新北師大版九年級上《特殊的平行四邊形》及答案解析詳解

..新北師大版九年級上《特殊的平行四邊形》及答案詳解一．選擇題〔共15小題1．如圖,已知菱形ABCD對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm,AE⊥BC于點E,則AE的長是〔A．5B．2C．D．2．如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,連結AC、BD,CE平分∠ACD交BD于點E,則DE長〔A． B．C．1 D．1﹣3．如圖所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,E,F兩點分別從A,B兩點同時出發(fā),以相同的速度分別向終點B,C移動,連接EF,在移動的過程中,EF的最小值為〔A．1 B．C． D．4．如圖,矩形OABC的頂點O與原點重合,點A,C分別在x軸,y軸上,點B的坐標為〔﹣5,4,點D為邊BC上一動點,連接OD,若線段OD繞點D順時針旋轉90°后,點O恰好落在AB邊上的點E處,則點E的坐標為〔A．〔﹣5,3 B．〔﹣5,4 C．〔﹣5, D．〔﹣5,25．如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O,過點O作BD的垂線分別交AD,BC于E,F兩點．若AC=2,∠AEO=120°,則EF的長度為〔A．1 B．2 C．D．6．如圖,在△ABC中,點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA．下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是菱形．其中,正確的有〔個．A．1 B．2 C．3 D．47．如圖,在正方形ABCD對角線BD上截取BE=BC,連接CE并延長交AD于點F,連接AE,過B作BG⊥AE于點G,交AD于點H,則下列結論錯誤的是〔A．AH=DF B．S四邊形EFHG=S△DCF+S△AGHC．∠AEF=45° D．△ABH≌△DCF8．如圖,正方形ABCD中,點EF分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形,連AC交EF于G,下列結論：①∠BAE=∠DAF=15°；②AG=GC；③BE+DF=EF；④S△CEF=2S△ABE,其中正確的個數為〔A．1 B．2 C．3 D．49．如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F,則EF的長為〔A．4 B．2 C． D．210．如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,以AB為一邊作等邊△ABE,使點E落在正方形ABCD的內部,連接AC交BE于點F,連接CE、DE,則下列說法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE=30°；③AF=CF；④=2+,其中正確的有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE=AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點F．若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為〔A． B． C． D．12．如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE,過A作AE的垂線交ED于點P,若AE=AP=1,PB=,下列結論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD=,其中正確結論的序號是〔A．①② B．①③ C．②③ D．①②③13．如圖,在矩形ABCD中,O為AC中點,EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F,交AB于E,點G是AE中點且∠AOG=30°,則下列結論正確的個數為〔〔1DC=3OG；〔2OG=BC；〔3△OGE是等邊三角形；〔4S△AOE=SABCD．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．如圖,點O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點E,延長BC到點F,使FC=EC,連結DF交BE的延長線于點H,連結OH交DC于點G,連結HC．則以下四個結論中：①OH∥BF,②GH=BC,③OD=BF,④∠CHF=45°．正確結論的個數為〔A．4個 B．3個 C．2個 D．1個15．如圖,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分線交BC于點E,DH⊥AE于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點O,下列結論：AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF,其中正確的有〔A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二．填空題〔共10小題16．如圖,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,點E是邊AD上的一個動點,把△BAE沿BE折疊,點A落在A′處,如果A′恰在矩形的對稱軸上,則AE的長為．17．如圖,矩形ABCD中,AD=3,∠CAB=30°,點P是線段AC上的動點,點Q是線段CD上的動點,則AQ+QP的最小值是．18．如圖,四邊形ABCD是正方形,直線l1、l2、l3分別過A、B、C三點,l1∥l2∥l3,若l1與l2之間的距離為4,l2與l3之間的距離為5,則正方形的邊長為．19．如圖,ABCD是菱形,AC是對角線,點E是AB的中點,過點E作對角線AC的垂線,垂足是點M,交AD邊于點F,連結DM．若∠BAD=120°,AE=2,則DM=．20．如圖,矩形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,點E是BC上一點,且AB=BE,∠1=15°,則∠2=．21．在平面直角坐標系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如圖所示的方式放置,其中點B1在y軸上,點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…則正方形A2017B2017C2017D2017的邊長是．22．如圖：點E、F分別是菱形ABCD的邊BC、CD上的點,且∠EAF=∠D=60°,∠FAD=45°,則∠CFE=度．23．如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點E、F同時由A、C兩點出發(fā),分別沿AB、CB方向向點B勻速移動〔到點B為止,點E的速度為1cm/s,點F的速度為2cm/s,經過t秒△DEF為等邊三角形,則t的值為．24．如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點,將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN,連接A′C,則A′C長度的最小值是．25．如圖,在平面直角坐標系中,菱形MNPO的頂點P的坐標是〔3,4,對角線PM與ON交于點B,則點B的坐標為．三．解答題〔共7小題26．如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,∠ADE=∠CDF．〔1求證：AE=CF；〔2連接DB交EF于點O,延長OB至點G,使OG=OD,連接EG、FG,判斷四邊形DEGF是怎樣的四邊形,并說明理由．27．如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,對角線AC,BD交于點O,DE平分∠ADC交BC于點E,連接OE．〔1求證：四邊形ABCD是矩形；〔2若AB=2,求△OEC的面積．28．△ABC中,點O是AC邊上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點F．〔1求證：EO=FO；〔2當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．29．[閱讀發(fā)現]如圖①,在正方形ABCD的外側,作兩個等邊三角形ABE和ADF,連結ED與FC交于點M,則圖中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC=．[拓展應用]如圖②,在矩形ABCD〔AB＞BC的外側,作兩個等邊三角形ABE和ADF,連結ED與FC交于點M．〔1求證：ED=FC．〔2若∠ADE=20°,求∠DMC的度數．30．在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中點,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．〔1求證：△AEF≌△DEB；〔2證明四邊形ADCF是菱形；〔3若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積．31．如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE．〔1求證：CE=CF；〔2若點G在AD上,且∠GCE=45°,則GE=BE+GD成立嗎？為什么？32．〔1如圖1,已知矩形ABCD中,點E是BC上的一動點,過點E作EF⊥BD于點F,EG⊥AC于點G,CH⊥BD于點H,試證明CH=EF+EG；〔2若點E在BC的延長線上,如圖2,過點E作EF⊥BD于點F,EG⊥AC的延長線于點G,CH⊥BD于點H,則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數量關系,直接寫出你的猜想；〔3如圖3,BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上,且BL=BC,連接CL,點E是CL上任一點,EF⊥BD于點F,EG⊥BC于點G,猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系,直接寫出你的猜想；〔4觀察圖1、圖2、圖3的特性,請你根據這一特性構造一個圖形,使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線段的關系,并滿足〔1或〔2的結論,寫出相關題設的條件和結論．新北師大版九年級上《特殊的平行四邊形》答案詳解一．選擇題〔共15小題1．如圖,已知菱形ABCD對角線AC、BD的長分別為6cm、8cm,AE⊥BC于點E,則AE的長是〔A．5 B．2 C． D．[考點]L8：菱形的性質．[分析]首先利用菱形的性質結合勾股定理得出BC的長,再利用三角形面積求出答案．[解答]解：∵四邊形ABCD是菱形,AC=6cm,BD=8cm,∴AO=CO=3cm,BO=DO=4cm,∠BOC=90°,∴BC==5〔cm,∴AE×BC=BO×AC故5AE=24,解得：AE=．故選：C．[點評]此題主要考查了菱形的性質以及勾股定理,正確得利用三角形面積求出AE的長是解題關鍵．2．如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,連結AC、BD,CE平分∠ACD交BD于點E,則DE長〔A． B． C．1 D．1﹣[考點]LE：正方形的性質；KF：角平分線的性質．[分析]過E作EF⊥DC于F,根據正方形的性質和角平分線的性質以及勾股定理即可求出DE的長．[解答]解：過E作EF⊥DC于F,∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵CE平分∠ACD交BD于點E,∴EO=EF,∵正方形ABCD的邊長為1,∴AC=,∴CO=AC=,∴CF=CO=,∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣,∴DE==﹣1,故選：A．[點評]本題考查了正方形的性質：對角線相等,互相垂直平分,并且每條對角線平分一組對角、角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等以及勾股定理的運用．3．如圖所示,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=2,E,F兩點分別從A,B兩點同時出發(fā),以相同的速度分別向終點B,C移動,連接EF,在移動的過程中,EF的最小值為〔A．1 B． C． D．[考點]L8：菱形的性質．[專題]11：計算題．[分析]連接DB,作DH⊥AB于H,如圖,利用菱形的性質得AD=AB=BC=CD,則可判斷△ABD和△BCD都是等邊三角形,再證明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1,DE=DF,接著判定△DEF為等邊三角形,所以EF=DE,然后根據垂線段最短判斷DE的最小值即可．[解答]解：連接DB,作DH⊥AB于H,如圖,∵四邊形ABCD為菱形,∴AD=AB=BC=CD,而∠A=60°,∴△ABD和△BCD都是等邊三角形,∴∠ADB=∠DBC=60°,AD=BD,在Rt△ABH中,AH=1,AD=2,∴DH=,在△ADE和△BDF中,∴△ADE≌△BDF,∴∠2=∠1,DE=DF∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°,∴△DEF為等邊三角形,∴EF=DE,而當E點運動到H點時,DE的值最小,其最小值為,∴EF的最小值為．故選：D．[點評]本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形,它有2條對稱軸,分別是兩條對角線所在直線．也考查了等邊三角形的判定與性質．4．如圖,矩形OABC的頂點O與原點重合,點A,C分別在x軸,y軸上,點B的坐標為〔﹣5,4,點D為邊BC上一動點,連接OD,若線段OD繞點D順時針旋轉90°后,點O恰好落在AB邊上的點E處,則點E的坐標為〔A．〔﹣5,3 B．〔﹣5,4 C．〔﹣5, D．〔﹣5,2[考點]LB：矩形的性質；R7：坐標與圖形變化﹣旋轉．[專題]553：圖形的全等．[分析]先判定△DBE≌△OCD,可得BD=OC=4,設AE=x,則BE=4﹣x=CD,依據BD+CD=5,可得4+4﹣x=5,進而得到AE=3,據此可得E〔﹣5,3．[解答]解：由題可得,AO=BC=5,AB=CO=4,由旋轉可得,DE=OD,∠EDO=90°,又∵∠B=∠OCD=90°,∴∠EDB+∠CDO=90°=∠COD+∠CDO,∴∠EDB=∠DOC,∴△DBE≌△OCD,∴BD=OC=4,設AE=x,則BE=4﹣x=CD,∵BD+CD=5,∴4+4﹣x=5,解得x=3,∴AE=3,∴E〔﹣5,3,故選：A．[點評]本題主要考查了全等三角形的判定與性質,矩形的性質以及旋轉的性質的運用,解題時注意：全等三角形的對應邊相等．5．如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O,過點O作BD的垂線分別交AD,BC于E,F兩點．若AC=2,∠AEO=120°,則EF的長度為〔A．1 B．2 C． D．[考點]LB：矩形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．[專題]556：矩形菱形正方形．[分析]先根據矩形的性質,推理得到∠EDO=30°,再根據Rt△DOE求得OE的長,即可得到EF的長．[解答]解：∵∠AEO=120°,∠DOE=90°,∴∠EDO=30°,又∵AC=2,∴DO=BD=AC=,∴Rt△DOE中,OE=tan30°×DO=1,同理可得,Rt△BOF中,OF=1,∴EF=2,故選：B．[點評]本題主要考查了矩形的性質以及解直角三角形的運用,解決問題的關鍵是掌握：矩形的對角線相等且互相平分．6．如圖,在△ABC中,點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上,且DE∥CA,DF∥BA．下列四種說法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果∠BAC=90°,那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC,那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四邊形AEDF是菱形．其中,正確的有〔個．A．1 B．2 C．3 D．4[考點]L9：菱形的判定；L6：平行四邊形的判定；LC：矩形的判定．[專題]11：計算題．[分析]先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形,根據DE∥CA,DF∥BA,得出AEDF為平行四邊形,得出①正確；當∠BAC=90°,根據推出的平行四邊形AEDF,利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC,得到一對角相等,再根據兩直線平行內錯角相等又得到一對角相等,等量代換可得∠EAD=∠EDA,利用等角對等邊可得一組鄰邊相等,根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB=AC,AD⊥BC,根據等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC,同理可得四邊形AEDF是菱形,④正確,進而得到正確說法的個數．[解答]解：∵DE∥CA,DF∥BA,∴四邊形AEDF是平行四邊形,選項①正確；若∠BAC=90°,∴平行四邊形AEDF為矩形,選項②正確；若AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,又DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴平行四邊形AEDF為菱形,選項③正確；若AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC,同理可得平行四邊形AEDF為菱形,選項④正確,則其中正確的個數有4個．故選：D．[點評]此題考查了平行四邊形的定義,菱形、矩形的判定,涉及的知識有：平行線的性質,角平分線的定義,以及等腰三角形的判定與性質,熟練掌握平行四邊形、矩形及菱形的判定與性質是解本題的關鍵．7．如圖,在正方形ABCD對角線BD上截取BE=BC,連接CE并延長交AD于點F,連接AE,過B作BG⊥AE于點G,交AD于點H,則下列結論錯誤的是〔A．AH=DF B．S四邊形EFHG=S△DCF+S△AGHC．∠AEF=45° D．△ABH≌△DCF[考點]LE：正方形的性質；KB：全等三角形的判定．[專題]55：幾何圖形．[分析]先判斷出∠DAE=∠ABH,再判斷△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°,∠ABH=∠DCF,再判斷出Rt△ABH≌Rt△DCF從而得到A、D正確,根據三角形的外角求出∠AEF=45°,得出C正確；連接HE,判斷出S△EFH≠S△EFD得出B錯誤．[解答]解：∵BD是正方形ABCD的對角線,∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°,AB=BC,∵BE=BC,∴AB=BE,∵BG⊥AE,∴BH是線段AE的垂直平分線,∠ABH=∠DBH=22.5°,在Rt△ABH中,∠AHB=90°﹣∠ABH=67.5°,∵∠AGH=90°,∴∠DAE=∠ABH=22.5°,在△ADE和△CDE中,∴△ADE≌△CDE,∴∠DAE=∠DCE=22.5°,∴∠ABH=∠DCF,在Rt△ABH和Rt△DCF中,∴Rt△ABH≌Rt△DCF,∴AH=DF,∠CFD=∠AHB=67.5°,∵∠CFD=∠EAF+∠AEF,∴67.5°=22.5°+∠AEF,∴∠AEF=45°,故ACD正確；如圖,連接HE,∵BH是AE垂直平分線,∴AG=EG,∴S△AGH=S△HEG,∵AH=HE,∴∠AHG=∠EHG=67.5°,∴∠DHE=45°,∵∠ADE=45°,∴∠DEH=90°,∠DHE=∠HDE=45°,∴EH=ED,∴△DEH是等腰直角三角形,∵EF不垂直DH,∴FH≠FD,∴S△EFH≠S△EFD,∴S四邊形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH,故B錯誤,故選：B．[點評]此題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質,全等三角形的判定和性質,三角形的內角和和三角形外角的性質,解本題的關鍵是判斷出△ADE≌△CDE,難點是作出輔助線．8．如圖,正方形ABCD中,點EF分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形,連AC交EF于G,下列結論：①∠BAE=∠DAF=15°；②AG=GC；③BE+DF=EF；④S△CEF=2S△ABE,其中正確的個數為〔A．1 B．2 C．3 D．4[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；KK：等邊三角形的性質．[專題]556：矩形菱形正方形．[分析]①通過HL可以得出△ABE≌△ADF,從而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,由正方形的性質就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,可得結論；②設EC=x,根據勾股定理,表示等邊三角形邊長EF=x,分別計算AG和CG,可得結論；③根據②繼續(xù)計算BE、EF的長,可比較BE+DF的長與EF是否相等；④根據②和③計算的邊的長,代入三角形面積公式計算可得結論．[解答]解：①∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°．∵△AEF等邊三角形,∴AE=AF,∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中,,∴Rt△ABE≌Rt△ADF〔HL,∴BE=DF,∵BC=CD,∴BC﹣BE=CD﹣DF,即CE=CF,∴AC是EF的垂直平分線,∴AC平分∠EAF,∴∠EAC=∠FAC=×60°=30°,∵∠BAC=∠DAC=45°,∴∠BAE=∠DAF=15°,故①正確；②設EC=x,則FC=x,由勾股定理,得EF=x,CG=EF=x,AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=2×CG,∴AG=CG,故②正確；③由②知：設EC=x,EF=x,AC=CG+AG=CG+CG=,∴AB==,∴BE=AB﹣CE=﹣x=,∴BE+DF=2×=〔﹣1x≠x,故③錯誤；④S△CEF==CE2=x2,S△ABE=BE?AB=?=,∴S△CEF=2S△ABE,故④正確,所以本題正確的個數有3個,分別是①②④,故選：C．[點評]本題考查了正方形的性質的運用,全等三角形的判定及性質的運用,勾股定理的運用,等邊三角形的性質的運用,三角形的面積公式的運用,解答本題時運用勾股定理的性質計算邊的長是解題的關鍵．9．如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,AC的垂直平分線EF交AD于點E、交BC于點F,則EF的長為〔A．4 B．2 C． D．2[考點]LB：矩形的性質；KG：線段垂直平分線的性質．[專題]556：矩形菱形正方形．[分析]過D作DK平行EF交CF于K,得出平行四邊形DEFK,推出EF=DK,證△DCK∽△CBA,求出CK,根據勾股定理求出DK即可．[解答]解：過D作DK平行EF交CF于K,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=∠DCB=90°,AD=BC=4,AB=CD=2,∵AD∥BC,EF∥DK,∴DEFK為平行四邊形,∴EF=DK,∵EF⊥AC,∴DK⊥AC,∴∠DPC=90°,∵∠DCB=90°,∴∠CDK+∠DCP=90°,∠DCP+∠ACB=90°,∴∠CDK=∠ACB,∵∠DCK=∠ABC=90°,∴△CDK∽△BCA,∴=,即=,CK=1,根據勾股定理得：EF=DK=,故選：C．[點評]本題考查了矩形性質,相似三角形的性質和判定,勾股定理,線段的垂直平分線性質的應用,關鍵是求出CK長,用的數學思想是方程思想．10．如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,以AB為一邊作等邊△ABE,使點E落在正方形ABCD的內部,連接AC交BE于點F,連接CE、DE,則下列說法中：①△ADE≌△BCE；②∠ACE=30°；③AF=CF；④=2+,其中正確的有〔A．1個 B．2個 C．3個 D．4個[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；KK：等邊三角形的性質．[專題]556：矩形菱形正方形．[分析]根據正方形的性質,全等三角形的判定,可以證明①②正確,作FH⊥BC于H,設FH=CH=a,則BH=a,利用勾股定理求出a,即可判斷③④正確；[解答]解：∵四邊形ABCD是正方形,△AEB是等邊三角形,∴AD=AE=AB=BE=BC,∠DAB=∠CBA=90°,∠EAB=∠EBA=60°,∴∠DAE=∠EBC=30°,∴△ADE≌△BCE,故①正確,∵∠BEC=∠BCE=〔180°﹣30°=75°,∠ACB=45°,∴∠ACE=∠BCE﹣∠ACB=30°,故②正確,作FH⊥BC于H,設FH=CH=a,則BH=a,∵BC=4,∴a+a=4,∴a=2﹣2,∴CF=a=2﹣2,∵AC=4,∴AF=AC=CF=6﹣2,∴AF=CF,故③正確,∵BF=2FH=4﹣4,∴EF=BE﹣BF=8﹣4,∴==2+,故④正確,故選：D．[點評]本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理,等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造直角三角形解決問題．11．如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,過點D作DE∥AC,且DE=AC,連接CE、OE,連接AE,交OD于點F．若AB=2,∠ABC=60°,則AE的長為〔A． B． C． D．[考點]L8：菱形的性質．[分析]先求出四邊形OCED是平行四邊形,再根據菱形的對角線互相垂直求出∠COD=90°,證明四邊形OCED是矩形,再根據菱形的性質得出AC=AB,再根據勾股定理得出AE的長度即可．[解答]解：在菱形ABCD中,OC=AC,AC⊥BD,∴DE=OC,∵DE∥AC,∴四邊形OCED是平行四邊形,∵AC⊥BD,∴平行四邊形OCED是矩形,∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,∴AD=AB=AC=2,OA=AC=1,在矩形OCED中,由勾股定理得：CE=OD===,在Rt△ACE中,由勾股定理得：AE===；故選：C．[點評]本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定、矩形的判定與性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握菱形的性質,證明四邊形是矩形是解決問題的關鍵．12．如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE,過A作AE的垂線交ED于點P,若AE=AP=1,PB=,下列結論：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD=,其中正確結論的序號是〔A．①② B．①③ C．②③ D．①②③[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．[專題]556：矩形菱形正方形．[分析]①利用同角的余角相等,易得∠EAB=∠PAD,再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；②利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,結合三角形的外角的性質,易得∠BEP=90°,即可證；③在Rt△AEP中,利用勾股定理,可得EP=,BE=,再依據△APD≌△AEB,即可得出PD=BE=．[解答]解：∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,∴∠EAB=∠PAD,又∵AE=AP,AB=AD,∵在△APD和△AEB中,,∴△APD≌△AEB〔SAS；故①成立；∵△APD≌△AEB,∴∠APD=∠AEB,∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,∴∠BEP=∠PAE=90°,∴EB⊥ED；故②成立；在Rt△AEP中,∵AE=AP=1,∴EP=,又∵PB=,∴BE=,∵△APD≌△AEB,∴PD=BE=,故③不成立,故選：A．[點評]本題考查了全等三角形的判定和性質的運用、正方形的性質的運用、正方形和三角形的面積公式的運用、勾股定理的運用等知識．在應用全等三角形的判定時,要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時添加適當輔助線構造三角形．13．如圖,在矩形ABCD中,O為AC中點,EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F,交AB于E,點G是AE中點且∠AOG=30°,則下列結論正確的個數為〔〔1DC=3OG；〔2OG=BC；〔3△OGE是等邊三角形；〔4S△AOE=SABCD．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個[考點]LB：矩形的性質；KG：線段垂直平分線的性質；KL：等邊三角形的判定；KO：含30度角的直角三角形．[分析]根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=AG=GE=AE,再根據等邊對等角可得∠OAG=30°,根據直角三角形兩銳角互余求出∠GOE=60°,從而判斷出△OGE是等邊三角形,判斷出〔3正確；設AE=2a,根據等邊三角形的性質表示出OE,利用勾股定理列式求出AO,從而得到AC,再求出BC,然后利用勾股定理列式求出AB=3a,從而判斷出〔1正確,〔2錯誤；再根據三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出〔4正確．[解答]解：∵EF⊥AC,點G是AE中點,∴OG=AG=GE=AE,∵∠AOG=30°,∴∠OAG=∠AOG=30°,∠GOE=90°﹣∠AOG=90°﹣30°=60°,∴△OGE是等邊三角形,故〔3正確；設AE=2a,則OE=OG=a,由勾股定理得,AO===a,∵O為AC中點,∴AC=2AO=2a,∴BC=AC=×2a=a,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB==3a,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=3a,∴DC=3OG,故〔1正確；∵OG=a,BC=a,∴BC≠BC,故〔2錯誤；∵S△AOE=a?a=a2,SABCD=3a?a=3a2,∴S△AOE=SABCD,故〔4正確；綜上所述,結論正確是〔1〔3〔4共3個．故選：C．[點評]本題考查了矩形的性質,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質,等邊三角形的判定與性質,等腰三角形的判定與性質,三角形的面積,設出AE、OG,然后用a表示出相關的邊更容易理解．14．如圖,點O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點E,延長BC到點F,使FC=EC,連結DF交BE的延長線于點H,連結OH交DC于點G,連結HC．則以下四個結論中：①OH∥BF,②GH=BC,③OD=BF,④∠CHF=45°．正確結論的個數為〔A．4個 B．3個 C．2個 D．1個[考點]LE：正方形的性質．[分析]①只要證明OH是△DBF的中位線即可得出結論；②根據OH是△BFD的中位線,得出GH=CF,由GH＜BC,可得出結論；③易證得△ODH是等腰三角形,繼而證得OD=BF；④根據四邊形ABCD是正方形,BE是∠DBC的平分線可求出Rt△BCE≌Rt△DCF,再由∠EBC=22.5°即可求出結論．[解答]解：∵EC=CF,∠BCE=∠DCF,BC=DC,∴△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF,∵∠CBE+∠BEC=90°,∠BEC=∠DEH,∴∠DEH+∠CDF=90°,∴∠BHD=∠BHF=90°,∵BH=BH,∠HBD=∠HBF,∴△BHD≌△BHF,∴DH=HF,∵OD=OB∴OH是△DBF的中位線∴OH∥BF；故①正確；∴OH=BF,∠DOH=∠CBD=45°,∵OH是△BFD的中位線,∴DG=CG=BC,GH=CF,∵CE=CF,∴GH=CF=CE∵CE＜CG=BC,∴GH＜BC,故②錯誤．∵四邊形ABCD是正方形,BE是∠DBC的平分線,∴BC=CD,∠BCD=∠DCF,∠EBC=22.5°,∵CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠EBC=∠CDF=22.5°,∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°,∵OH是△DBF的中位線,CD⊥AF,∴OH是CD的垂直平分線,∴DH=CH,∴∠CDF=∠DCH=22.5°,∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°,∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,故④正確；∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°,∴∠OHD=180°﹣∠ODH﹣∠DOH=67.5°,∴∠ODH=∠OHD,∴OD=OH=BF；故③正確．故選：B．[點評]此題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定與性質以及正方形的性質．解答此題的關鍵是作出輔助線,構造等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質結合角平分線的性質逐步解答．15．如圖,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分線交BC于點E,DH⊥AE于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點O,下列結論：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF,其中正確的有〔A．2個 B．3個 C．4個 D．5個[考點]LB：矩形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；KF：角平分線的性質；KJ：等腰三角形的判定與性質．[專題]121：幾何圖形問題．[分析]①根據角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°,然后利用求出△ABE是等腰直角三角形,根據等腰直角三角形的性質可得AE=AB,從而得到AE=AD,然后利用"角角邊"證明△ABE和△AHD全等,根據全等三角形對應邊相等可得BE=DH,再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根據平角等于180°求出∠CED=67.5°,從而判斷出①正確；②求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根據等角對等邊可得OE=OD=OH,判斷出②正確；③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用"角邊角"證明△BEH和△HDF全等,根據全等三角形對應邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；④根據全等三角形對應邊相等可得DF=HE,然后根據HE=AE﹣AH=BC﹣CD,BC﹣CF=BC﹣〔CD﹣DF=2HE,判斷出④正確；⑤判斷出△ABH不是等邊三角形,從而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到⑤錯誤．[解答]解：∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE=AB,∵AD=AB,∴AE=AD,在△ABE和△AHD中,,∴△ABE≌△AHD〔AAS,∴BE=DH,∴AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED=〔180°﹣45°=67.5°,∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正確；∵AB=AH,∵∠AHB=〔180°﹣45°=67.5°,∠OHE=∠AHB〔對頂角相等,∴∠OHE=67.5°=∠AED,∴OE=OH,∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°,∴∠DHO=∠ODH,∴OH=OD,∴OE=OD=OH,故②正確；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,在△BEH和△HDF中,,∴△BEH≌△HDF〔ASA,∴BH=HF,HE=DF,故③正確；∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD,∴BC﹣CF=BC﹣〔CD﹣DF=BC﹣〔CD﹣HE=〔BC﹣CD+HE=HE+HE=2HE．故④正確；∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等邊三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故⑤錯誤；綜上所述,結論正確的是①②③④共4個．故選：C．[點評]本題考查了矩形的性質,全等三角形的判定與性質,角平分線的定義,等腰三角形的判定與性質,熟記各性質并仔細分析題目條件,根據相等的度數求出相等的角,從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關鍵,也是本題的難點．二．填空題〔共10小題16．如圖,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,點E是邊AD上的一個動點,把△BAE沿BE折疊,點A落在A′處,如果A′恰在矩形的對稱軸上,則AE的長為1或．[考點]LB：矩形的性質；PB：翻折變換〔折疊問題．[分析]分兩種情況：①過A′作MN∥CD交AD于M,交BC于N,則直線MN是矩形ABCD的對稱軸,得出AM=BN=AD=1,由勾股定理得到A′N=0,求得A′M=1,再由勾股定理解得A′E即可；②過A′作PQ∥AD交AB于P,交CD于Q；求出∠EBA′=30°,由三角函數求出AE=A′E=A′B×tan30°；即可得出結果．[解答]解：分兩種情況：①如圖1,過A′作MN∥CD交AD于M,交BC于N,則直線MN是矩形ABCD的對稱軸,∴AM=BN=AD=1,∵△ABE沿BE折疊得到△A′BE,∴A′E=AE,A′B=AB=1,∴A′N==0,即A′與N重合,∴A′M=1,∴A′E2=EM2+A′M2,∴A′E2=〔1﹣A′E2+12,解得：A′E=1,∴AE=1；②如圖2,過A′作PQ∥AD交AB于P,交CD于Q,則直線PQ是矩形ABCD的對稱軸,∴PQ⊥AB,AP=PB,AD∥PQ∥BC,∴A′B=2PB,∴∠PA′B=30°,∴∠A′BC=30°,∴∠EBA′=30°,∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×=；綜上所述：AE的長為1或；故答案為：1或．[點評]本題考查了翻折變換﹣折疊問題,矩形的性質,勾股定理；正確理解折疊的性質是解題的關鍵．17．如圖,矩形ABCD中,AD=3,∠CAB=30°,點P是線段AC上的動點,點Q是線段CD上的動點,則AQ+QP的最小值是3．[考點]LB：矩形的性質；PA：軸對稱﹣最短路線問題．[分析]作點A關于直線CD的對稱點E,作EP⊥AC于P,交CD于點Q,此時QA+QP最短,由QA+QP=QE+PQ=PE可知,求出PE即可解決問題．[解答]解：作點A關于直線CD的對稱點E,作EP⊥AC于P,交CD于點Q．∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∴DQ⊥AE,∵DE=AD,∴QE=QA,∴QA+QP=QE+QP=EP,∴此時QA+QP最短〔垂線段最短,∵∠CAB=30°,∴∠DAC=60°,在RT△APE中,∵∠APE=90°,AE=2AD=6,∴EP=AE?sin60°=6×=3．故答案為3．[點評]本題考查矩形的性質、最短問題、銳角三角函數等知識,解題的關鍵是利用對稱以及垂線段最短找到點P、Q的位置,屬于中考?？碱}型．18．如圖,四邊形ABCD是正方形,直線l1、l2、l3分別過A、B、C三點,l1∥l2∥l3,若l1與l2之間的距離為4,l2與l3之間的距離為5,則正方形的邊長為．[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．[專題]55：幾何圖形．[分析]過點B作EF⊥l1、l2、利用全等三角形的判定和性質以及勾股定理解答即可．[解答]解：過點B作EF⊥l1、l2、,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∵EF⊥l1、l2、l1∥l2∥l3,∴∠AEB=∠BFC=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,在△ABE與△BFC中,∴△ABE≌△BFC〔AAS,∴BE=CF=4,在Rt△BCF中,BC=,故答案為：；[點評]此題考查正方形的性質,關鍵是利用全等三角形的判定和性質以及勾股定理解答．19．如圖,ABCD是菱形,AC是對角線,點E是AB的中點,過點E作對角線AC的垂線,垂足是點M,交AD邊于點F,連結DM．若∠BAD=120°,AE=2,則DM=．[考點]L8：菱形的性質．[專題]17：推理填空題．[分析]作輔助線,構建直角△DMN,先根據菱形的性質得：∠DAC=60°,AE=AF=2,也知菱形的邊長為4,利用勾股定理求MN和DN的長,從而計算DM的長．[解答]解：過M作MN⊥AD于N,∵四邊形ABCD是菱形,∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=×120°=60°,∵EF⊥AC,∴AE=AF=2,∠AFM=30°,∴AM=1,Rt△AMN中,∠AMN=30°,∴AN=,MN=,∵AD=AB=2AE=4,∴DN=4﹣=,由勾股定理得：DM===,故答案為：．[點評]本題主要考查了菱形的性質,等腰三角形的性質,勾股定理及直角三角形30度角的性質,熟練掌握直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半．20．如圖,矩形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,點E是BC上一點,且AB=BE,∠1=15°,則∠2=30°．[考點]LB：矩形的性質．[分析]根據矩形的性質得出∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD,求出OB=OC,OB=OA,根據矩形性質和已知求出∠BAE=∠DAE=45°,求出∠OBC=∠OCB=30°,求出△AOB是等邊三角形,推出AB=OB=BE,求出∠OEB=75°,最后減去∠AEB的度數,即可求出答案．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD,∴OB=OC,OB=OA,∴∠OCB=∠OBC,∵AB=BE,∠ABE=90°,∴∠BAE=∠AEB=45°,∵∠1=15°,∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠AOB=30°+30°=60°,∵OA=OB,∴△AOB是等邊三角形,∴AB=OB,∵∠BAE=∠AEB=45°,∴AB=BE,∴OB=BE,∴∠OEB=∠EOB,∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°,∴∠OEB=75°,∵∠AEB=45°,∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°,故答案為：30°．[點評]本題考查了矩形的性質,等邊三角形的性質,等腰三角形的性質的綜合應用,能求出∠OEB和∠AEB的度數是解此題的關鍵．21．在平面直角坐標系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如圖所示的方式放置,其中點B1在y軸上,點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的邊長為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…則正方形A2017B2017C2017D2017的邊長是．[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．[專題]2A：規(guī)律型．[分析]利用正方形的性質結合銳角三角函數關系得出正方形的邊長,進而得出變化規(guī)律即可得出答案．[解答]解：如圖所示：∵正方形A1B1C1D1的邊長為1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2,D2E3=B3E4,∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°,∴D1E1=C1D1sin30°=,則B2C2=〔1,同理可得：B3C3==〔2,故正方形AnBnCnDn的邊長是：〔n﹣1．則正方形A2017B2017C2017D2017的邊長是：〔2016．故答案為：．[點評]此題主要考查了正方形的性質以及銳角三角函數關系,得出正方形的邊長變化規(guī)律是解題關鍵．22．如圖：點E、F分別是菱形ABCD的邊BC、CD上的點,且∠EAF=∠D=60°,∠FAD=45°,則∠CFE=45度．[考點]L8：菱形的性質；KL：等邊三角形的判定．[專題]11：計算題．[分析]首先證明△ABE≌△ACF,然后推出AE=AF,證明△AEF是等邊三角形,最后可求出∠AFD,∠CFE的度數．[解答]解：連接AC,∵菱形ABCD,∴AB=BC,∠B=∠D=60°,∴△ABC為等邊三角形,∠BCD=120°∴AB=AC,∠ACF=∠BCD=60°,∴∠B=∠ACF,∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=60°,即∠BAE+∠EAC=60°,又∠EAF=60°,即∠CAF+∠EAC=60°,∴∠BAE=∠CAF,在△ABE與△ACF中∴△ABE≌△ACF〔ASA,∴AE=AF,又∠EAF=∠D=60°,則△AEF是等邊三角形,∴∠AFE=60°,又∠AFD=180°﹣45°﹣60°=75°,則∠CFE=180°﹣75°﹣60°=45°．故答案為：45．[點評]此題主要考查菱形的性質和等邊三角形的判定以及三角形的內角和定理．23．如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點E、F同時由A、C兩點出發(fā),分別沿AB、CB方向向點B勻速移動〔到點B為止,點E的速度為1cm/s,點F的速度為2cm/s,經過t秒△DEF為等邊三角形,則t的值為．[考點]L8：菱形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；KK：等邊三角形的性質．[專題]25：動點型．[分析]延長AB至M,使BM=AE,連接FM,證出△DAE≌EMF,得到△BMF是等邊三角形,再利用菱形的邊長為4求出時間t的值．[解答]解：延長AB至M,使BM=AE,連接FM,∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=120°∴AB=AD,∠A=60°,∵BM=AE,∴AD=ME,∵△DEF為等邊三角形,∴∠DAE=∠DFE=60°,DE=EF=FD,∴∠MEF+∠DEA═120°,∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°,∴∠MEF=∠ADE,∴在△DAE和△EMF中,∴△DAE≌EMF〔SAS,∴AE=MF,∠M=∠A=60°,又∵BM=AE,∴△BMF是等邊三角形,∴BF=AE,∵AE=t,CF=2t,∴BC=CF+BF=2t+t=3t,∵BC=4,∴3t=4,∴t=故答案為：．或連接BD．根據SAS證明△ADE≌△BDF,得到AE=BF,列出方程即可．[點評]本題主要考查了菱形的性質,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質等知識,解題的關鍵是運用三角形全等得出△BMF是等邊三角形．24．如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點,N是AB邊上的一動點,將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN,連接A′C,則A′C長度的最小值是﹣1．[考點]L8：菱形的性質；PB：翻折變換〔折疊問題．[分析]根據題意,在N的運動過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動,當A′C取最小值時,由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線,得出A′的位置,進而利用銳角三角函數關系求出A′C的長即可．[解答]解：如圖所示：∵MA′是定值,A′C長度取最小值時,即A′在MC上時,過點M作MF⊥DC于點F,∵在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M為AD中點,∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,∴∠FMD=30°,∴FD=MD=,∴FM=DM×cos30°=,∴MC==,∴A′C=MC﹣MA′=﹣1．故答案為：﹣1．[點評]此題主要考查了菱形的性質以及銳角三角函數關系等知識,得出A′點位置是解題關鍵．25．如圖,在平面直角坐標系中,菱形MNPO的頂點P的坐標是〔3,4,對角線PM與ON交于點B,則點B的坐標為〔4,2．[考點]L8：菱形的性質；D5：坐標與圖形性質．[分析]由菱形的性質再結合勾股定理可求OM的長,則點M的坐標可求出,因為點B是PM中點,進而可求出點B的坐標．[解答]解：∵頂點P的坐標是〔3,4,∴OP==5,∵四邊形MNPO是菱形,∴OP=OM=5,∴點M坐標〔5,0,∵PB=BM,∴點B的橫坐標==4,縱坐標==2,∴點B〔4,2．故答案為〔4,2．[點評]本題考查了菱形的性質以及勾股定理的運用,正確求出點M的坐標是解題關鍵．三．解答題〔共7小題26．如圖,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊AB,BC上,∠ADE=∠CDF．〔1求證：AE=CF；〔2連接DB交EF于點O,延長OB至點G,使OG=OD,連接EG、FG,判斷四邊形DEGF是怎樣的四邊形,并說明理由．[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．[分析]〔1證明△DAE≌△DCF,根據全等三角形的性質證明；〔2根據全等三角形的性質得到DE=DF,證明DG是EF的垂直平分線,得到DE=EG=GF=GF,證明結論．[解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴DA=DC,∠A=∠C=90°,在△DAE和△DCF中,,∴△DAE≌△DCF,∴AE=CF；〔2四邊形DEGF是菱形,∵△DAE≌△DCF,∴DE=DF,∵AE=CF,∴BE=BF,∴DG是EF的垂直平分線,∴GE=GF,∵OG=OD,DG⊥EF,∴ED=EG,∴DE=EG=GF=FD,∴四邊形DEGF是菱形．[點評]本題考查的是正方形的性質、菱形的判定、全等三角形的判定和性質,掌握相關的性質定理和判定定理是解題的關鍵．27．如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC=90°,對角線AC,BD交于點O,DE平分∠ADC交BC于點E,連接OE．〔1求證：四邊形ABCD是矩形；〔2若AB=2,求△OEC的面積．[考點]LD：矩形的判定與性質．[分析]〔1只要證明三個角是直角即可解決問題；〔2作OF⊥BC于F．求出EC、OF的長即可；[解答]〔1證明：∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∵∠ABC=90°,∴∠BAD=90°,∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,∴四邊形ABCD是矩形．〔2作OF⊥BC于F．∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=2,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴AO=BO=CO=DO,∴BF=FC,∴OF=CD=1,∵DE平分∠ADC,∠ADC=90°,∴∠EDC=45°,在Rt△EDC中,EC=CD=2,∴△OEC的面積=?EC?OF=1．[點評]本題考查矩形的判定和性質、角平分線的定義、三角形中位線定理等知識,解題的關鍵是學會添加常用輔助線,構造三角形中位線解決問題,屬于中考?？碱}型．28．△ABC中,點O是AC邊上一個動點,過點O作直線MN∥BC,設MN交∠BCA的平分線于E,交∠DCA的平分線于點F．〔1求證：EO=FO；〔2當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．[考點]LC：矩形的判定．[分析]〔1由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行線的性質有∠1=∠3,等量代換有∠2=∠3,于OE=OC,同理OC=OF,于是OE=OF；〔2OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形,又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線,易證∠ECF是90°,從而可證四邊形AECF是矩形．[解答]〔1解：當點O運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形；理由如下：如圖所示：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2,又∵MN∥BC,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,∴EO=CO,同理,FO=CO,∴EO=FO；〔2解：∵OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵CF是∠BCA的外角平分線,∴∠4=∠5,又∵∠1=∠2,∴∠1+∠5=∠2+∠4,又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°,∴平行四邊形AECF是矩形．[點評]本題考查了矩形判定,平行四邊形判定,平行線性質,角平分線定義的應用,主要考查學生的推理能力．29．[閱讀發(fā)現]如圖①,在正方形ABCD的外側,作兩個等邊三角形ABE和ADF,連結ED與FC交于點M,則圖中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC=90°．[拓展應用]如圖②,在矩形ABCD〔AB＞BC的外側,作兩個等邊三角形ABE和ADF,連結ED與FC交于點M．〔1求證：ED=FC．〔2若∠ADE=20°,求∠DMC的度數．[考點]LE：正方形的性質；KD：全等三角形的判定與性質；LB：矩形的性質．[分析]閱讀發(fā)現：只要證明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°,即可證明．拓展應用：〔1欲證明ED=FC,只要證明△ADE≌△DFC即可．〔2根據∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可計算．[解答]解：如圖①中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=AB=CD,∠ADC=90°,∵△ADE≌△DFC,∴DF=CD=AE=AD,∵∠FDC=60°+90°=150°,∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°,∴∠FDE=60°+15°=75°,∴∠MFD+∠FDM=90°,∴∠FMD=90°,故答案為90°〔1∵△ABE為等邊三角形,∴∠EAB=60°,EA=AB．∵△ADF為等邊三角形,∴∠FDA=60°,AD=FD．∵四邊形ABCD為矩形,∴∠BAD=∠ADC=90°,DC=AB．∴EA=DC．∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°,∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°,∴∠EAD=∠CDF．在△EAD和△CDF中,,∴△EAD≌△CDF．∴ED=FC；〔2∵△EAD≌△CDF,∴∠ADE=∠DFC=20°,∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．[點評]本題考查全等三角形的判定和性質、正方形的性質、矩形的性質等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形,利用全等三角形的尋找解決問題,屬于中考常考題型．30．在Rt△ABC中,∠BAC=90°,