圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度知識(shí)點(diǎn)總結(jié)xxx公司圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度知識(shí)點(diǎn)總結(jié)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度圓周運(yùn)動(dòng)和向心加速度知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)一：圓周運(yùn)動(dòng)的線速度

要點(diǎn)詮釋：

1、線速度的定義：

圓周運(yùn)動(dòng)中，物體通過的弧長(zhǎng)與所用時(shí)間的比值，稱為圓周運(yùn)動(dòng)的線速度。

公式：（比值越大，說明線速度越大）

方向：沿著圓周上各點(diǎn)的切線方向

單位：m/s

2、說明

1）線速度是指物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬時(shí)速度。

2）線速度的方向就是圓周上某點(diǎn)的切線方向。

線速度的大小是的比值。所以是矢量。

3）勻速圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)線速度大小不變的圓周運(yùn)動(dòng)。

4）線速度的定義式，無(wú)論是對(duì)于變速圓周運(yùn)動(dòng)還是勻速圓周運(yùn)動(dòng)都成立，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，只要取得足夠小，公式計(jì)算的結(jié)果就是瞬時(shí)線速度。

注：勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的“勻速”二字的含義：僅指速率不變，但速度的方向（曲線上某點(diǎn)的切線方向）時(shí)刻在變化。

知識(shí)點(diǎn)二：描寫圓周運(yùn)動(dòng)的角速度

要點(diǎn)詮釋：

1、角速度的定義：

圓周運(yùn)動(dòng)物體與圓心的連線掃過的角度與所用時(shí)間的比值叫做角速度。

公式：

單位：(弧度每秒)

2、說明：

1)這里的必須是弧度制的角。

2）對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)來說，這個(gè)比值是恒定的，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)是角速度保持不變的圓周運(yùn)動(dòng)。

3）角速度的定義式，無(wú)論是對(duì)于變速圓周運(yùn)動(dòng)還是勻速圓周運(yùn)動(dòng)都成立，在變速圓周運(yùn)動(dòng)中，只要取得足夠小，公式計(jì)算的結(jié)果就是瞬時(shí)角速度。

4)關(guān)于的方向：中學(xué)階段不研究。

5）同一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上，各點(diǎn)的角速度相等。

例如.木棒OA以它上面的一點(diǎn)O為軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它上面的各點(diǎn)與圓心O的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過的角度相等。

即：

3、關(guān)于弧度制的介紹

(1)角有兩種度量單位：角度制和弧度制

(2)角度制：將一個(gè)圓的周長(zhǎng)分為360份，其中的一份對(duì)應(yīng)的圓心角為一度。因此一個(gè)周角是360°，平角和直角分別是180°和90°。

(3)弧度制：定義半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為一弧度，符號(hào)為rad。一段長(zhǎng)為的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角是rad,

(4)特殊角的弧度值：在此定義下，一個(gè)周角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是：；平角和直角分別是（rad）。

（5）同一個(gè)角的角度和用弧度制度量的之間的關(guān)系是：rad,

說明：在物理學(xué)中弧度并沒有量綱，因?yàn)樗莾蓚€(gè)長(zhǎng)度之比，弧度（rad）只是我們?yōu)榱吮磉_(dá)的方便而“給”的。

知識(shí)點(diǎn)三：勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與轉(zhuǎn)速

要點(diǎn)詮釋：

1、周期的定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間叫做周期，單位：s。

它描寫了圓周運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性。

2、周期T的意義：不難看到，周期是圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小和方向完全恢復(fù)初始狀態(tài)所用的最小時(shí)間；周期長(zhǎng)說明圓周運(yùn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)動(dòng)得慢，周期短說明轉(zhuǎn)動(dòng)得快。

觀察與思考：同學(xué)們看一看你所戴的手表或者墻上鐘表上的時(shí)、分、秒針，它們的周期分別是多少想一想角速度和周期的關(guān)系如何（秒針的周期最小，其針尖的最大，也最大。）

3、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速

轉(zhuǎn)速n：指轉(zhuǎn)動(dòng)物體單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。

單位：r/s（轉(zhuǎn)每秒），常用的單位還有(轉(zhuǎn)每分)

關(guān)系式：s(n單位為r/s)或s(n單位為r/min)

注意：轉(zhuǎn)速與角速度單位的區(qū)別：

知識(shí)點(diǎn)四：描述圓周運(yùn)動(dòng)快慢的幾個(gè)物理量的相互關(guān)系

要點(diǎn)詮釋：

因?yàn)檫@幾個(gè)都是描述圓周運(yùn)動(dòng)快慢，所以它們之間必然有內(nèi)在聯(lián)系

1、線速度、角速度和周期的關(guān)系

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和周期的關(guān)系

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期的關(guān)系

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和周期有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系：角速度與周期成反比。

2、線速度、角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：（n的單位是r/s）

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系：（n的單位是r/s）

3、線速度和角速度的關(guān)系：

(1)線速度和角速度關(guān)系的推導(dǎo)：

特例推導(dǎo)：

設(shè)物體沿半徑為r的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在一個(gè)Ｔ時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長(zhǎng)2πr及2π角度，則：

一般意義上的推導(dǎo)：

由線速度的定義：

而，所以

又因?yàn)?，所?/p>

(2)線速度和角速度的關(guān)系：

可知：，

同理：一定時(shí)，一定時(shí)

(3)對(duì)于線速度與角速度關(guān)系的理解：

是一種瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，即某一時(shí)刻的線速度與這一時(shí)刻的角速度的關(guān)系，適應(yīng)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)。

知識(shí)點(diǎn)五：向心加速度

要點(diǎn)詮釋：

1、向心加速度產(chǎn)生的原因：向心加速度由物體所受到的向心力產(chǎn)生,根據(jù)牛頓第二定律知道，其大小由向心力的大小和物體的質(zhì)量決定。

2、向心加速度大小的計(jì)算方法：

（1）由牛頓第二定律計(jì)算：；

（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算：

如果是勻速圓周運(yùn)動(dòng)則有：

3、向心加速度的方向：沿著半徑指向圓心，時(shí)刻在發(fā)生變化，是一個(gè)變量。

4、向心加速度的意義：在一個(gè)半徑一定的圓周運(yùn)動(dòng)中，向心加速度描述的是線速度方向改變的快慢。

5、關(guān)于向心加速度的說明

（1）從運(yùn)動(dòng)學(xué)上看：速度方向時(shí)刻在發(fā)生變化，總是有必然有向心加速度；

（2）從動(dòng)力學(xué)上看：沿著半徑方向上指向圓心的合外力必然產(chǎn)生指向圓心的向心加速度。

思考回答：為什么勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)？

加速度是個(gè)矢量，既有大小又有方向，勻速圓周運(yùn)動(dòng)中加速度大小不變，而方向卻不斷變化。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng)。

規(guī)律方法總結(jié)

1、注意圓周運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的方向是變化的。

（1）圓周運(yùn)動(dòng)的線速度的方向時(shí)刻在發(fā)生變化，但是總是與半徑垂直；

（2）無(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)，都是加速度變化的曲線運(yùn)動(dòng)，都不是勻變速運(yùn)動(dòng)。

2、熟練掌握線速度、角速度、周期和轉(zhuǎn)速的關(guān)系能給解題帶來方便。

（1）盡管線速度、角速度、周期和轉(zhuǎn)速都能描寫圓周運(yùn)動(dòng)的快慢，但是它們是有區(qū)別的；

（2）線速度與角速度的關(guān)系和是瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系，勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)都適應(yīng)；

（3）在具體計(jì)算中，要注意角的單位和轉(zhuǎn)速的單位。

3、同一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的物體上不同的點(diǎn)，其角速度是相同的，其線速度與半徑成正比；皮帶傳動(dòng)時(shí)或者齒輪傳動(dòng)時(shí)，兩個(gè)輪子邊緣上的點(diǎn)線速度是相同的，其角速度或轉(zhuǎn)速與輪子的半徑成反比。

4、向心加速度的計(jì)算公式適用于圓周運(yùn)動(dòng)任何瞬時(shí)的向心加速度的計(jì)算，其中的線速度和角速度都是瞬時(shí)值，無(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)都可以用來計(jì)算某時(shí)刻的向心加速度。

典型例題透析

類型一——角速度和線速度的計(jì)算

1、鬧鐘的秒針長(zhǎng)4cm，求秒針針尖運(yùn)動(dòng)的線速度和角速度。

思路點(diǎn)撥：秒針的周期是60s，是一個(gè)不言而喻的條件，應(yīng)自覺的運(yùn)用。

解析：秒針轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T=60s，又因?yàn)椋?/p>

針尖轉(zhuǎn)動(dòng)一周走過的弧長(zhǎng)是2πr，所以針尖上一點(diǎn)的線速度

也可以用線速度和角速度的關(guān)系求解線速度

2、（2010全國(guó)Ⅰ卷）圖1是利用激光測(cè)轉(zhuǎn)速的原理示意圖，圖中圓盤可繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，盤邊緣側(cè)面上有一小段涂有很薄的反光材料。當(dāng)盤轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，接收器可以接收到反光涂層所反射的激光束，并將所收到的光信號(hào)轉(zhuǎn)變成電信號(hào)，在示波器顯示屏上顯示出來（如圖2所示）。

(1)若圖2中示波器顯示屏橫向的每大格（5小格）對(duì)應(yīng)的時(shí)間為，則圓盤的轉(zhuǎn)速為＿＿轉(zhuǎn)/秒。（保留3位有效數(shù)字）

(2)若測(cè)得圓盤直徑為，則可求得圓盤側(cè)面反光涂層的長(zhǎng)度為＿＿cm。（保留3位有效數(shù)字）

思路點(diǎn)撥：從題目中提煉出相關(guān)條件，是解題的關(guān)鍵：小的矩形虛線的寬度表示反光涂層的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，兩個(gè)矩形虛線框之間的寬度表示圓盤運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間。

解析：(1)從圖2可知圓盤轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間在橫坐標(biāo)上顯示22格，由題意知圖2中橫坐標(biāo)上每格表示，所以圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的周期是，則轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)/秒。

(2)反光涂層的長(zhǎng)度為。

答案：(1)(2)

總結(jié)升華：如何從題目中挖掘條件是解題的首要任務(wù)，也是一種閱讀能力，從本題來看，緊密結(jié)合圖1和圖2，對(duì)兩圖中的對(duì)應(yīng)量進(jìn)行遷移，才會(huì)正確解題。同時(shí)一定要在平時(shí)訓(xùn)練這方面的能力。

舉一反三

【變式1】：電風(fēng)扇葉片邊緣一點(diǎn)的線速度為s，若它轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為18cm，求電扇轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和周期。

解析：根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系得

【變式2】（2011山東聊城模擬）如圖所示，用一根長(zhǎng)桿和兩個(gè)定滑輪的組合裝置來提升重物M，長(zhǎng)桿的一端放在地上通過鉸鏈聯(lián)結(jié)形成轉(zhuǎn)軸，其端點(diǎn)恰好處于左側(cè)滑輪正下方O點(diǎn)處，在桿的中點(diǎn)C處拴一細(xì)繩，繞過兩個(gè)滑輪后掛上重物M.C點(diǎn)與O點(diǎn)距離為Ｌ，現(xiàn)在桿的另一端用力使其逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，由豎直位置以角速度ω緩緩轉(zhuǎn)至水平位置(轉(zhuǎn)過了90°角)，此過程中下列說法正確的是()

A．重物M做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B．重物M做勻變速直線運(yùn)動(dòng)

C．重物M的最大速度是ωL

D．重物M的速度先減小后增大

解析：由題知，C點(diǎn)的速度大小為vC＝ωL，設(shè)vC與繩之間的夾角為θ，把vC沿繩和垂直繩方向分解可得，v繩＝vCcosθ，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中θ先減小到零再增大，故v繩先增大后減小，重物M做變加速運(yùn)動(dòng)，其最大速度為ωL，C正確．

類型二——向心加速度的計(jì)算

3、在長(zhǎng)20cm的細(xì)繩的一端系一個(gè)小球，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以5m/s的速度在桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球運(yùn)動(dòng)的向心加速度和轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

解析：由題意可知根據(jù)向心加速度的計(jì)算公式

4、如圖所示，定滑輪的半徑r=2cm，繞在滑輪上的細(xì)線懸掛著一個(gè)重物，由靜止開始釋放，測(cè)得重物以加速度a＝2m/s2做勻加速運(yùn)動(dòng)。在重物由靜止下落距離為1m的瞬間，滑輪邊緣上的點(diǎn)的角速度多大向心加速度a多大？

思路點(diǎn)撥：這是一個(gè)關(guān)于變速圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度計(jì)算的問題。物體的速度時(shí)刻等于輪緣上一點(diǎn)的線速度，求出物體下落1m時(shí)的瞬時(shí)速度，然后利用角速度、向心加速度和線速度的關(guān)系可以求解。

解析：

(1)重物下落1m時(shí)，瞬時(shí)速度為

顯然，滑輪邊緣上每一點(diǎn)的線速度也都是2m/s，故滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，即滑輪邊緣上每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為：

(2)向心加速度為：

總結(jié)升華：此題討論的是變速運(yùn)動(dòng)問題，重物落下的過程中滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，輪上各點(diǎn)的線速度都在不斷增加，但在任何時(shí)刻角速度與線速度的關(guān)系，向心加速度與角速度、線速度的關(guān)系仍然成立。

類型三——皮帶傳動(dòng)問題

5、如圖，主動(dòng)輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過皮帶不打滑地帶動(dòng)從動(dòng)輪O2轉(zhuǎn)動(dòng)，已知分別為r1、r2上的中點(diǎn)，A為O2輪邊緣上一點(diǎn)，B為O1輪邊緣上一點(diǎn)，C為皮帶上一點(diǎn)。試比較：

（1）A、B、C點(diǎn)線速度的大??？

（2）A、B、E、F各點(diǎn)角速度的大小？

（3）E、F點(diǎn)線速度的大??？

思路點(diǎn)撥：分析比較各個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況的異同，建立相互關(guān)系是解題的切入點(diǎn)。

解析：（1）因?yàn)槠鲃?dòng)過程與輪子不打滑，所以A、B、C三個(gè)點(diǎn)可以看成是皮帶上的三個(gè)點(diǎn)，相同時(shí)間必定通過相同的路程，因此，A、B、C點(diǎn)的線速度相等，這也是兩個(gè)輪子的聯(lián)系。

即

（2）比較各點(diǎn)角速度：

比較應(yīng)通過入手分析

因?yàn)锳、F是同一物體上的點(diǎn)，角速度必然相等即，同理

所以

（3）由

總結(jié)升華：（1）同一轉(zhuǎn)動(dòng)物體上的各點(diǎn)，角速度必然相等；（2）皮帶傳動(dòng)時(shí)，與皮帶接觸的點(diǎn)線速度相等。

舉一反三

變式1、如圖所示，一皮帶不打滑的皮帶傳動(dòng)裝置，A、B兩點(diǎn)是輪緣上的點(diǎn)，C是O2B連線中點(diǎn)上的一點(diǎn)。大輪與小輪的半徑之比為2:1，試分析A、B、C三點(diǎn)線速度、角速度、周期、向心加速度的關(guān)系。

解析：A、B、C三者中，A、B都是輪邊緣上的點(diǎn)，所以具有相同的線速度?！鄓A:vB=1:1。

再尋找vC與vA或vB間的關(guān)系。由于C與B在同一個(gè)輪子上，所以C、B具有相同角速度，根據(jù)v=ωr可以確定vB:vC=2:1。

因此vA:vB:vC=2:2:1。

再來看看角速度間的關(guān)系:B、C兩點(diǎn)在一個(gè)輪上，所以它們具有相同的角速度，即ωB:ωC=1:1，

而A、B兩點(diǎn)具有相同的線速度，∴ωA:ωB=2:1，

∴ωA:ωB:ωC=2:1:1。

根據(jù)角速度與周期的關(guān)系，ω=，可得到TA:TB:TC=1:2:2。

若從an=入手，∵vA:vB:vC=2:2:1，rA:rB:rC=1:2:1∴an==4:2:1

同理，也可以利用an=ω2r，或an=r來找出向心加速度的關(guān)系，結(jié)果是一樣的。

更簡(jiǎn)單的考慮方法是利用an=wv，因?yàn)閣與v的關(guān)系已經(jīng)求出，所以可以直接求出加速度的關(guān)系。

變式2、如圖所示的皮帶傳動(dòng)裝置，左邊是主動(dòng)輪，右邊是一個(gè)輪軸，RA：RC=1：2，RA：RB=2：3。假設(shè)在傳動(dòng)過程中皮帶不打滑，則皮帶輪邊緣上的A、B、C三點(diǎn)的角速度之比是__________；線速度之比是_________；向心加速度之比是_________。

分析：由于A、C同軸，所以角速度相等，ωA：ωC=1：1

由v=ωr有，vA：vC=rA：rC=1：2

A、B用皮帶傳動(dòng)，皮帶不打滑，所以線速度相等，vA：vB=1：1

ωA：ωB=rB：rA=3：2

綜上：vA：vB：vC=1：1：2；ωA：ωB：ωC=3：2：3；aA：aB：aC=3：2：6變式3：（2011山東濟(jì)寧模擬）如圖所示，兩輪用皮帶傳動(dòng)，皮帶不打滑，圖中有A、B、C三點(diǎn)，這三點(diǎn)所在處半徑rA>rB＝rC，則這三點(diǎn)的向心加速度aA、aB、aC的關(guān)系是()

A．a(chǎn)A＝aB＝aC

B．a(chǎn)C>aA>aB

C．a(chǎn)C<aA<aB

D．a(chǎn)C＝aB>aA解析：皮帶傳動(dòng)不打滑，A點(diǎn)與B點(diǎn)線速度大小相同，由得，所以aA<aB；A點(diǎn)與C點(diǎn)共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度相同，由a＝ω2r得a∝r，所以有aA>aC，所以aC＜aA＜aB，可見選項(xiàng)C正確．

類型四——平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)綜合題

6、如圖示，在半徑為的水平放置的圓板中心軸上距圓板高為的A處以沿水平拋出一個(gè)小球，此時(shí)正在做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓板上的半徑恰好轉(zhuǎn)動(dòng)到與平行的位置，要使小球與圓板只碰一次且落點(diǎn)為B。求：

（1）小球拋出的速度；

（2）圓板轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度ω。

思路點(diǎn)撥：思維的切入點(diǎn)是分析小球落在B點(diǎn)的條件即：小球平拋落地時(shí)的水平位移是R且圓盤在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)了整