復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)旦大學(xué)(修訂版)習(xí)題答案

復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)旦大學(xué)(修訂版)習(xí)題答案習(xí)題一1.用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù).①解②解：③解：④解：2.求下列各復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部(z=x+iy)R);1：∵設(shè)z=x+iy則∴,．②解：設(shè)z=x+iy∵∴,．③解：∵∴,．④解：∵∴,．⑤解：∵．∴當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．3.求下列復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)①解：．②解：③解：．④解：4、證明：當(dāng)且僅當(dāng)時，z才是實(shí)數(shù)．證明：若，設(shè)，則有，從而有，即y=0∴z=x為實(shí)數(shù)．若z=x，x∈，則．∴．命題成立．5、設(shè)z,w∈，證明：證明∵∴．6、設(shè)z,w∈，證明下列不等式．并給出最后一個等式的幾何解釋．證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了．下面證．∵．從而得證．∴幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的和．7.將下列復(fù)數(shù)表示為指數(shù)形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.計算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解：∴∴．9.設(shè).證明：證明：∵∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1從而11.設(shè)是圓周令,其中.求出在a切于圓周的關(guān)于的充分必要條件.解：如圖所示．因?yàn)?{z:=0}表示通過點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90°故α-β=90°所以在α處切于圓周T的關(guān)于β的充要條件是α-β=90°．12.指出下列各式中點(diǎn)z所確定的平面圖形，并作出草圖.解：(1)、argz=π．表示負(fù)實(shí)軸．(2)、|z-1|=|z|．表示直線z=．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。（4）、Re(z)>Imz．解：表示直線y=x的右下半平面5、Imz>1，且|z|<2．解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。習(xí)題二1.求映射下圓周的像.解：設(shè)則因?yàn)?所以所以,所以即，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設(shè)或.（1）；（2）;(3)x=a,

y=b.(a,b為實(shí)數(shù))解：設(shè)所以(1)記，則映射成w平面內(nèi)虛軸上從O到4i的一段，即(2)記，則映成了w平面上扇形域，即(3)記，則將直線x=a映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向左的拋物線將y=b映成了即是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.(1);解：令,則.于是.(2);解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時f(z)的極限不同所以極限不存在.（3）；解：=.（4）.解：因?yàn)樗?4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1)解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2)解：因?yàn)?所以所以f(z)在整個z平面連續(xù).5.下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1)

(n為正整數(shù))；解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個z平面上可導(dǎo)..(2).解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3).解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4).解：因?yàn)?所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6.試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1);解：在全平面上可微.所以要使得，,只有當(dāng)z=0時,從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(2).解：在全平面上可微.只有當(dāng)z=0時,即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導(dǎo)，在全平面上不解析.(3);解：在全平面上可微.所以只有當(dāng)時，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導(dǎo)，在全平面不解析.(4).解：設(shè)，則所以只有當(dāng)z=0時才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導(dǎo)，處處不解析.7.證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù).(1);證明：因?yàn)椋?.所以u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2)解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3)Ref(z)=常數(shù).證明：因?yàn)镽ef(z)為常數(shù)，即u=C1,因?yàn)閒(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4)Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因?yàn)閒(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5.|f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z)0,但，即u2+v2=C2則兩邊對x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用C-R條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6)argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得

C-R條件→解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8.設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9.試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2).證明：處處可微，且所以,

所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10.設(shè)求證：(1)f(z)在z=0處連續(xù)．(2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程．(3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續(xù)．(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有．當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時，z=x，有它們分別為∴∴滿足C-R條件．(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．11.設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足C-R方程，即．，得故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足C-R條件從而在D1內(nèi)解析13.計算下列各值(1)e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14.設(shè)z沿通過原點(diǎn)的放射線趨于∞點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ，對于θ，z→∞時，r→∞．故．所以．15.計算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16.試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)．設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)．17.計算下列各值．(1)(2)(3)18.計算下列各值(1)(2)(3)(4)(5)(6)19.求解下列方程(1)sinz=2．解：(2)解：即(3)解：即(4)解：．20.若z=x+iy，求證(1)sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明：21.證明當(dāng)y→∞時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大．證明：∴而當(dāng)y→+∞時，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．當(dāng)y→-∞時，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以當(dāng)y→∞時有|cosz|→∞．習(xí)題三1.計算積分,其中C為從原點(diǎn)到點(diǎn)1+i的直線段.解設(shè)直線段的方程為,則.故2.計算積分，其中積分路徑C為(1)從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的直線段;(2)沿拋物線y=x2，從點(diǎn)0到點(diǎn)1+i的弧段.解(1)設(shè).

(2)設(shè).

3.計算積分，其中積分路徑C為(1)從點(diǎn)-i到點(diǎn)i的直線段;(2)沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i;(3)沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點(diǎn)-i到點(diǎn)i.解(1)設(shè).

(2)設(shè).從到(3)設(shè).從到6.計算積分,其中為.解∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析∴從而故7.計算積分,其中積分路徑為（1）（2）（3）（4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個奇點(diǎn).（2）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含三個奇點(diǎn).故（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點(diǎn),故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點(diǎn),故10.利用牛頓-萊布尼茲公式計算下列積分.(1)

(2)

(3)(4)

(5)

(6)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.計算積分,其中為(1)

(2)

(3)解

(1)(2)(3)16.求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1.(1)(2)(3)解(1)(2)(3)

17.計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周(2)中心位于點(diǎn),半徑為的正向圓周解：(1)內(nèi)包含了奇點(diǎn)∴(2)內(nèi)包含了奇點(diǎn),∴19.驗(yàn)證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1)設(shè),∴從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2)設(shè),∴從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).20.證明:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明:∴,從而是調(diào)和函數(shù).∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵∴不滿足C-R方程,從而不是解析函數(shù).22.由下列各已知調(diào)和函數(shù),求解析函數(shù)(1)

(2)解(1)因?yàn)樗粤顈=0,上式變?yōu)閺亩?2)用線積分法，?。▁0,y0）為(1,0)，有

由，得C=023.設(shè),其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點(diǎn)的個數(shù).證明:不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為k,其零點(diǎn)分別為

24.試證明下述定理(無界區(qū)域的柯西積分公式):設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)Z，并取充分大的R，作圓CR:，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因?yàn)樵谏辖馕?，且所以，?dāng)Z在C外部時，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習(xí)題四1.復(fù)級數(shù)與都發(fā)散,則級數(shù)和發(fā)散.這個命題是否成立?為什么?答.不一定．反例:發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.2.下列復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)是否收斂,是絕對收斂還是條件收斂?(1)

(2)

(3)(4)

(5)解(1)因?yàn)榘l(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散又因?yàn)樗园l(fā)散(3)發(fā)散,又因?yàn)槭諗?所以不絕對收斂.(4)因?yàn)樗约墧?shù)不絕對收斂.又因?yàn)楫?dāng)n=2k時,級數(shù)化為收斂當(dāng)n=2k+1時,級數(shù)化為也收斂所以原級數(shù)條件收斂(5)其中發(fā)散,收斂所以原級數(shù)發(fā)散.3.證明:若,且和收斂,則級數(shù)絕對收斂.證明:設(shè)因?yàn)楹褪諗克允諗坑忠驗(yàn)?所以且當(dāng)n充分大時,所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級數(shù)絕對收斂.4.討論級數(shù)的斂散性解因?yàn)椴糠趾停裕?，不存?當(dāng)而時（即），cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂．.故當(dāng)和時,收斂.5.冪級數(shù)能否在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解：設(shè)，則當(dāng)時，級數(shù)收斂，時發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散,則顯然矛盾,所以冪級數(shù)不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散6.下列說法是否正確?為什么?(1)每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂.(2)每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn).答:(1)不正確,因?yàn)閮缂墧?shù)在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2)不正確,因?yàn)槭諗康膬缂墧?shù)的和函數(shù)在收斂圓周內(nèi)是解析的.7.若的收斂半徑為R,求的收斂半徑。解：因?yàn)樗?.證明：若冪級數(shù)的系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時,(2)當(dāng)時,(3)當(dāng)時,證明：考慮正項(xiàng)級數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。當(dāng)，即，不能趨于零,級數(shù)發(fā)散.故收斂半徑.當(dāng)時,,級數(shù)收斂且.若,對當(dāng)充分大時,必有不能趨于零,級數(shù)發(fā)散.且9.求下列級數(shù)的收斂半徑，并寫出收斂圓周。(1)

(2)(3)(4)解:(１)

收斂圓周(2)所以收斂圓周(3)記由比值法,有要級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4)記所以時絕對收斂,收斂半徑收斂圓周10.求下列級數(shù)的和函數(shù).(1)

(2)解:(1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2)令：故R=∞,由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：，A,B待定。所以11.設(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為1證明：因?yàn)榧墧?shù)收斂設(shè)若的收斂半徑為1則現(xiàn)用反證法證明若則，有，即收斂，與條件矛盾。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知，必有，所以12.若在點(diǎn)處發(fā)散，證明級數(shù)對于所有滿足點(diǎn)都發(fā)散.證明：不妨設(shè)當(dāng)時，在處收斂則對，絕對收斂，則在點(diǎn)處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.13.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù),(到項(xiàng)),并指出其收斂半徑.解:因?yàn)槠纥c(diǎn)為所以又于是，有展開式14.用直接法將函數(shù)在點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù),(到項(xiàng))解：為的奇點(diǎn)，所以收斂半徑又于是，在處的泰勒級數(shù)為15.用間接法將下列函數(shù)展開為泰勒級數(shù)，并指出其收斂性.(1)分別在和處(2)在處(3)在處(4)在處(5)在處解（1）(2)(3)(4)(5)因?yàn)閺难刎?fù)實(shí)軸不解析所以,收斂半徑為R=116.為什么區(qū)域內(nèi)解析且在區(qū)間取實(shí)數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級數(shù)時，展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)？答：因?yàn)楫?dāng)取實(shí)數(shù)值時，與的泰勒級數(shù)展開式是完全一致的，而在內(nèi)，的展開式系數(shù)都是實(shí)數(shù)。所以在內(nèi)，的冪級數(shù)展開式的系數(shù)是實(shí)數(shù).17.求的以為中心的各個圓環(huán)域內(nèi)的羅朗級數(shù).解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個以為中心的圓環(huán)域,其羅朗級數(shù).分別為：19.在內(nèi)將展開成羅朗級數(shù).解:令則而在內(nèi)展開式為所以,代入可得20.有人做下列運(yùn)算,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因?yàn)橐蠖笏?在不同區(qū)域內(nèi)21.證明:用z的冪表示的羅朗級數(shù)展開式中的系數(shù)為證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡單曲線.22.是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?解:因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時，z=0。從而不是的孤立奇點(diǎn).23.用級數(shù)展開法指出函數(shù)在處零點(diǎn)的級.解：故z=0為f(z)的15級零點(diǎn)24.判斷是否為下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類型：⑴；

⑵解:是的孤立奇點(diǎn)因?yàn)樗允堑谋拘云纥c(diǎn).(2)因?yàn)樗允堑目扇テ纥c(diǎn).25.下列函數(shù)有些什么奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出其點(diǎn)：⑴⑵⑶解:(1)所以是奇點(diǎn),是二級極點(diǎn).解:(2)是奇點(diǎn),是一級極點(diǎn),0是二級極點(diǎn).解:(3)是的二級零點(diǎn)而是的一級零點(diǎn),是的一級零點(diǎn)所以是的二級極點(diǎn),是的一級極點(diǎn).26.判定下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？⑴⑵⑶解:(1)當(dāng)時,所以,是的可去奇點(diǎn).(2)因?yàn)樗?是的本性奇點(diǎn).(3)當(dāng)時,所以,是的可去奇點(diǎn).27.函數(shù)在處有一個二級極點(diǎn)，但根據(jù)下面羅朗展開式：.我們得到“又是的本性奇點(diǎn)”，這兩個結(jié)果哪一個是正確的？為什么?解:

不對,z=1是f(z)的二級極點(diǎn),不是本性奇點(diǎn).所給羅朗展開式不是在內(nèi)得到的在內(nèi)的羅朗展開式為28.如果C為正向圓周，求積分的值(1)

(2)解：（1）先將展開為羅朗級數(shù)，得而=3在內(nèi)，,故(2)在內(nèi)處處解析，羅朗展開式為而=3在內(nèi)，,故習(xí)題五1.求下列函數(shù)的留數(shù)．(1)在z=0處．解：在0<|z|<+∞的羅朗展開式為∴(2)在z=1處．解：在0<|<+∞的羅朗展開式為∴．2.利用各種方法計算f(z)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．(1)解：的有限孤立奇點(diǎn)處有z=0，z=-2．其中z=0為二級極點(diǎn)z=-2為一級極點(diǎn)．∴3.利用羅朗展開式求函數(shù)在∞處的留數(shù)．解：∴從而5.計算下列積分．(1)，n為正整數(shù)，c為|z|=n取正向．解：．為在c內(nèi)tanπz有(k=0,±1,±2…±(n-1))一級極點(diǎn)由于∴(2)c:|z|=2取正向．解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=-i兩個奇點(diǎn)．所以6.計算下列積分．(1)因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以令則有設(shè)則被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個簡單極點(diǎn)但所以又因?yàn)椤?2)，|a|>1．解：令令z=eiθ．，則得(3)，a>0，b>0．解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級極點(diǎn)z=ia和ib．故

（4）.，a>0．解：令，則z=±ai分別為R(z)的二級極點(diǎn)故(5)，β>0，b>0．解：而考知，則R(z)在上半平面有z=bi一個二級極點(diǎn)．從而(6)，a>0解：令，在上半平面有z=ai一個一級極點(diǎn)7.計算下列積分(1)解：令，則R(z)在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)z=0，作以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]構(gòu)成封閉曲線，此時閉曲線內(nèi)只有一個奇點(diǎn)i,于是：而．故：．(2)，其中T為直線Rez=c,

c>0,

0<a<1解：在直線z=c+iy(-∞<y<+∞)上，令，，收斂，所以積分是存在的，并且其中AB為復(fù)平面從c-iR到c+iR的線段．考慮函數(shù)f(z)沿長方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的積分．＜如下圖＞因?yàn)閒(z)在其內(nèi)僅有一個二級極點(diǎn)z=0，而且所以由留數(shù)定理．而．習(xí)題六1.求映射下，下列曲線的像.(1)

(，為實(shí)數(shù))解：,所以將映成直線.(2)(k為實(shí)數(shù))解：故將映成直線.2.下列區(qū)域在指定的映射下映成什么？（1）；解：所以.故將映成.(2)Re(z)>0.

0<Im(z)<1,

.解：設(shè)z=x+iy,

x>0,

0<y<1.

Re(w)>0.Im(w)>0.

若w=u+iv,則因?yàn)?<y<1,則故將Re(z)>0,0<Im(z)<1.映為Re(w)>0,Im(w)>0,

(以（,0）為圓心、為半徑的圓)3.求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，問w=z2將經(jīng)過點(diǎn)z=i且平行于實(shí)軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個方向？并作圖.解：因?yàn)?2z,所以(i)=2i,||=2,旋轉(zhuǎn)角arg=.于是,經(jīng)過點(diǎn)i且平行實(shí)軸正向的向量映成w平面上過點(diǎn)-1，且方向垂直向上的向量.如圖所示.

→4.一個解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2在z平面上每一點(diǎn)都具有這個性質(zhì)嗎？答：一個解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導(dǎo)數(shù)不為零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在z=0處導(dǎo)數(shù)為零，所以在z=0處不具備這個性質(zhì).5.求將區(qū)域0<x<1變?yōu)楸旧淼恼w線性質(zhì)變換的一般形式.6.試求所有使點(diǎn)不動的分式線性變換.解：設(shè)所求分式線性變換為(ad-bc0)由.得因?yàn)?即,由代入上式，得.因此令，得其中a為復(fù)數(shù).反之也成立，故所求分式線性映射為，a為復(fù)數(shù).7.若分式線性映射，將圓周|z|=1映射成直線則其余數(shù)應(yīng)滿足什么條件？解：若將圓周|z|=1映成直線，則映成.而落在單位圓周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系數(shù)應(yīng)滿足ad-bc0,且|c|=|d|.8.試確定映射，作用下，下列集合的像.(1);

(2)|z|=2;

(3)Im(z)>0.解：(1)Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫成參數(shù)方程為，,

.消去y得，像曲線方程為單位圓,即u2+v2=1.(2)|z|=2.是一圓圍，令.代入得化為參數(shù)方程.消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓.即(3)當(dāng)Im(z)>0時，即,令w=u+iv得.即v>0,故Im(z)>0的像為Im(w)>0.9.求出一個將右半平面Re(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.解：設(shè)映射將右半平面z0映射成w=0，則z0關(guān)于軸對稱點(diǎn)的像為，所以所求分式線性變換形式為其中k為常數(shù).又因?yàn)?而虛軸上的點(diǎn)z對應(yīng)|w|=1,不妨設(shè)z=0，則故.10.映射將映射成,實(shí)數(shù)的幾何意義顯什么？解：因?yàn)閺亩怨时硎驹趩挝粓A內(nèi)處的旋轉(zhuǎn)角.11.求將上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1單位圓的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件(1)f(i)=0,=0;(2)f(1)=1,f(i)=.解：將上半平面Im(z)>0,映為單位圓|w|<1的一般分式線性映射為w=k(Im()>0).(1)由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2)由f(1)=1,得k=；由f(i)=,得k=聯(lián)立解得.12.求將|z|<1映射成|w|<1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：(1)f()=0,f(-1)=1.

(2)

f()=0,,

(3)f(a)=a,.解：將單位圓|z|<1映成單位圓|w|<1的分式線性映射，為

,

||<1.(1)由f()=0，知.又由f(-1)=1，知.故.(2)由f()=0，知，又，于是.(3)先求，使z=a，,且|z|<1映成||<1.則可知再求w=g()，使=0w=a,,且||<1映成|w|<1.先求其反函數(shù),它使|w|<1映為||<1,w=a映為=0，且,則.因此，所求w由等式給出..13.求將頂點(diǎn)在0，1，i的三角形式的內(nèi)部映射為頂點(diǎn)依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得∶=∶.=..14.求出將圓環(huán)域2<|z|<5映射為圓環(huán)域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式線性映射.解：因?yàn)閦=5,-5,-2,2映為w=-4,4,10,-10,由交比不變性，有∶=∶故w=f(z)應(yīng)為∶=∶即=.討論求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=-4.所以|z|>2映為|w|<10.又w=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=-10，所以將|z|<5映為|w|>4，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求.15.映射將z平面上的曲線映射到w平面上的什么曲線？解：略.16.映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1)直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2)帶形區(qū)域;(3)半帶形區(qū)域.解：（1）令z=x+iy,Re(z)=C1,z=C1+iy,Im(z)=C2,則z=x+iC2故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2）令z=x+iy，,則故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3）令z=x+iy，x>0，0<y<,.則故將半帶形區(qū)域Re(z)>0,0<Im(z)<,映為|w|>1,().17.求將單位圓的外部|z|>1保形映射為全平面除去線段-1<Re(w)<1,Im(w)=0的映射.解：先用映射將|z|>1映為|w1|<1,再用分式線性映射.將|w1|<1映為上半平面Im(w2)>0,然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實(shí)軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕[-1,1]的全平面.故.18.求出將割去負(fù)實(shí)軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)>0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)>0；再用將半平面映為有割痕(-,-1]的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形0<Im(w4)<,Re(w4)>0；最后用映為所求區(qū)域，故.19.求將Im(z)<1去掉單位圓|z|<1保形映射為上半平面Im(w)>0的映射.解：略.20.映射將半帶形區(qū)域0<Re(z)<,Im(z)>0保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：因?yàn)榭梢苑纸鉃閣1=iz，，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以（1）w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0<Im(w1)<,Re(w1)<0.（2）將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|<1,Im(w2)>0.（3）將區(qū)域映為下半平面Im(w)<0.習(xí)題七1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，則有其中當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時，則有其中證明：因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故有為奇數(shù)。

=所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，有同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時，有.其中2.在上一題中，設(shè).計算的值.解:3.計算函數(shù).解:4.求下列函數(shù)的傅里葉變換解：(2)解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:

令，則在上半平面有兩個一級極點(diǎn).故.(5)解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令則

.5.設(shè)函數(shù)F(t)是解析函數(shù)，而且在帶形區(qū)域內(nèi)有界.定