗(yàn)證上述結(jié)果是正確的。?limit(n/d,x,0)ans=1/126已知參數(shù)方程%x=Incosty=costjtsint,試求出dydx和d2ydx2t=p=3o【求解】參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)可以由下面語(yǔ)句宜接求出。38?symst;x=log(cos(t));y=cos(t)-t*sin(t);diff(y,t)/diff(x,t)ans=-(-2*sin(t)-t*cos(t))/sin(t)*cos(t)>>f=diff(y,t,2)/diff(x,t,2);subs(f,t,sym(pi)/3)ans3/8-l/24*pi*371/2)7假設(shè)u=cosj1rxy,試驗(yàn)證@2u@x@y=@2u@y@xo【求解】證明二者相等亦可以由二者之差為零來(lái)證明,故由下面的語(yǔ)句直接證明。20第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解>>symsxy;u=acos(x/y);diff(diff(u,x),y)-diff(diff(u,y),x)39ans=8設(shè)(xu+yv=0yu+xv=1,試求解@x@y【求解】用下面的語(yǔ)句可以直接得出如下結(jié)果。?symsxyuv[u,v]=solve(，x*u+y*v二〇','y*u+x*v=l','u,v');diff(diff(u,x),y)2/(xへ2-yハ2廠2*x+8*yへ2/(xへ2-yへ2)へ3*x9假設(shè)f(x;y)=Zxyejt2dt?試求y40@2f@x2i2@2f@x@y+@2f@y2□【求解】由下面的命令可以得出所需結(jié)果。?symsxytf=int(exp(-t*2),t,0,x*y);x/y*diff(f,x,2)-2*diff(diff(f,x),y)+diff(f,y,2)simple(ans)tins~-2*exp(-xへ2*yへ2)*(-x2*yへ2+1+xへ3*y)10假設(shè)已知函數(shù)矩陣f(x;y;z)=3x+eyzx3+y2sinz,試求出其Jacobi矩陣?！厩蠼狻縅acobi矩陣可以由下面的語(yǔ)句直接得出。?symsxyz41F=[3*x+exp(y)*z;x3+y2*sin(z)];jacobian(F,[x,y,z])ans=[3,exp(y)*z,exp(y)][3*x*2,2*y*sin(z),y*2*cos(z)]1I試求解下面的不定積分問題。①I(x)二iZ3x2+ax2(x2+a)2dx,②I(x)=Zpx(x+1)Px+P+XdxI(x)=xeaxcosbxdx,@I(t)=Zeaxsinbxsincxdx42【求解】①該不定積分可以由下面的命令直接求出第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解21?symsxaf=(3*x-2+a)/(x"2+(x'2+a)2);int(f,x)ans=12/(4+16*a)/(2+4*a+2*(l+4*a)"(1/2))"(1/2)*atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)~(1/2))"(1/2))+48/(4+16*a)/(2+4*a+2*(l+4*a)*(1/2))*(1/2)*atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)(1/2))*(1/2))*a+12/(4+16*a)/(2+4*a+2*(l+4*a)'(1/2))*(1/2)*atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)"(1/2))"(1/2))*(l+4*a)'(1/2)+16/(4+16*a)/(2+4*a+2*(1+4*a)*(1/2))*(1/2)*atan(2*x/(2+4*a+2*(l+4*a)~(1/2))~(1/2))*(l+4*a)~(1/2)*a+12/(4+16*a)/(2+4*a-2*(l+4*a)'(l/2))"(l/2)*atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)*(1/2))"(1/2))+48/(4+16*a)/(2+4*a-2*(l+4*a)*(1/2))*(1/2)*atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)*(1/2))"(1/2))*a-12/(4+16*a)/(2+4*a-2*(l+4*a)"(1/2))*(1/2)*atan(2*x/(2+4*a-2*(l+4*a)"(1/2))"(1/2))*(l+4*a)*(1/2)-16/(4+16*a)/(2+4*a-2*(l+4*a)"(l/2))"(l/2)*atan(2*x/(2+4*a-2*(1+4*a)"(1/2))"(1/2))*(1+4*a)"(1/2)*a②可以用下面的語(yǔ)句求出問題的解43?symsx;f=sqrt(x*(x+1))/(sqrt(x)+sqrt(x+1));int(f,x);latex(ans)并將其顯示如下2=15Px(x+l)x(3x+5)Px+1i2=15Px(x+1)(x+1)(j2+3x)Px③可以求出下面的結(jié)果?symsabxf=x*exp(a*x)*cos(b*x);int(f,x);latex(ans)其數(shù)學(xué)顯示為Aaxa2+b2ia2ib244(a2+b2)2eaxcos(bx)jbxa2+b2+2ab(a2+b2)2Ieaxsin(bx)用下面的語(yǔ)句求解,得?symsxabc;f=exp(a*x)*sin(b*x)*sin(c*x);latex(int(f,x))22第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解亦即1=2aeaxcos((bjc)x)a2+(bic)2j1=2(jb+c)eaxsin((b?c)x)a2+(bjc)2j1=2aeaxcos((b+c)x)a2+(b+c)2+1=2(jbic)eaxsin((b+c)x)45a2+(b+c)212試求出下面的定積分或無(wú)窮積分。①I=Z1cosXdx,②I二Z1+x2+x4dx【求解】①可以直接求解>>symsx;int(cos(x)/sqrt(x),x,0,inf)ans=1/2*271/2)*pi*(1/2)②可以得出?symsx;int((l+x*2)/(l+x*4),x,0,1)ans=1/4*271/2)*pi13假設(shè)f(x)=ej5xsin(3x+p=3),試求出積分函數(shù)R(t)=46Ztf(x)f(t+x)dxo【求解】定義了X的函數(shù),則可以由subs()函數(shù)定義出t+X的函數(shù),這樣由下面的語(yǔ)句可以直接得出R函數(shù)。?symsxt;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);R=int(f*subs(f,x,t+x),x,0,t);simple(R)ans=1/1360*(15*exp(t)へ10*3ヘ(1/2)*cos(3*t)-25*cos(9*t)+25*exp(t)へ10*371/2)*sin(3*t)-68*cos(3*t)T5*3(l/2)*cos(9*t)-25*3*(1/2)*sin(9*t)-15*exp(t)*10*sin(3*t)+15*sin(9*t)+93*exp(t)10*cos(3*t))/exp(t)15該結(jié)果可以寫成1136015(et)10p3cos(3t)i68cos(3t)j15(et)10sin(3t)i25P3sin(9t)+25(et)10p3sin(3t)+15sin(9t)j25cos(9t)j1547P3cos(9t)+93(et)10cos(3t)(et)1514對(duì)a的不同取值試求出I=Z1cosax1+x2dxo【求解】由下面的循環(huán)結(jié)構(gòu)可以得出不同a值下的無(wú)窮積分值,并可以繪制出它們之間關(guān)系的曲線,如圖3-1所示。第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解23>>symsxa;f=cos(a*x)/(l+x2);aa=[0:0.l:pi];y二口;forn=aab=int(subs(f,a,n),x,0,inf);y=[y,double(b)];endplot(aa,y)00.511.522.533.50.20.40.6480.811.21.41.6圖3T不同a值下的積分值曲線15試對(duì)下面函數(shù)進(jìn)行Fourier幕級(jí)數(shù)展開。①f(x)=(pijxj)sinx;ip6xくp②f(x)=ejxj;ip6xくp③f(x)=(2x=l;0<x<1=22(1ix)=l;1=2<x<1,且1二p?！厩蠼狻竣倏梢粤⒓从上旅娴恼Z(yǔ)句求出。>>symsx;f=(sym(pi)-abs(x))*sin(x);[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);FF=l/2*pi*sin(x)+16/9/pi*sin(2*x)+32/225/pi*sin(4*x)+48/1225/pi*sin(6*x)+64/3969/pi*sin(8*x)+80/9801/pi*sin(l0*x)該結(jié)果在LATEX下可以顯示為12psinx+49169sin2xp+32225sin4xp+481225sin6xp+643969sin8xp+80980150sinlOxP②可以由下面語(yǔ)句求解,并得出數(shù)學(xué)公式為?symsx;f=exp(abs(x));[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);F得出的解析解為1=22epi2P+(iepj1)cos(x)P+(2=5epj2=5)cos(2x)P+(i1=5epi1=5)cos(3x)P24第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解+(2=17epj2=17)cos(4x)p51十(i1=13epj1=13)cos(5x)p+i237epi237￡cos(6x)p+(i1=25epj1=25)cos(7x)p+i265epj265ccos(8x)PI(i1=41epj1=41)cos(9x)52pI101epj2101ccos(10x)P進(jìn)ー步觀察結(jié)果可見,該式子可以手工化簡(jiǎn),例如提取系數(shù)(epi(il)n)=p0或?qū)Ω黜?xiàng)系數(shù)逐項(xiàng)求值(保留10位有效數(shù)字)?vpa(F,10)ans=7.047601355-7.684221126*cos(x)+2.819040541*cos(2.*x)T.536844225*cos(3.*x)+.8291295709*cos(4.*x)-.5910939328*cos(5.*x)+.3809514246*cos(6.*x)-.3073688450*cos(7.*x)+.2168492724*cos(8.*x)-.1874200274*cos(9.*x)+.1395564625*cos(10.*x)③似乎求解起來(lái)更困難,巧妙利用符號(hào)運(yùn)算工具箱中的heavisideO函數(shù),則可以將原函數(shù)表示成f(x)=2Qheaviside533xip2Pxjxip=2jxjp=2這樣就可以用下面的語(yǔ)句求出函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)。>>symsx;pil=sym(pi);f=2*heaviside(x-pi1/2)-2/pil*x*abs(x-pil/2)/(x-pil/2);[a,b,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);FF=T/4+4/piへ2*cos(x)+(4/pi+2)/pi*sin(x)-2/pi2*cos(2*x)T/pi*sin(2*x)+4/9/pi*2*cos(3*x)+(-4/9/pi+2/3)/pi*sin(3*x)-l/2/pi*sin(4*x)+4/25/pi、2*cos(5*x)+(4/25/pi+2/5)/pi*sin(5*x)-2/9/p/2*cos(6*x)-l/3/pi*sin(6*x)+4/49/piへ2*cos(7*x)+(-4/49/pi+2/7)/pi*sin(7*x)-l/4/pi*sin(8*x)+4/81/pi02*cos(9*x)+(4/81/pi+2/9)/pi*sin(9*x)-2/25/pi*2*cos(10*x)-l/5/pi*sin(10*x)i1=4+454cos(x)p2+j4pi1+20sin(x)pi2cos(2x)p2jsin(2x)p+4=9cos(3x)p2+jsin(3x)p55i1=2sin(4x)p+425cos(5x)p2+j425pj1+2=50sin(5x)pi2=9cos(6x)p2i1=3sin(6x)p+44956cos(7x)p2+ij449pi1+2=70sin(7x)pi1=4sin(8x)p+481cos(9x)p2+j481pi1+2=90sin(9x)pj57225cos(lOx)p2i1=5sin(lOx)P16試求出下面函數(shù)的Taylor暴級(jí)數(shù)展開。第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解25①Zxsinttdt②In③In3x+58P1+x2(4)(1+4:2x2)0:2⑤ej5xsin(3x+p=3)分別關(guān)于x=0>x=a的冢級(jí)數(shù)展開⑥對(duì)f(x;y)=jcosx2+y2ix2+y20ex2+y2關(guān)于x=1;y=0進(jìn)行二維Taylor暴級(jí)數(shù)展開。【求解】由下面的語(yǔ)句可以分別求出各個(gè)函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開,由latex(ans)函數(shù)可以得出下面的數(shù)學(xué)表示形式。>symstx;f=int(sin(t)/t,t,0,x);taylor(f,x,15)>symsx;f=log((l+x)/(l-x)),taylor(f,x,15)?symsx;f=log(x+sqrt(1+x2));taylor(f,x,15)>symsx;f=(l+4.2*x2)0.2;taylor(f,x,13)①xi1=18x3+591600x5j135280x7+13265920x9i1439084800x11+180951270400x13②2x+2=3x3+2=5x5+2=7x7+2=9x9+2=11x11+2=13x13③xj1=6x3+340x5i5112x7+351152x9j632816x11+13312x1360④1+2125x2i882625x4+5556615625x6i4084101390625x8+162955629948828125xlOj1368827291161220703125xl2⑤該函數(shù)的前4項(xiàng)展開為>>symsxa;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);taylor(f,x,4,a)ej5asin33a+p3+613a+p3'j5ej5asin33a+p3''(xja)+38ej5asin33a+p3'i15ej5acos33a+p623(xia)2+333ej5acos33a+p3+5=3ej5asin33a+p3(xja)3@該函數(shù)需要使用Maple的展開函數(shù)。?symsxy;f=(1-cos(x*2+y*2))/((x*2+y*2)*exp(x*2+y2));F=maple(，mtaylor，,f,'[x=l,y]’,4)1icos(1)el+(2sin(1)i4+4cos(1))(xi1)63el+(j6cos(1)i7sin(1)+8)(xj1)2el+(sin(1)j2+2cos(1))y2el+j343+323sin(1)+16=3cos(1),(xi1)3el+(j8cos(1)+10j8sin(1))y2(xi1)el+i836j6cos(1)i343sin(1)(xi1)4(24sin(1)+16cos(1)i27)y2(xj1)2el+(i2cos(1)+5=2j2sin(1))y4el+i13415cos(1)+19415sin(1)i24415C(xi1)5el+i1643j28cos(1)i1403sin(1)cy2(xi1)3el26第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解+(14sin(1)j16+10cos(1))y4(xi1)65el17試求下面級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)及無(wú)窮項(xiàng)的和。①11￡6

16￡11+000+1(5ni4)(5nや，，，②卩12+13HIM66122+132+000+卩+1)2n+13nT+000【求解】下面的語(yǔ)句可以直接求解級(jí)數(shù)的和。?symsnk;symsum(l/(5*k-4)/(5*k+l),k,1,n)ans=-l/5/(5*n+l)+l/5?symsumd/(5*k-4)/(5*k+l),k,1,inf)ans=1/5?symsnk;symsum(l/2k+l/3k,k,1,n)ans=67-2*(l/2廠(n+l)-3/2*(l/3)-(n+l)+3/2>>symsum(l/2k+1/3k,k,1,inf)ans=3/2當(dāng)然,無(wú)窮級(jí)數(shù)的和還可以通過(guò)極限的方式求出。!8試求出下面的極限。①limn!1122i1142i1+162i1+000+1(2n)2i1②lim68n!ln卩1n2+p+1n2+2p+1n2+3p+ccc+n2+np【求解】①可以用下面兩種方法求解。?symskn;symsum(l/((2*k)*2-1),k,1,inf)ans=1/2?limit(symsum(l/((2*k)2-1),k,1,n),n,inf)ans=1/269②可以由下面的語(yǔ)句直接求解。?symsknlimit(n*symsum(l/(n*2+k*pi),k,1,n),n,inf)ans=第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解27119試對(duì)下面數(shù)值描述的函數(shù)求取各階數(shù)值微分,并用梯形法求取定積分。xi00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2yi02.20773.20583.44353.2412.81642.3111.81011.36020.981720.679070.44730.27684【求解】可以由下面的語(yǔ)句得出函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù),得出的曲線如圖3-2所示。?x=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1,1.2];y=[0,2.2077,3.2058,3.4435,3.241,2.8164,2.311,1.8101,...1.3602,0.9817,0.6791,0.4473,0.2768];[dyl,dxl]=diff_ctr(y,x(2)-x(l),1);[dy2,dx2]=diff_ctr(y,x(2)-x(l),2);[dy3,dx3]=diff_ctr(y,x(2)-x(l),3);[dy4,dx4]=diff_ctr(y,x(2)-x(l),4);plot(dxl+x(l),dyl,' dx2+x(l),dy2,'--',dx3+x(l),dy3,',dx4+x(1),dy4,'0.30.40.50.60.70.80.911.11.270一200一150-100一5050100n=ln=2圖3-2各階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值解曲線20試求出以下的曲線積分。①Z1(x2+y2)ds,!為曲線x=a(cost+tsint);y=a(sintjtcost);(06t62p)〇②Z1(yx3+ey)dx+(xy3+xeyj2y)dy?其中1為a2x2+b2y2=c2正向上半橢圓。③Z71ydxjxdy+(x2+y2)dz,!為曲線x=et;y=eit;z=at,06t61,a>〇〇④Z1(exsinyimy)dx+(excosyim)dy,其中1為由(a;0)點(diǎn)到(0;0)再經(jīng)x2+y2=ax_t正向半惻周構(gòu)成的曲線?！厩蠼狻刻子脮薪o出的第一類和第二類曲線積分公式,則可以直接得出曲線積分的結(jié)果。28第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解>>symsat;x=a*(cos(t)+t*sin(t));y=a*(sin(t)-t*cos(t));f=x-2+yへ2;I=int(f*sqrt(diff(x,t)"2+diff(y,t)^2),t,0,2*pi)I=2*aハ3*piへ2+4*a"3*pi~4?symsxyabct;x=c*cos(t)/a;y=c*sin(t)/b;P=y*x"3+exp(y);Q=x*y"3+x*exp(y)-2*y;ds=[diff(x,t);diff(y,t)];I=int([PQ]*ds,t,0,pi)!二2/15*c*(2*cへ4-15*bへ4)/a/bへ4>>symst;symsapositive;x=exp(t);y=exp(-t);z=a*t;F=[y,-x,(x-2+y-2)];72ds=[diff(x,t);diff(y,t);diff(z,t)];I=int(F*ds,t,0,1)I=2+l/2*a*exp(l)2-l/2*a*exp(-1)2>>symstm;symsapositive;xl=t;yl=0;Fl=[exp(xl)*sin(yl)-m*yl,exp(x1)*cos(y1)-m];x2=a/2+a/2*cos(t);y2=a/2*sin(t);F2=[exp(x2)*sin(y2)-m*y2,exp(x2)*cos(y2)-m];Il=int(Fl*[diff(xl,t);diff(yl,t)],t,0,a)I2=int(F2*[diff(x2,t);diff(y2,t)],t,0,pi);1=11+1212=l/8*a^2*m*pi21試求出下面的曲面積分。①ZS卩2x+4y3+zds,S為平面X2+y3+z②zsx2y2zdxdy,其中S為半球面z=PR2ix2iy2的下側(cè)?！厩蠼狻康?章線性代數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解Jordan矩陣是矩陣分析中一類很實(shí)用的矩陣,其一般形式為J=6664i?1000000j?1000074000￠￠￠i?7775,例如J1二66664j510000i510000i510000i510000i5377775試?yán)胐iag()函數(shù)給出構(gòu)造JI的語(yǔ)句?！厩蠼狻坷胐iag()能夠構(gòu)造對(duì)角矩陣和次對(duì)角矩陣的性質(zhì),可以由下面語(yǔ)句建立起所需的矩陣。75?Jl=diag([-5-5-5-5-5])+diag([l111],1)JI=-510000-510000-510000-510000-52幕零矩陣是?類特殊的矩陣,其基本形式為Hn二2666664001000000000010000000377777576亦即,矩陣的次主對(duì)角線元素為1,其余均為〇,試驗(yàn)證對(duì)指定階次的整零矩陣,有Hin=0對(duì)所有的i>n成立?！厩蠼狻靠梢杂醚h(huán)的方式構(gòu)造出各階塞零矩陣,并對(duì)其求出i+1次方,判定得出矩陣的范數(shù),若發(fā)現(xiàn)范數(shù)大于〇的階次,則顯示其階次,若為零矩陣則不顯示任何內(nèi)容。通過(guò)運(yùn)行下面的語(yǔ)句,可見不顯示任何內(nèi)容,故iく100的幕零矩陣滿足上述性質(zhì)。>>fori=l:100A=diag(ones(l,i),1)；ifnorm(A*(1+i))>0,disp(i);endend30第4章線性代數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解3試從矩陣的顯示格式區(qū)分符號(hào)矩陣和數(shù)值矩陣,明確它們的含義和應(yīng)用場(chǎng)合。若A矩陣為數(shù)值矩陣,B為符號(hào)矩陣,C=A*B運(yùn)算得出的C矩陣是符號(hào)矩陣還是數(shù)值矩陣?【求解】得出的結(jié)果當(dāng)然是符號(hào)矩陣,見下例。?A=ones(5);B=sym(A);A*Bans=77TOC\o"1-5"\h\z[5, 5, 5, 5, 5][5, 5, 5, 5, 5][5, 5, 5, 5, 5][5, 5, 5, 5, 5][5, 5, 5, 5, 5]4請(qǐng)將下面給岀的矩陣A和B輸入到MATLAB環(huán)境中,并將它們轉(zhuǎn)換成符號(hào)矩陣。A二2666666664TOC\o"1-5"\h\z57 6 5 1 6 523 1 0 0 1 464 2 0 6 4 439 6 3 6 6 21076007772 4 4 0 7 748 6 7 2 1 7777777775；B=266666666478TOC\o"1-5"\h\z35 5 01 2 332 5 46 2 512 113 4 635 1 52 1 2410 12 0 1i3j4j7378121i107j68153777777775【求解】矩陣的輸入與轉(zhuǎn)換是很直接的。?A=[5,7,6,5,1,6,5;2,3,1,0,0,1,4;6,4,2,0,6,4,4;3,9,6,3,6,6,2;10,7,6,0,0,7,7;7,2,4,4,0,7,7;4,8,6,7,2,1,7];A=sym(A)A二TOC\o"1-5"\h\z[5, 7, 6, 5, 1, 6, 5][2, 3, 1, 0, 0, 1, 4][6, 4, 2, 0, 6, 4, 4][3, 9, 6, 3, 6, 6, 2][10,7,6,0,0,7,7][7,2,4,4,0,7,7][4,8,6,7,2,1,7]?B=[3,5,5,0,1,2,3;3,2,5,4,6,2,5;1,2,1,1,3,4,6;3,5,1,5,2,1,2;4,1,0,1,2,0,1;-3,-4,-7,3,7,8,12;1,-10,7,-6,8,1,5];B=sym(B)79B=TOC\o"1-5"\h\z[3, 5,5,0, 1, 2, 3][3, 2,5,4, 6, 2, 5][1, 2,1,1, 3, 4, 6][3, 5,1,5, 2, 1, 2][4, 1,0,1, 2, 0, 1]第4章線性代數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解31[-3, -4,-7, 3, 7, 8, 12][1, -10,7, -6, 8, 1, 5]5試求出Vandermonde矩陣A=266664a4 a3 a2 a 1b4 b3 b2 b 1c4 c3 c2 c 1d4 d3 d2 d 1e4 e3 e2 e 1377775的行列式,并以最簡(jiǎn)的形式顯示結(jié)果?！厩蠼狻坷脮芯帉懙拿嫦蚍?hào)矩陣的vanderO函數(shù),可以構(gòu)造出Vandermonde矩陣并80可以求出該矩陣的行列式。>>symsabcde;A=vander([abcde])A二[a4,a*3,a2,a,1][b*4,b*3,b*2,b,1][c4,c3,c2fc,1][dへ4,d*3,dへ2,d,1][e4,e3,e2fe,1]?det(A),simple(ans)ans=(c-d)*(b-d)*(b-c)*(a-d)*(a-c)*(a-b)*(-d+e)*(e-c)*(e-b)*(e-a)6利用MATLAB語(yǔ)言提供的現(xiàn)成函數(shù)對(duì)習(xí)題4中給出的兩個(gè)矩陣進(jìn)行分析,判定它們是否為奇異矩陣,得出矩陣的秩、行列式、跡和逆矩陣,檢驗(yàn)得出的逆矩陣是否正確。【求解】以A矩陣為例,可以對(duì)其進(jìn)行如下分析。?A=[5,7,6,5,1,6,5;2,3,1,0,0,1,4;6,4,2,0,6,4,4;3,9,6,3,6,6,2;10,7,6,0,0,7,7;7,2,4,4,0,7,7;4,8,6,7,2,1,7];A=sym(A);rank(A)ans=7?det(A)81ans=-35432?trace(A)ans=27?B=inv(A);latex(B)32第4章線性代數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解Ail=266666666666666422974429i1157442927718858i170944291734429i12784429i1784429646588588215378858415117716jl3324429i4694429i17584429i14678858i2404717716i4651177161206413543260918858307988584827885864391771655158858i977838858418517716i14244429j7944429j8424429i4918858i616317716j887177164633543216138858i12788581271885815671771637811771625658417716219354321898858i92188584298858i335317716i922517716495917716i66633543221378858i9885826018858178517716385777777777777775TOC\o"1-5"\h\z?A*Bans=[1, 0, 0, 0, 0, 0, o][0, 1, 0, 0, 0, 0, o][0, 0, 1, 0, 0, 0, 0][0, 0, 0, 1, 0, 0, 0][0, 0, 0, 0, 1, 0, o][0, 0, 0, 0, 0, 1, 0][0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]7試求出習(xí)題4中給出的A和B矩陣的特征多項(xiàng)式、特征值與特征向量,并驗(yàn)證Hamilton-Caylay定理,解釋并驗(yàn)證如何運(yùn)算能消除誤差?！厩蠼狻咳砸訟矩陣為例。?A=[5,7,6,5,1,6,5;2,3,1,0,0,1,4;6,4,2,0,6,4,4;3,9,6,3,6,6,2;10,7,6,0,0,7,7;7,2,4,4,0,7,7;4,8,6,7,2,1,7];A=sym(A);eig(A)ans5.009396680079366526215873006955228.679593193974410579078264020229.27480714110743938760483528351799e-l+l.1755376247101009492093136044131*i86-1.6336795424500642956747726147329+6.974072159652656030194863510461l*i-3.4765922173751363914655588544224-1.6336795424500642956747726147329-6.974072159652656030194863510461l*i.27480714110743938760483528351799e-l-l.1755376247101009492093136044131*i?p=poly(A)p=xへ7-27*xへ6-18*xへ5T00〇?xへ4+3018*xへ3+24129*x