最新高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題線面垂直典型例題的判定與性質(zhì)

線面垂直●知識點(diǎn)1.直線和平面垂直定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，就說這條直線和這個平面垂直.2.線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.判定定理：一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面.性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.3.三垂線定理和它的逆定理.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線垂直.逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面上的射影垂直.●題型例如【例1】如下圖，點(diǎn)S是平面ABC外一點(diǎn)，例1題圖∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，點(diǎn)A在直線SB和SC上的例1題圖射影分別為點(diǎn)E、F，求證：EF⊥SC.【解前點(diǎn)津】用分析法尋找解決問題的途徑，假設(shè)EF⊥SC成立，結(jié)合AF⊥SC可推證SC⊥平面AEF，這樣SC⊥AE，結(jié)合AE⊥SB，可推證AE⊥平面SBC，因此證明AE⊥平面SBC是解決此題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).由題設(shè)SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推證BC⊥AE，結(jié)合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的證明.【標(biāo)準(zhǔn)解答】【解后歸納】題設(shè)中條件多，圖形復(fù)雜，結(jié)合題設(shè)理清圖形中根本元素之間的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.【例2】：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求證：QR⊥AB.【解前點(diǎn)津】由求證想判定，欲證線線垂直，方法有〔1〕a∥b,a⊥cb⊥c;(2)a⊥α,bαa⊥b;(3)三垂線定理及其逆定理.由想性質(zhì)，知線面垂直，可推出線線垂直或線線平行.【解后歸納】處于非常規(guī)位置圖形上的三垂線定理或逆定理的應(yīng)用問題，要抓住“一個面〞、“四條線〞.所謂“一個面〞：就是要確定一個垂面，三條垂線共處于垂面之上.所謂“四條線〞：就是垂線、斜線、射影以及平面內(nèi)的第四條線，這四條線中垂線是關(guān)鍵的一條線，牽一發(fā)而動全身，應(yīng)用時一般可按下面程序進(jìn)行操作：確定垂面、抓準(zhǔn)斜線、作出垂線、連結(jié)射影，尋第四條線.【例3】如圖(1)所示，矩形紙片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分別為AA′,A1A′的三等分點(diǎn)，將矩形紙片沿BB1,CC1折成如圖(2)形狀〔正三棱柱〕，假設(shè)面對角線AB1⊥BC1，求證:A1C⊥AB1.例3題圖解例3題圖解(1)【解前點(diǎn)津】題設(shè)主要條件是AB1⊥BC，而結(jié)論是AB1⊥A1C，題設(shè)，題斷有對答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中點(diǎn)D1，就把異面直線AB1與BC1垂直關(guān)系轉(zhuǎn)換到ABB1A1同一平面內(nèi)AB1與BD1垂直關(guān)系，這里要感謝三垂線逆定理.自然想到題斷AB1與A1C垂直用同法〔對稱原理〕轉(zhuǎn)換到同一平面，取AB中點(diǎn)D即可，只要證得A1D垂直于AB1，事實(shí)上DBD1A1，為平行四邊形，解題路子清楚了.【解后歸納】證線線垂直主要途徑是：〔1〕三垂線正逆定理，〔2〕線面，線線垂直互相轉(zhuǎn)化.利用三垂線正逆定理完成線線歸面工作，在平面內(nèi)完成作解任務(wù).證線線垂直，線面垂直，常常利用線面垂直，線線垂直作為橋梁過渡過來，這種轉(zhuǎn)化思想有普遍意義，利用割補(bǔ)法把幾何圖形標(biāo)準(zhǔn)化便于應(yīng)用定義定理和公式，也是不容無視的常用方法.例4題圖【例4】空間三條線段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,AB=3,BC=4,CD=6,那么AD的取值范圍是.例4題圖【解前點(diǎn)津】如圖，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,AD1的長是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3,∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值為【解后歸納】此題出題形式新穎、靈活性大，很多學(xué)生對此類題感到無從入手,其實(shí)冷靜分析，找出隱藏的條件很容易得出結(jié)論.●對應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、根底夯實(shí)1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出以下四個命題：①②③b∥M④b⊥M.其中正確的命題是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.以下命題中正確的是()A.假設(shè)一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線垂直于這個平面B.假設(shè)一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個平面C.假設(shè)一條直線平行于一個平面，那么垂直于這個平面的直線必定垂直于這條直線D.假設(shè)一條直線垂直于一個平面，那么垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個平面3.如下圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體P—DEF中，必有()第第3題圖A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.設(shè)a、b是異面直線，以下命題正確的是()A.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交B.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個平面和a、b都垂直C.過a一定可以作一個平面與b垂直D.過a一定可以作一個平面與b平行5.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PC垂直于圓所在平面，假設(shè)BC=1,AC=2,PC=1，那么P到AB的距離為()A.1B.2C.D.7.有三個命題：①垂直于同一個平面的兩條直線平行；②過平面α的一條斜線l有且僅有一個平面與α垂直；③異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直其中正確命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面α、β滿足a⊥α，b⊥β，那么下面正確的結(jié)論是()A.α與β必相交且交線m∥d或m與d重合B.α與β必相交且交線m∥d但m與d不重合C.α與β必相交且交線m與d一定不平行D.α與β不一定相交9.設(shè)l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出以下命題假設(shè)m⊥α，那么m∥l；②假設(shè)m⊥l，那么m∥α；③假設(shè)m∥α，那么m⊥l；④假設(shè)m∥l，那么m⊥α，其中真命題的序號是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.直線l⊥平面α，直線m平面β，給出以下四個命題：①假設(shè)α∥β，那么l⊥m；②假設(shè)α⊥β，那么l∥m；③假設(shè)l∥m，那么α⊥β；④假設(shè)l⊥m，那么α∥β.其中正確的命題是()A.③與④B.①與③C.②與④D.①與②二、思維激活第12題圖11.如下圖，△ABC是直角三角形，AB是斜邊，三個頂點(diǎn)在平面α的同側(cè)，它們在α內(nèi)的射影分別為A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，那么△A′B′C′的面積是.第12題圖第13第13題圖第11題圖12.如下圖,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件時,有A1C⊥B1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如下圖，在三棱錐V—ABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿足條件時，有VC⊥AB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如下圖,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.第14題圖(1)求證:VC⊥第14題圖(2)假設(shè)二面角E—AB—C的大小為30°,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如下圖，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).第15題圖(1)求證：MN∥平面第15題圖(2)求證：MN⊥CD.(3)假設(shè)∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.16.如下圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，側(cè)棱PB＝，PD＝.(1)求證：BD⊥平面PAD.(2)假設(shè)PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角P—BC—A的大小.第第16題圖17.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．18.如下圖，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.(1)求證：NP⊥平面ABCD.第18題圖(2)求平面PNC與平面CC′D′第18題圖(3)求點(diǎn)C到平面D′MB的距離.第4課線面垂直習(xí)題解答1.A兩平行中有一條與平面垂直，那么另一條也與該平面垂直，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.4.D過a上任一點(diǎn)作直線b′∥b,那么a，b′確定的平面與直線b平行.5.A依題意,m⊥γ且mα,那么必有α⊥γ,又因?yàn)閘=β∩γ那么有l(wèi)γ,而m⊥γ那么l⊥m,應(yīng)選A.6.D過P作PD⊥AB于D，連CD，那么CD⊥AB，AB=，，∴PD=.7.D由定理及性質(zhì)知三個命題均正確.8.A顯然α與β不平行.9.D垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，那么另一條也與該平面垂直.10.B∵α∥β，l⊥α，∴l(xiāng)⊥m112設(shè)正三角A′B′C′的邊長為a.∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．S△A′B′C′=cm2．12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件AC⊥BD(或任何能推導(dǎo)出這個條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時,有A1C⊥B1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點(diǎn)評：此題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.14.(1)證明:∵H為△VBC的垂心,∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,∴BE為斜線AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,∴AB⊥面DEC.∴AB⊥CD,∴∠EDC為二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,∴VC在底面ABC上的射影為CD.∴∠VCD為VC與底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,∴VC與面ABC所成角為60°.15.證明：(1)如下圖，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EN，那么有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM，故AMNE為平行四邊形.∴MN∥AE.第15題圖解∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面第15題圖解(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥CD.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PDA＝45°，E為PD的中點(diǎn).∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.16.如圖(1)證：由AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，第16題圖解故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×第16題圖解又AB2＝AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝，∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，∴BD⊥平面PAD.(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD與底面ABCD所成的角.∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝.作EF⊥BC于F，連PF，那么PF⊥BF，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF＝BD＝，在Rt△PEF中，tan∠PFE＝.故二面角P—BC—A的大小為arctan.17.連結(jié)AC1，∵.∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.由三垂線定理知AB1⊥A1M.點(diǎn)評：要證AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定會成立．18.(1)證明：在正方形ABCD中，∵△MPD∽△CPB，且MD＝BC