圓周角定理拓展

《九年級(jí)上半期專題課角度問(wèn)題中的輔助圓構(gòu)造》教案科目數(shù)學(xué)課題專題：構(gòu)造輔助圓教師周韌班級(jí)初三（15）班時(shí)間2016.11.10學(xué)情分析在本節(jié)專題課前，學(xué)生已經(jīng)完整學(xué)習(xí)了圓的所有基本知識(shí)，掌握了圓的有關(guān)性質(zhì)，而角度問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)壓軸題中一類比較困難的題型，本學(xué)段的學(xué)生對(duì)于直線形中常見(jiàn)的幾何問(wèn)題形成了一些基本的解題策略，而利用輔助圓進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化是優(yōu)于其他方式的，所以從這個(gè)新的視角解決角度問(wèn)題需要我們幫助學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)提升，而本節(jié)課想要達(dá)到的目的，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)模型,利用模型構(gòu)造輔助圓，并初步形成構(gòu)造曲線形輔助線的意識(shí).教學(xué)目標(biāo)1、 進(jìn)一步鞏固圓的定義和性質(zhì)以及圓周角定理；2、 感受利用輔助圓解決角度問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)；3、 能夠從圓的“集合”定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)構(gòu)造輔助圓的基本模型，發(fā)展到在圖形中發(fā)現(xiàn)模型從而構(gòu)造輔助圓；4、 逐步建立從圓的觀點(diǎn)看問(wèn)題的意識(shí)，能夠多角度認(rèn)識(shí)事物，全面還原事物的本質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)利用輔助圓解決角度間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)回歸圓的“集合”定義，發(fā)現(xiàn)圖形中構(gòu)造圓的模型教學(xué)方法變式延伸，講練結(jié)合、教師啟發(fā)下的學(xué)生自主探究教學(xué)用具幾何畫(huà)板，圓規(guī)，直尺教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)說(shuō)明一、尋根溯源我們先來(lái)看看這道我們熟悉的題目，引例（課本P88習(xí)題）如圖，OA,OB,OC都是。O的半徑,/AOB=2/BOC,,一*、、求證：匕ACB=2ZBAC \1、學(xué)生完成證明后，畫(huà)板中展示解答； 匕證明：?「OA,OB,OC都是圓O的半徑， af-—-b又：弧AB=<AB,弧BC=<BC,AZAOB=2ZACB,ZBOC=2ZBAC,又.../AOB=2/BOC,AZACB=2/BAC.一、這是一道學(xué)生熟悉的題目，以此讓學(xué)生體會(huì)利用圓周角定理可以進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，并讓學(xué)生初步感受圓這一工具在轉(zhuǎn)化角度時(shí)的方便與準(zhǔn)確。

2、提問(wèn)：在這道證明題中，證明的過(guò)程中用到了什么定理？而圓在這個(gè)問(wèn)題中發(fā)揮了怎樣的作用？思路是怎樣的？生答：用到了圓周角定理，圓為本題提供了轉(zhuǎn)化角的可能與便捷，思路是利用圓周角定理，將圓心角的條件轉(zhuǎn)化為圓周角的結(jié)論從而得證。二、啟發(fā)思路 a如圖，OA=OB=OC，/AOB=2/BOC， /\二二'C求證：匕ACB=2ZBAC \/1、提問(wèn)：圖形中有幾個(gè)等腰三角形？分別是哪三個(gè)？ B生答：3個(gè),AAOB，ABOC，AAOC；2、 思路引導(dǎo)：匕AOB和ZBOC是兩個(gè)等腰三角形的頂角，而ZACB和/BAC又與^AOB和^BOC的底角有關(guān)，所以可以考慮利用頂角與底角的關(guān)系來(lái)解決本題，請(qǐng)同學(xué)們完成證明；3、 三分鐘后畫(huà)板展示證明過(guò)程；證明：?「OA=OB,:.ZOAB=ZOBA180o-ZAOB:.ZOAB= ，21800-ZAOC 1800-ZBOC同理ZOCA=ZOAC= ，ZOCB= ZAOC-ZBOCZAOBVZACB=ZOCB-ZOCA= = 2 2ZAOC-ZAOBZBOCVZBAC=ZOAB-ZOAC= = 2 2又.../AOB=2/BOC，AZACB=2/BAC4、 提問(wèn)：這個(gè)證明過(guò)程是不是稍微顯得有些復(fù)雜呢？那么我們?cè)賮?lái)想想有沒(méi)有別的什么辦法：再來(lái)看看這個(gè)圖形與引例的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生答：比習(xí)題中少了個(gè)圓；如果有這個(gè)圓，這道題是不是就能像引例一樣利用圓周角定理更快捷的解決了呢？那根據(jù)這道題的條件我們可以讓這個(gè)圓出現(xiàn)嗎？生答：可以，因?yàn)镺A=OB=OC，所以A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上；請(qǐng)同學(xué)們添出輔助圓，并完成證明；證明：?「OA=OB=OC，AA，B，C在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上，...弧AB=<AB，弧BC=<BC，AZAOB=2ZACB，ZBOC=2ZBAC，又.../AOB=2ZBOC，AZACB=2ZBAC.5、 引導(dǎo)：我們經(jīng)常添加輔助線來(lái)解題，并且，以前所做的輔助線都是直一、本題可從兩個(gè)方面入手解決:1.利用等邊對(duì)等角；2.利用構(gòu)造輔助圓將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓中圓周角與圓心角的關(guān)系.設(shè)計(jì)本題期望達(dá)到的效果是：學(xué)生習(xí)慣于利用前者，但是前者的證明方法繁雜且理解不易，而在引導(dǎo)之后讓學(xué)生有了引例中的方法意識(shí)，讓學(xué)生在權(quán)衡兩種方法的優(yōu)劣之后感受圖形中出現(xiàn)了可以構(gòu)造輔助圓的基本模型時(shí)，利用圓的定義構(gòu)造輔助圓在角度轉(zhuǎn)化問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，便捷且易于理解；初步讓學(xué)生嘗到新方法的甜頭.從而強(qiáng)化輔助圓的意識(shí).設(shè)置問(wèn)題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生還原圖形，并初步認(rèn)識(shí)這個(gè)可以構(gòu)造輔助圓的基本模型；設(shè)計(jì)本段小結(jié)的目的在于幫助學(xué)生總結(jié)基本模型，為什么可以利用該模型構(gòu)造輔助圓，以及加強(qiáng)學(xué)生在使用該模型的目的，為接下來(lái)順利的引入更復(fù)雜問(wèn)題做好模型的鋪墊與準(zhǔn)備。（2）把直線DP繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)計(jì)本題的目的有兩個(gè)：1、現(xiàn)階段的教學(xué)中對(duì)于學(xué)生的作圖能力提出了更高要求，教學(xué)過(guò)程中需要培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力；2、圖形中的基本模型并不是直接給出的，需要學(xué)生根據(jù)條件發(fā)現(xiàn)，所以本題既訓(xùn)練了學(xué)生的作圖能力，也同時(shí)讓學(xué)生對(duì)于基本模型的認(rèn)識(shí)能更上一層樓，為最后一道的綜合提升做好準(zhǔn)備。同時(shí)也要求學(xué)生的思維過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)，利用輔助圓進(jìn)行分類討論，發(fā)現(xiàn)這道題的兩個(gè)答案。展示;C設(shè)計(jì)本段小結(jié)的目的在于幫助學(xué)生總結(jié)基本模型，為什么可以利用該模型構(gòu)造輔助圓，以及加強(qiáng)學(xué)生在使用該模型的目的，為接下來(lái)順利的引入更復(fù)雜問(wèn)題做好模型的鋪墊與準(zhǔn)備。（2）把直線DP繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)計(jì)本題的目的有兩個(gè)：1、現(xiàn)階段的教學(xué)中對(duì)于學(xué)生的作圖能力提出了更高要求，教學(xué)過(guò)程中需要培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力；2、圖形中的基本模型并不是直接給出的，需要學(xué)生根據(jù)條件發(fā)現(xiàn)，所以本題既訓(xùn)練了學(xué)生的作圖能力，也同時(shí)讓學(xué)生對(duì)于基本模型的認(rèn)識(shí)能更上一層樓，為最后一道的綜合提升做好準(zhǔn)備。同時(shí)也要求學(xué)生的思維過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)，利用輔助圓進(jìn)行分類討論，發(fā)現(xiàn)這道題的兩個(gè)答案。展示;C，2、提問(wèn)：?jiǎn)栴}（2）依然是求角度的問(wèn)題那么請(qǐng)大家觀察一下圖形中隱藏著相等長(zhǎng)度的線段嗎?生答：根據(jù)圖形中的旋轉(zhuǎn)和翻折，容易發(fā)現(xiàn)連接DE，DB后，DE=DA=DB，問(wèn)題的設(shè)置在于引導(dǎo)學(xué)生利用題目中的條件發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中隱藏的基本模型，讓學(xué)生建立構(gòu)造基本模型的意識(shí)，以此提升學(xué)生整體把握題設(shè)條件的能力；線形，而通過(guò)這道題，我們發(fā)現(xiàn)，所添加的輔助線也可以是曲線形，初中階段，構(gòu)造輔助圓就是曲線形輔助線的代表，請(qǐng)同學(xué)們嘗試總結(jié)一下在圖形中發(fā)現(xiàn)了怎樣的模型時(shí)可以構(gòu)造輔助圓？6、 圖形中出現(xiàn)了三條（及以上）有公共端點(diǎn)的相等線段這種模型時(shí)可以構(gòu)造圓，因?yàn)閳A是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.7、 為什么要構(gòu)造輔助圓？利用輔助圓可以方便的將角的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化至可以我們需要的位置并解決問(wèn)題.三、思路應(yīng)用師：利用輔助圓解決角度問(wèn)題在這兩年的大型考試中屢有出現(xiàn)，我們選擇一些題目再來(lái)深化我們對(duì)于這種模型的理解與應(yīng)用；1、幾何畫(huà)板展示例題（2016?屏東模擬）已知^ABC中，點(diǎn)D是點(diǎn)A繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，過(guò)點(diǎn)D作直線DP，點(diǎn)A關(guān)于直線DP的對(duì)稱點(diǎn)為&連接AE，BE.（1）依題意補(bǔ)全圖;求匕AEB的度數(shù).師：請(qǐng)同學(xué)們用三角板和圓規(guī)在學(xué)案上將圖形補(bǔ)充完整；巡視后通過(guò)畫(huà)板所以由此我們能發(fā)現(xiàn)圖形中的基本模型嗎?生答：A，E，B三點(diǎn)在以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的圓上;提問(wèn)：這個(gè)輔助圓可以幫助我們轉(zhuǎn)化角度嗎?

生答：如圖，匕AEB是這個(gè)輔助圓內(nèi)的一個(gè)圓周角；可以轉(zhuǎn)化為圓心角ZADB的一半，請(qǐng)同學(xué)們完成證明；實(shí)際上在DP運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓周角實(shí)際上在DP運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓周角ZAEB所對(duì)的弧既可以是優(yōu)弧AB，也可以是劣弧AB，這是在這個(gè)章節(jié)常見(jiàn)的分類討論問(wèn)題；3、 同學(xué)們要注意，這里DP在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)在^ADB的內(nèi)部，此時(shí)ZAEB就變成了一個(gè)鈍角，從而分類討論后是另一種結(jié)果。4、 證明：連接DE，VA，E關(guān)于DP對(duì)稱，:.DA=DE，由旋轉(zhuǎn)可知，DB=BA，ZDBA=60°，...△DBA是等邊三角形，VDA=DB=DE，：.A，E，B在以D為圓心，DA為半徑的圓上，如圖所示，當(dāng)DP在AABD外側(cè)時(shí)，,/弧AB=<AB1ZAEB=~ZADB=30°2本題是福州2015一檢壓軸題的改編題，設(shè)計(jì)意圖在于提升學(xué)生對(duì)于模型的認(rèn)識(shí)，代數(shù)計(jì)算的鞏固，并且感受在成功解決壓軸題的成就感，解決這個(gè)問(wèn)題需要學(xué)生對(duì)于拋物線性質(zhì)，基本模型的探究做到完整的理解與把握。如圖②所示，當(dāng)DP在^ABD內(nèi)部時(shí)，ZAEB本題是福州2015一檢壓軸題的改編題，設(shè)計(jì)意圖在于提升學(xué)生對(duì)于模型的認(rèn)識(shí)，代數(shù)計(jì)算的鞏固，并且感受在成功解決壓軸題的成就感，解決這個(gè)問(wèn)題需要學(xué)生對(duì)于拋物線性質(zhì)，基本模型的探究做到完整的理解與把握。四、綜合提升(2015-福州質(zhì)檢改編題)如圖，將拋物線C1：y=(x-1)2-1向右平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線C2，C2交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，交y軸于C點(diǎn)，若拋物線C2的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使^APC為頂角匕APC=120°的等腰三角形。

(1)用含m的代數(shù)式表示(1)用含m的代數(shù)式表示OA,OB,OC的長(zhǎng)(2)求出m的值1、提問(wèn)：完成題(1)需要做什么準(zhǔn)備?生答：需要拋物線￡的解析式;2、請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出拋物線￡的解析式并在坐標(biāo)系中繪出點(diǎn)A，B，C再完成第一小題;拋物線C:y=(x-1-m)2-1，OA=m,OB=m+2,OC=m2+2m；3、 請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)出△APC并思考一下如果直接利用這個(gè)等腰三角形的三邊關(guān)系，方程容易列出嗎？如果能列的出來(lái)，這個(gè)方程容易解嗎？生答：是個(gè)四次方程，非常復(fù)雜；所以我們?cè)賮?lái)看看這個(gè)圖形中是否也隱藏著我們的基本模型呢？如果能夠發(fā)現(xiàn)的話，請(qǐng)你談?wù)勀闶侨绾伟l(fā)現(xiàn)的呢？生答：PA=PC是已知條件，而由拋物線的對(duì)稱性，則有PB=PA；從而pa=PB=PC，所以A，B，C三點(diǎn)在以P為圓心，PA為半徑的圓上；4、 這個(gè)輔助圓可以幫助我們轉(zhuǎn)化角度嗎？這里的圓心角怎么轉(zhuǎn)化到有用的圓周角的位置上呢？生答：圓心角匕APC，根據(jù)OB=m+2,OC=m2+2m，可以轉(zhuǎn)化到這個(gè)圓周角ZCBA=60°，從而^CBO就是我們熟悉的含30°的直角三角形了；請(qǐng)同學(xué)們完成本題中m的計(jì)算；5、三分鐘后展示解答過(guò)程；解：(2)連接BC，BP由拋物線對(duì)稱性可知AP=BP?/△ACP為頂角ZAPC=120。等腰三角形?.?AP=CP=BP，Z1=120。?.?C，A，B三點(diǎn)在以P為圓心PA為半徑的圓上???Z2=-Z1=-x120。=60。2 2???BC=2OB?.?根據(jù)勾股定理得OC=JBC2-OB2=J3OBm2+2m=<3(m+2)解得m1=^3,m2=-2（不合題意，舍去）?.m=萼3六、課后思考：1、今天學(xué)習(xí)了怎樣的構(gòu)造輔助圓的原理和目的？生答：利用圓的集合定義，這是我們今天學(xué)習(xí)的基本模型，可以由此構(gòu)造輔助圓，構(gòu)造輔助圓的目的在于轉(zhuǎn)化角度；2、是否還有別的模型可以讓我們想到構(gòu)造輔助圓呢?請(qǐng)同學(xué)們課下總結(jié)探究！謝謝！本題是2016南平中考填空的最后一題，具有很強(qiáng)的時(shí)效性，且題設(shè)具有階梯性，在前面例題的鋪墊下，適合作為學(xué)生自己探究的練習(xí)，而解決本題的關(guān)鍵思路就在于利用輔助圓發(fā)現(xiàn)^PCQ是一個(gè)頂角為本題是2016南平中考填空的最后一題，具有很強(qiáng)的時(shí)效性，且題設(shè)具有階梯性，在前面例題的鋪墊下，適合作為學(xué)生自己探究的練習(xí)，而解決本題的關(guān)鍵思路就在于利用輔助圓發(fā)現(xiàn)^PCQ是一個(gè)頂角為120。的等腰三角形以此解決本題。TOC\o"1-5"\h\z（2016?南平）如圖，等腰AABC中，CA=CB=4，ZACB=120°.點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將八。人。與^CBD分別沿直線CA、CB翻折得到^CAP與△CB0給出下列結(jié)論： jCD=CP=CQ； 廣"與ZPCQ的大小不變； _ /f\\PCQ面積的最小值為5； —* 召當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時(shí)，^PDQ是等邊三角形.其中所有正確結(jié)論的序號(hào).1、 請(qǐng)同學(xué)們綜合之前所學(xué)的內(nèi)容完成這道練習(xí)，并在學(xué)案中留下自己的思路。2、 點(diǎn)評(píng)：在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，輔助圓的作用在于幫助我們將圓心角ZPCQ轉(zhuǎn)化為圓周角ZPDQ的兩倍并求出ZPCQ=120°，從而發(fā)現(xiàn)△第1題圖PCQ是一個(gè)頂角為120第1題圖七、課后習(xí)題：1、（2011?鄂州）如圖OA=OB=OC且ZACB=30°，則匕AOB的大小是 .2、如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD，ZBAC=20°，ZCAD=80°，則ZBDC=度,ZDBC=度T*.第2題圖3、如圖，拋物線C1:y=or2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(2,0),將拋物線C2向右平移m(m>0)個(gè)單位得到拋物線C2,C2交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，交y軸于點(diǎn)C.求拋物線C1的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；以AC為斜邊向上作等腰直角三角形