《高等數(shù)學(xué)B》課程教學(xué)大綱

《高等數(shù)學(xué)B》課程教學(xué)大綱(180學(xué)時(shí)，10學(xué)分)一、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù) 高等數(shù)學(xué)B是工科本科各專(zhuān)業(yè)學(xué)生的一門(mén)必修的重要基礎(chǔ)理論課，它是為培養(yǎng)我國(guó)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)所需要的高質(zhì)量專(zhuān)門(mén)人才服務(wù)的。 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得：1.函數(shù)與極限；2.一元函數(shù)微積分學(xué)；3.向量代數(shù)和空間解析幾何；4.多元函數(shù)微積分學(xué)；5.無(wú)窮級(jí)數(shù)(包括傅立葉級(jí)數(shù))；6.常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲取數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 在傳授知識(shí)的同時(shí)，要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。二、總學(xué)時(shí)與學(xué)分 本課程安排分為高等數(shù)學(xué)B(一)、B(二)兩學(xué)期授課，總學(xué)時(shí)為90+90，學(xué)分為5+5。三、課程教學(xué)的基本要求及基本內(nèi)容 說(shuō)明：教學(xué)要求較高的內(nèi)容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等詞表述，要求較低的內(nèi)容用“了解”、“會(huì)”等詞表述。高等數(shù)學(xué)B(一)一、函數(shù)、極限、連續(xù) 1.理解函數(shù)的概念及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。 2.理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。 3.熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。 4.會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。 5.理解極限的概念(對(duì)極限的定義可在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步加深理解。)，掌握極限四則運(yùn)算法則及換元法則。 6.理解極限存在的夾逼準(zhǔn)則，了解單調(diào)有界準(zhǔn)則，會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。 7.了解無(wú)窮小、無(wú)窮大以及無(wú)窮小的階的概念。會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。 8.理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類(lèi)型。 9.了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大、最小值定理)。二、一元函數(shù)微分學(xué) 1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量。 2.掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。 3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。 4.掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。 5.會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 6.理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.會(huì)用洛必達(dá)(L’Hospital)法則求不定式的極限。 8.理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法。會(huì)求解較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。 9.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸進(jìn)線)。 10.了解有向弧與弧微分的概念。了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。 11.了解求方程近似解的二分法和切線法。三、一元函數(shù)積分學(xué) 1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的基本公式、換元法和分部積分法。 2.理解定積分的概念及性質(zhì)，了解可積條件。會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。 3.理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式。 4.掌握定積分的換元法和分部積分法。 5.了解廣義積分的概念以及廣義積分的換元法和分部積分法。 6.了解定積分的近似計(jì)算法(矩形法、梯形法和拋物線法)。 7.掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長(zhǎng)、功、引力等)的方法。四、向量代數(shù)與空間解析幾何 1.會(huì)計(jì)算二階、三階行列式。 2.理解空間直角坐標(biāo)系。 3.理解向量的概念及其表示，掌握向量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積)，掌握兩個(gè)向量垂直、平行的條件。 4.掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。 5.掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。 6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。 7.了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。 8.了解曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影。高等數(shù)學(xué)B(二)五、多元函數(shù)微分學(xué) 1.理解多元函數(shù)的概念。 2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 3.理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。 4.了解方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算方法。 5.掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 6.會(huì)求隱函數(shù)(包括由兩個(gè)方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)。 7.了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會(huì)求它們的方程。 8.了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值。了解求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。六、多元函數(shù)積分學(xué) 1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。 2.掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))，了解三重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))。 3.理解兩類(lèi)曲線積分的概念，了解兩類(lèi)曲線積分的性質(zhì)及兩類(lèi)曲線積分的關(guān)系。 4.會(huì)計(jì)算兩類(lèi)曲線積分。 5.掌握格林(Green)公式，會(huì)使用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。 6.了解兩類(lèi)曲面積分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并會(huì)計(jì)算兩類(lèi)曲面積分。 7.了解散度、旋度的計(jì)算公式。 8.會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(如體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功等)。七、無(wú)窮級(jí)數(shù) 1.理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2.掌握幾何級(jí)數(shù)和p-級(jí)數(shù)的收斂性。 3.了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。 4.了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。 5.了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。 6.了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7.掌握比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點(diǎn)的收斂性可不作要求)。 8.了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。 9.了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。 10.會(huì)利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)的馬克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。 11.了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 12.了解函數(shù)展開(kāi)為傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的狄利克雷(Dirichlet)條件，會(huì)將定義在周期區(qū)間上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，并會(huì)將定義在單邊區(qū)間上的函數(shù)展開(kāi)為正弦或余弦級(jí)數(shù)。八、常微分方程 1.了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。 2.掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會(huì)解齊次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用變量代換求方程的思想。 3.會(huì)解全微分方程。 4.會(huì)用降階法解高階微分方程。 5.理解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。 6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。 7.會(huì)求特殊二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。 8.會(huì)用微分方程解一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問(wèn)題。四、學(xué)時(shí)分配序號(hào)內(nèi)容學(xué)時(shí)安排小計(jì)理論課時(shí)實(shí)驗(yàn)或習(xí)題課時(shí)1函數(shù)、極限、連續(xù)124162一元函數(shù)微分學(xué)226283一元函數(shù)積分學(xué)228304向量代數(shù)與空間解幾124165多元函數(shù)微分學(xué)144186多元函數(shù)積分學(xué)248327無(wú)窮級(jí)數(shù)166228常微分方程14418總計(jì)13644180五、教材與教學(xué)參考書(shū) 教材：《高等數(shù)學(xué)》(第五版)上、下冊(cè)， 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編，高等教育出版社