華中師范大學(xué)微分幾何試題答案

華中師范大學(xué)20042005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）答案4.4.題型填空計算證明應(yīng)用總分分值10701010100得分得分評閱人 一、填空題：（共5題，每題2分，共10分）

r r,,,，、 ，. 八、r(t)={-cost,-sint,0},r(t)={sint,-cost,0}。r■—rr rr—Ir1=、2,rxr={sint,-cost,1},lrxr1=、；2,計算拋物面z=^2+y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、臍點。（35分）解:r「 、r,Ar 、r={x,y,x2+y2},r={1,0,2x},r={0,1,2y},所以有rr2\.rr2\.：'1+4x2+4y2rrM=rn=0,rr2了(1+4x2+4y2在臍點有11=xi，由此得x=y=0,即唯一的臍點是原點。得分評閱人三、證明題：（共1題，10分）若曲面的兩族漸近線交于一定角，則主曲率之比為常數(shù)。證明：取漸進網(wǎng)為曲紋坐標(biāo)網(wǎng)，則V曲線與u曲線的夾角為常數(shù)0，且V曲線方向的法曲率為零。根據(jù)歐拉公式有匕cos20+七sin20=0得分評閱人四、應(yīng)用題：（共1題，10分）用高斯-波涅定理證明

極小曲面上不存在簡單閉測地線。解：Qk：k2=0由于在測地線上kg=0由高斯-波涅公式有jjKd。=2k<0。b矛盾華中師范大學(xué)20052006學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）課程名稱微分幾何課程編號任課教師周振榮題型敘述填空計算證明總分分值10303030100得分得手分評閱人、敘述題：（共4題，每題5分，共10分）1?高斯定理：高斯曲率是內(nèi)蘊量，或K=-0g2.高斯-波涅公式：jjKdb+』Kds+2L（?！猘）=2兀，其中a.是dG的第i個內(nèi)角的角度，dG .=1兀-氣是外角的角度.得分評閱人 二、填空題：（共5空，每空6分，共30分）設(shè)有曲線工=ocost,y=etsint,z=et，當(dāng)t=0時的切線方程為尤—1=y=z—1。設(shè)曲面的參數(shù)表示為r=r（u,v），則Ir〃xrI用第一基本量表示為展G—F2。2、如曲線x=tsint,y=tcostz=tet在原點的切向量為a=（0,二廠,一廠），主法向量為AA6v'6\6 3x-'3 \：3P=（"~,一 , ）、副法向量為Y=（"_,"_,—^~）。3 6 6 3 3 3得分評閱人 三、計算題：（共2題，每題15分，共30分）6.圓柱螺線的參數(shù)表示為r=（acost,asint,bt）。計算它的曲率和撓率。解r'=(—asint,acost,b)，r"=(—acost,—asint,0)，r"'=(asint,—acost,0)，Ir'I=qa2+b2，rxr'=(absint,—abcost,a2)，Irxr'I=p'ag+a4.所以有K=-^，T=—^.Ia2+b2 a2+b27.計算正螺面r=（ucosv,usinv,av）的高斯曲率、平均曲率。解r=(cosv,sinv,0)，r=(—usinv,ucosv,a)，r疽（a。,。），r疽（a。,。），r=(—sinv,cosv,0)，r=(—ucosv,—usinv,0)，ijkcosvsinv0—usinvucosvauvrxr=(asinv,—acosv,u)，(asinv,一acosv,u)av'a2+u2a2(a2+a2(a2+u2)2，K= EG一F2得分評閱人四、證明題:（共得分評閱人四、證明題:（共2題，每題15分，共30分）8.求證（1）如果測地線是漸近線，則它必定是直線。（2）如果測地線是曲率線，（1）如果測地線是漸近線，則它必定是直線。（2）如果測地線是曲率線，則它必定是平面曲線。證明（1）證明（1）由K2=K2+K2，如果曲線是測地線（K

ngg=0）且是漸近線（Kn=0），則K=0，所以曲線是直線。（2）由伏雷內(nèi)公式有&=—Ka+Ty。由于曲線是測地線，有P=±n。綜合這兩個等式有土&=—Ka+TY。因為曲線是曲率線，所以a是Weingarten變換W的特征向量，即Wa=Xa，其中人是主曲率。再由Weingarten變換的定義Wa=W（r產(chǎn)+[&）=-七曲一%&=-&，所以土人a=—ka+ty，t=0°.d° .dv9.證明球面r=(acosucosv,acosusinv,asinu)上曲線的測地曲率為k= sinu—，其中9gdsds是曲線與球面上經(jīng)線（〃-曲線）的夾角。證明因為經(jīng)線是"-曲線所以0是曲線與"-曲線的夾角。直接計算得E=a2，F(xiàn)證明因為經(jīng)線是"-曲線G=G=a2cos2u。因為rucos0+-^rucos0+-^1r11r1uvdrdu=r+rdsuds v另一方面，由鏈?zhǔn)椒▌t有drdsr rsin0=「^cos0+、^sin0，E Gdv。比較這兩式得ds.八 fdv 八 .■—dusin0=v'G，cos0=\；E-。

ds ds代入劉維爾公式得華中師范大學(xué)20062007學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷（A卷）答案課程名稱微分幾何課程編號任課教師郭駝英、周振榮題型簡述填空計算證明總分分分得分評閱人 一、簡述題：（共3題，每題5分，共15分）

設(shè)有曲線x=etcost,y=etsint,z=et，則當(dāng)t=0時的切線方程為x-1=y=z-1。設(shè)曲面S:r=r（u,v）的第一基本形式為I=du2+sinh2udv2，則其上的曲線u=v從v=七到et—e-1v=v2的弧長為ISinh七—Sinhv21。（這里sinht=一5—）L=a,M=0,N=b,a+4b5設(shè)曲面S:r=r（u，v）在某點處的第一基本量為L=a,M=0,N=b,a+4b5則曲面在該點沿方向（d）=（1：2）的法曲率為k=n7.設(shè)曲面S:r=r（u,v）在某點處的第二基本量為L=1,M=0,N=—1,則曲面在該點的漸近方向為(d)=(1：±1)。得分評閱人得分評閱人三、計算題：（共3題，每題15分，共45分）et+e—t et—e—t8.求曲線r(t)=(acosht,asinht,at)的曲率和撓率，其中cosht=一-一，sinht=一-一解由一般參數(shù)的曲率公式k(t)=L^L和撓率公式T(t)=(r'r'r)以及r，|3 |r，xr〃|2有Ir'I=\2acosht，Ir'xr"I=J2a2cosh21，(r:r〃,r"')=a2，I9.計算拋物面z=x2+y2的高斯曲率和平均曲率.解設(shè)拋物面的參數(shù)表示為r(x,y)=(x,y,x2+y2)，則「二(1,0,2x)，ry=(0,1,2y)，r=(0,0,2)，r=r=(0,0,0)，r=(0，0,2)，

ijkrxr=102x=(—2x,—2y,1),' "01 2yn=rxr=(-2x,-2y,1)IrxryI (4x2+4y2+1，xx <4xxx <4x2+4y2+1M=rxyNJ^頊4尤2+4y2+1'叱LN—M2K=EG—F2 (1+4x2)(1+4y2)—(4xy)2(4x2+4y2+1)2u1GL—2FM+EN 4x2+4y2+2H=— = 2 EG—F2 3?(4x2+4y2+1)210.求位于正螺面r=(ucosv,usin火av)上的圓柱螺線x=u0cosv,y=u0sinv,z=av的測地曲率。1alnG解因為F1alnG圓柱螺線是v-曲線，由劉維爾定理有k= 。%2、；Eau直接計算得E=1,G=u2+a2,所以k所以k=g^v 0——u2+a20得分評閱人 四、證明題:(共得分評閱人 四、證明題:(共2題，每題10分，共20分)11.求證直紋面的高斯曲率KV0，等號成立的充要條件是直紋面可展。證明直紋面的參數(shù)表示為r=a(u)+vb(u)。由此得r=a'(u)+vb'(u)，r=b(u)，u vr=a〃+vb",r=b，,r=0,uuuvvv

uuuvvva'xb+va'xb+vbfxbn=—.JEG-F2了(b”,b',b}v2+[(a〃,b,b)+(b〃,a',b)]v+(a",a',b)

L= . M=(b，a，b)、；EG-F2丘LN-M2所以=EG—F2(b,a，,b)12v0

(EG—F2)2—'等式成立的充要條件是(b,a',b)=0,即曲面是可展曲面。12.設(shè)有曲面r=r(u,v)，其單位法向量是n，高斯曲率是K。證明nxn=Krxr。uvuv證明因n,n是切向量，所以nxn//rxr。uv uvuv設(shè)nxn=Xrxr。兩邊與rxr作內(nèi)積得uvuv uv(nxn)-(rxr)=X(rxr)-(rxr)。uvuv uvuv由拉格朗日公式得人=K。華中師范大學(xué)20092010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷(A卷)答案課程名稱微分幾何課程編號任課教師周振榮題型簡述填空計算證明總分分分得分評閱人 一、簡述題：(共3題，每題5分，共15分)答給定兩個函數(shù)k(s),t(s),其中k>0，則存在曲線C:r=r(s)，使得其曲率是k，撓率是^；如果忽略空間的位置差別，這樣的曲線是唯一的。敘述第二基本形式的定義。答II=Ldu2+2Mdudv+Ndv2，其中L=r-n,M=r-n,N=r-n。uu uv vva2+a2+b29.計算拋物面Z=42+產(chǎn)的高斯曲率和平均曲率.解設(shè)拋物面的參數(shù)表示為r(4,y)=(4,y,42+產(chǎn))，則r4=(1,0,24),r=(0,1,2y)，r=(0,0,2),r=r=(0,0,0),r=(0,0,2),i j krxr = 1 0 24 = (-24,-2y,1),4 y 0 1 2yn= r xr = (-24,-2y,1)M=r4yIrx"頊442+4yM=r4yL=x得分評閱人四、證明題：(共2題，每題10分，共20分)得分評閱人四、證明題：(共2題，每題10分，共20分)N Tyyn 頊442+4y2+1'叱LN-M2K=EG-F2 (1+442)(1+4y2)-(44y)2(442+4y2+1)2u1GL-2FM+EN442+4y2+2H 2 EG-F2 3(442+4y2+1)210.求位于正螺面r=(ucosv,usin火av)上的圓柱螺線4=u0cosv,y=u0sinv,z=av的測地曲率。解因為F=0,所以是正交網(wǎng)。1 1alnG圓柱螺線是v-曲線，由劉維爾定理有k= =--—。gv2\：Edu直接計算得E=1,G=u2+a2,所以k所以k=gv 0——u2+a20

11.求證直紋面的高斯曲率K<0，等號成立的充要條件是直紋面可展。證明直紋面的參數(shù)表示為r=a(u)+vb(u)。由此得r=a'(u)+vb'(u),r=b(u),u vr=a+vbn,r=b,r=0,、:EG-F2,(b”,b,b)v2+[(a〃,b,b)+(b〃,a',b)]v+(a〃,、:EG-F2M=(b磯b)(EG-F2“LN-M2所以—EG—F2(b‘,a，,b)2<0

(EG—F2)2—'等式成立的充要條件是(b,a',b)=0,即曲面是可展曲面。12.設(shè)有曲面r=r(u,v)，其單位法向量是n，高斯曲率是K。證明nxn=Krxr。uvuv證明因n,n是切向量，所以nxn//rxr。uv uvuv設(shè)nxn=Xrxr。兩邊與rxr作內(nèi)積得uvuv uv(nxn)-(rxr)=X(rxr)-(rxr)。uvuv uvuv由拉格朗日公式得X=K。得分|評閱人 四、證明題：(共2題，每題10分，共20分)11.求證直紋面的高斯曲率K<0，等號成立的充要條件是直紋面可展。證明直紋面的參數(shù)表示為r=a(u)+vb(u)。由此得r=a'(u)+vb'(u)，r=b(u)，uvr=a+vb，r=b，r=0，uuuvvv

uuuvvvdxb+vb'xbn=—. -JEG-F2了(b”,b,b)v2+[(a〃,bb,b)+(b〃,a',b)]v+(a",a',b)L= . M=飽磯b)、；EG—F2“LN-“LN-M2所以=EG—F2(b,a',b)2v0

(EG—F2)2—'等式成立的充要條件是(b,a',b)=0,即曲面是可展曲面。12.設(shè)有曲面r=r(u,v)，其單位法向量是n，高斯曲率是K。證明nxn=Krxr。uvuv證明因n,n是切向量，所以nxn//rxr。uv uvuv設(shè)nxn=Xrxr。兩邊與rxr作內(nèi)積得uvuv uv(nxn)-(rxr)=X(rxr)-(rxr)。uvuv uvuv由拉格朗日公式得人=K。1. 曲線的伏雷內(nèi)公式為rr rr. .■—_—2. 設(shè)曲面的參數(shù)表示為r =2,v），則Ir xrI用第一基本量表示為JEG-F123*3. 曲面的高斯方程為R=LL-LLmijkmkijmjik曲面的科達齊方程為賓-賓=z(ril-ril)OUk ouj lkj ijIk l 5.第二類克氏符號r=￡1gkl（冬+冬―告）ij2 OUJOUiOUi_l 得分評閱人 二、計算題：（共3題，70分）r/ . 八八~1.圓柱螺線的參數(shù)表示為r=（cost,sint,t）。計算它在（1,0,0）點的切線、密切平面、法平面方程以及在任意點處的曲率和撓率。（35分）解：?（0）={1,0,0},戶（0）={0,1,1},乒（0）={-1,0,0}，所以X-1Y-0Z-0 IX-1=0切線：~~0 1r~，即iy-z=0法平面：(X-1)-0+(Y-0)?1+(Z-0)?1=0，即Y+Z=0X-1YZ密切平面：0 11=0，即-Y+Z=0-100什么叫內(nèi)蘊量？請舉兩個內(nèi)蘊量的例子。答由第一基本形式?jīng)Q定的量叫內(nèi)蘊量。如高斯曲率、曲面區(qū)域的面積。請敘述曲面的基本定理.答給定兩個二次型*1=▼gduiduj和II=ZLduiduj，其中I>°。如果g與L滿足高斯、科ij ij ijiji,j i,j達齊方程，則存在曲面S：r=r（u,v），使得第一基本形式是I，第二基本形式是II；如果忽略空間的位置差別，這樣的曲面是唯一的。3.第二基本形式II=-dr-dn嗎？為什么？答