經(jīng)濟學(xué)第3章 平穩(wěn)線性ARMA模型2 AR模型課件

本節(jié)結(jié)構(gòu)方法性工具線性過程的因果性和可逆性AR模型1本節(jié)結(jié)構(gòu)方法性工具13.1方法性工具差分運算滯后算子線性差分方程在正式討論線性過程之前，我們首先給出相應(yīng)的準備工具，介紹延遲算子和求解線性差分方程，這些工具會使得時間序列模型表達和分析更為簡潔和方便23.1方法性工具差分運算2差分運算一階差分階差分步差分3差分運算一階差分3滯后算子延遲算子類似于一個時間指針，當(dāng)前序列值乘以一個延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時間向過去撥了一個時刻

記B為延遲算子，有

4滯后算子延遲算子類似于一個時間指針，當(dāng)前序列值乘以一個延遲算延遲算子的性質(zhì)

，其中

5延遲算子的性質(zhì)5用延遲算子表示差分運算階差分步差分6用延遲算子表示差分運算階差分6線性差分方程

線性差分方程齊次線性差分方程7線性差分方程線性差分方程7齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實數(shù)根場合有相等實根場合復(fù)根場合8齊次線性差分方程的解特征方程8非齊次線性差分方程的解

非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解非齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和9非齊次線性差分方程的解非齊次線性差分方程的特解910線性平穩(wěn)時間序列分析在時間序列的統(tǒng)計分析中，平穩(wěn)序列是一類重要的隨機序列。在這方面已經(jīng)有了比較成熟的理論知識，最常用的是ARMA（AutoregressiveMovingAverage）序列。用ARMA模型去近似地描述動態(tài)數(shù)據(jù)在實際應(yīng)用中有許多優(yōu)點，例如它是線性模型，只要給出少量參數(shù)就可完全確定模型形式；另外，便于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在性質(zhì)，也便于在最小方差意義下進行最佳預(yù)測和控制。本章將討論ARMA模型的基本性質(zhì)和特征，這是時間序列統(tǒng)計分析中的重要理論基礎(chǔ)。10線性平穩(wěn)時間序列分析在時間序列的統(tǒng)計分析中，平穩(wěn)序列是111112定理3.1定義（3.1）中的線性過程是平穩(wěn)序列，且是均方收斂的。12定理3.1定義（3.1）中的線性過程是平穩(wěn)序列，且133.1.2線性過程的因果性和可逆性在應(yīng)用時間序列分析去解決實際問題時，所使用的線性過程是因果性的，即：133.1.2線性過程的因果性和可逆性在應(yīng)用時間序列分析去14設(shè)為一步延遲算子，則，，(3.4)可表為：其中，，今后將把看作對進行運算的算子，又可作為的函數(shù)來討論。14設(shè)為一步延遲算子，則15

在理論研究和實際問題的處理時，通常還需要用t時刻及t時刻以前的來表示白噪聲，2ARMA模型的性質(zhì)

AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）183.2ARMA模型的性質(zhì)AR模型（AutoRegre193.2.1一階自回歸過程AR(1)通常地，由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣性的作用，經(jīng)濟時間序列往往存在著前后依存關(guān)系。最簡單的一種情形就是變量當(dāng)前的取值主要與其前一時期的取值狀況有關(guān)，用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是下面介紹的一階自回歸模型。193.2.1一階自回歸過程AR(1)通常地，由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣202021

在一階自回歸AR(1)模型中，保持其平穩(wěn)性的條件是對應(yīng)的特征方程的根的絕對值必須小于1，即滿足。對于平穩(wěn)的AR(1)模型，經(jīng)過簡單的計算易得21在一階自回歸AR(1)模型中，保持其平穩(wěn)性的條件是2222233.2.2二階自回歸過程AR(2)當(dāng)變量當(dāng)前的取值主要與其前兩時期的取值狀況有關(guān)，用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是如下的二階自回歸模型AR(2)：引入延遲算子的表達形式為：233.2.2二階自回歸過程AR(2)當(dāng)變量當(dāng)前的取值主要242425下面利用特征方程的根與模型參數(shù)的關(guān)系，給出AR(2)模型平穩(wěn)的的取值條件（或值域）。25下面利用特征方程的根與模型參數(shù)的26(3.16)和(3.17)式是保證AR(2)模型平穩(wěn)，回歸參數(shù)所應(yīng)具有的條件。反之，若(3.16)和(3.17)式成立，則特征方程特征方程的根必落在單位圓內(nèi)。2627滿足條件(3.16)和(3.17)式給出的區(qū)域

稱為平穩(wěn)域。對于AR(2)模型平穩(wěn)域是一個三角形區(qū)域，見下圖陰影部分。27滿足條件(3.16)和(3.17)式給出的區(qū)域2828292930例3.2

設(shè)AR(2)模型：試判別的平穩(wěn)性。解：根據(jù)上述關(guān)于平穩(wěn)條件的討論，可以通過兩種徑進行討論：30例3.2設(shè)AR(2)模型：313132下面我們討論序列的統(tǒng)計特性，關(guān)于平穩(wěn)的二階自回歸模型AR(2)模型：32下面我們討論序列的統(tǒng)計特性，關(guān)于平穩(wěn)的二階自回歸模型ARAR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當(dāng)時，稱為中心化模型33AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令34AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

自回歸系數(shù)多項式35自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法36AR模型平穩(wěn)性判別判別原因36例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性37例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性37例3.1平穩(wěn)序列時序圖38例3.1平穩(wěn)序列時序圖38例3.1非平穩(wěn)序列時序圖39例3.1非平穩(wěn)序列時序圖39AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別

平穩(wěn)域40AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別40AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域41AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根41AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域42AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域42例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)43例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)44平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值44均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出45均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有45方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得46方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式46例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差47例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式48協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為49例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式49例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為50例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式51自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義51常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型52常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型52AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減53AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性53例3.5:考察如下AR模型的自相關(guān)圖54例3.5:考察如下AR模型的自相關(guān)圖54例3.5—自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零55例3.5—自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零55例3.5:—56例3.5:—56例3.5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性57例3.5:—自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周例3.5:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減58例3.5:—自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減58偏自相關(guān)系數(shù)定義對于平穩(wěn)AR(p)序列，所謂滯后k偏自相關(guān)系數(shù)就是指在給定中間k-1個隨機變量的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量的干擾之后，對影響的相關(guān)度量。用數(shù)學(xué)語言描述就是59偏自相關(guān)系數(shù)定義59偏自相關(guān)系數(shù)的計算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模型第個k回歸系數(shù)的值。60偏自相關(guān)系數(shù)的計算滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于k階自回歸模偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾61偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)P階截尾61例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖62例3.5續(xù):考察如下AR模型的偏自相關(guān)圖62例3.5—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖63例3.5—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖63例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖64例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖64例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖65例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)圖65例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖66例3.5:—理論偏自相關(guān)系數(shù)樣本偏自相關(guān)系數(shù)圖66本節(jié)結(jié)構(gòu)方法性工具線性過程的因果性和可逆性AR模型67本節(jié)結(jié)構(gòu)方法性工具13.1方法性工具差分運算滯后算子線性差分方程在正式討論線性過程之前，我們首先給出相應(yīng)的準備工具，介紹延遲算子和求解線性差分方程，這些工具會使得時間序列模型表達和分析更為簡潔和方便683.1方法性工具差分運算2差分運算一階差分階差分步差分69差分運算一階差分3滯后算子延遲算子類似于一個時間指針，當(dāng)前序列值乘以一個延遲算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時間向過去撥了一個時刻

記B為延遲算子，有

70滯后算子延遲算子類似于一個時間指針，當(dāng)前序列值乘以一個延遲算延遲算子的性質(zhì)

，其中

71延遲算子的性質(zhì)5用延遲算子表示差分運算階差分步差分72用延遲算子表示差分運算階差分6線性差分方程

線性差分方程齊次線性差分方程73線性差分方程線性差分方程7齊次線性差分方程的解特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實數(shù)根場合有相等實根場合復(fù)根場合74齊次線性差分方程的解特征方程8非齊次線性差分方程的解

非齊次線性差分方程的特解使得非齊次線性差分方程成立的任意一個解非齊次線性差分方程的通解齊次線性差分方程的通解和非齊次線性差分方程的特解之和75非齊次線性差分方程的解非齊次線性差分方程的特解976線性平穩(wěn)時間序列分析在時間序列的統(tǒng)計分析中，平穩(wěn)序列是一類重要的隨機序列。在這方面已經(jīng)有了比較成熟的理論知識，最常用的是ARMA（AutoregressiveMovingAverage）序列。用ARMA模型去近似地描述動態(tài)數(shù)據(jù)在實際應(yīng)用中有許多優(yōu)點，例如它是線性模型，只要給出少量參數(shù)就可完全確定模型形式；另外，便于分析數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)和內(nèi)在性質(zhì)，也便于在最小方差意義下進行最佳預(yù)測和控制。本章將討論ARMA模型的基本性質(zhì)和特征，這是時間序列統(tǒng)計分析中的重要理論基礎(chǔ)。10線性平穩(wěn)時間序列分析在時間序列的統(tǒng)計分析中，平穩(wěn)序列是771178定理3.1定義（3.1）中的線性過程是平穩(wěn)序列，且是均方收斂的。12定理3.1定義（3.1）中的線性過程是平穩(wěn)序列，且793.1.2線性過程的因果性和可逆性在應(yīng)用時間序列分析去解決實際問題時，所使用的線性過程是因果性的，即：133.1.2線性過程的因果性和可逆性在應(yīng)用時間序列分析去80設(shè)為一步延遲算子，則，，(3.4)可表為：其中，，今后將把看作對進行運算的算子，又可作為的函數(shù)來討論。14設(shè)為一步延遲算子，則81

在理論研究和實際問題的處理時，通常還需要用t時刻及t時刻以前的來表示白噪聲，2ARMA模型的性質(zhì)

AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）

ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）843.2ARMA模型的性質(zhì)AR模型（AutoRegre853.2.1一階自回歸過程AR(1)通常地，由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣性的作用，經(jīng)濟時間序列往往存在著前后依存關(guān)系。最簡單的一種情形就是變量當(dāng)前的取值主要與其前一時期的取值狀況有關(guān)，用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是下面介紹的一階自回歸模型。193.2.1一階自回歸過程AR(1)通常地，由于經(jīng)濟系統(tǒng)慣862087

在一階自回歸AR(1)模型中，保持其平穩(wěn)性的條件是對應(yīng)的特征方程的根的絕對值必須小于1，即滿足。對于平穩(wěn)的AR(1)模型，經(jīng)過簡單的計算易得21在一階自回歸AR(1)模型中，保持其平穩(wěn)性的條件是8822893.2.2二階自回歸過程AR(2)當(dāng)變量當(dāng)前的取值主要與其前兩時期的取值狀況有關(guān)，用數(shù)學(xué)模型來描述這種關(guān)系就是如下的二階自回歸模型AR(2)：引入延遲算子的表達形式為：233.2.2二階自回歸過程AR(2)當(dāng)變量當(dāng)前的取值主要902491下面利用特征方程的根與模型參數(shù)的關(guān)系，給出AR(2)模型平穩(wěn)的的取值條件（或值域）。25下面利用特征方程的根與模型參數(shù)的92(3.16)和(3.17)式是保證AR(2)模型平穩(wěn)，回歸參數(shù)所應(yīng)具有的條件。反之，若(3.16)和(3.17)式成立，則特征方程特征方程的根必落在單位圓內(nèi)。2693滿足條件(3.16)和(3.17)式給出的區(qū)域

稱為平穩(wěn)域。對于AR(2)模型平穩(wěn)域是一個三角形區(qū)域，見下圖陰影部分。27滿足條件(3.16)和(3.17)式給出的區(qū)域9428952996例3.2

設(shè)AR(2)模型：試判別的平穩(wěn)性。解：根據(jù)上述關(guān)于平穩(wěn)條件的討論，可以通過兩種徑進行討論：30例3.2設(shè)AR(2)模型：973198下面我們討論序列的統(tǒng)計特性，關(guān)于平穩(wěn)的二階自回歸模型AR(2)模型：32下面我們討論序列的統(tǒng)計特性，關(guān)于平穩(wěn)的二階自回歸模型ARAR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為特別當(dāng)時，稱為中心化模型99AR模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為階自回歸模型，簡記為AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令100AR(P)序列中心化變換稱為的中心化序列，令自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡記為

自回歸系數(shù)多項式101自回歸系數(shù)多項式引進延遲算子，中心化模型又可以簡AR模型平穩(wěn)性判別

判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的

判別方法單位根判別法平穩(wěn)域判別法102AR模型平穩(wěn)性判別判別原因36例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性103例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性37例3.1平穩(wěn)序列時序圖104例3.1平穩(wěn)序列時序圖38例3.1非平穩(wěn)序列時序圖105例3.1非平穩(wěn)序列時序圖39AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別

平穩(wěn)域106AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別40AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域107AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根41AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域108AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域42例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)109例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)110平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計性質(zhì)均值44均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且為白噪聲序列，有推導(dǎo)出111均值如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件，則有45方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得112方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式46例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差113例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式114協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為115例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式49例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為116例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的