文稿配套課件及

考綱

1.理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式；2.掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c

型不等式的解法.3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能用它們證明一些簡單不等式.知識梳理絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤

|a|＋|b|

，

當(dāng)且僅當(dāng) ab≥0

時(shí)，等號成立；性質(zhì)：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，則|a－c|≤

|a－b|＋|b－c|

，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0

時(shí)，等號成立.2.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解法不等式a>0a＝0a<0|x|<a{x|－a<x<a}|x|>a{x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?

；②|ax＋b|≥c?

ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用絕對值不等式的幾何意義求

現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；的思想；現(xiàn)了函數(shù)法二：利用“零點(diǎn)分段法”求

現(xiàn)了分類法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求與方程的思想.－c≤ax＋b≤c3.基本不等式定理1：設(shè)a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立.定理2：如果a、b

為正數(shù)，則a＋b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b

時(shí)，等號成立.3定理

3：如果

a、b、c

為正數(shù)，則a＋b＋c≥3

abc當(dāng)且僅當(dāng)

a＝b＝c

時(shí)，等號成立.定理

4：(一般形式的算術(shù)—幾何平均不等式)如果

a1a2、…、an為n個(gè)正數(shù)，則a

＋a

＋…＋a1

2

nnn1

2≥

a

a

…an當(dāng)且僅當(dāng)

a1＝a2＝…＝an

時(shí)，等號成立.4.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.(1)比較法①求差比較法知道a>b?a－b>0，a<b?a－b<0，因此要證明a>b，只要證明

a－b>0

即可，這種方法稱為求差比較法.②求商比較法由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時(shí)要證明a>b，a只要證明b>1

即可，這種方法稱為求商比較法.(2)分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的

充分條件

，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等).這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果 ”的證明方法.綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，即“由因?qū)す钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法.反證法的證驟第一步：作出與所證不等式

相反

的假設(shè)；第二步：從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立.自測1.若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.5或8B.－1或5D.－4或8C.－1或－4解析

分類：當(dāng)a≤2

時(shí)，f(x)＝－3x－1－a，x<－1，a2－x＋1－a，－1≤x≤－

，a3x＋1＋a，x>－2，顯然2顯然，x＝－a

f(x)時(shí)，min2a＝

＋1－a＝3，∴a＝－4，當(dāng)a>2

時(shí)，f(x)＝a－3x－1－a，x<－2，ax－1＋a，－2≤x≤－1，3x＋1＋a，x>－1，2顯然

x＝－a

f(x)時(shí)，min2a＝－

－1＋a＝3，∴a＝8.答案

D2.(2015·山東卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(

)A.(－∞，4)C.(1，4)B.(－∞，1)D.(1，5)解析

①當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式可化為1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②當(dāng)1<x<5時(shí)，原不等式可化為x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③當(dāng)x≥5時(shí)，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，該不等式不成立.綜上，原不等式的解集為(－∞，4)，故選A.答案

A3.已知關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x|≤k無解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.解析

∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴當(dāng)k＜1時(shí)，不等式|x－1|＋|x|≤k無解，故k＜1.答案

(－∞，1)4.(2015·重慶卷)若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a＝

4或－6

.解析

由于

f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，－3x＋2a－1

（x<－1），當(dāng)a>－1

時(shí)，f(x)＝－x＋2a＋1（－1≤x≤a），3x－2a＋1（x>a）.作出

f(x)的大致圖象

，由函數(shù)

f(x)的圖象可知

f(a)＝5，即

a＋1＝5，∴a＝4.同理，當(dāng)a≤－1

時(shí)，－a－1＝5，∴a＝－6.5.若a，b

均為正實(shí)數(shù)，且a≠b，M＝

a

＋b

，N＝b

aa＋

b，則

M、N

的大小關(guān)系為

.解析

∵a≠b，∴

a

＋

b＞2

a，

b

＋b

aa＞2

b，b∴

a

＋b＋

b

＋

a＞2

a＋2

b，∴

a

＋

b

＞a

b

aa＋

b.即M＞N.答案

M＞N考點(diǎn)一 含絕對值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.解

法一

如圖，設(shè)數(shù)軸上與－2，1對應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，則不等式的解就是數(shù)軸上到A、B兩點(diǎn)的距離之和不小于5的點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)數(shù).顯然，區(qū)間[－2，1]不是不等式的解集.把A向左移動一個(gè)單位到點(diǎn)A1，此時(shí)A1A＋A1B＝1＋4＝5.把點(diǎn)B向右移動一個(gè)單位到點(diǎn)B1，此時(shí)B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集為(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二

原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5?或x≤－2，

－2＜x＜1，－（x－1）－（x＋2）≥5

－（x－1）＋x＋2≥5或x≥1，x－1＋x＋2≥5，解得x≥2或x≤－3，∴原不等式的解集為(－∞，－3]∪[2，＋∞).法三

將原不等式轉(zhuǎn)化為|x－1|＋|x＋2|－5≥0.－2x－6，x≤－2，令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，則

f(x)＝－2，－2＜x＜1，作出2x－4，x≥1.函數(shù)的圖象，

，＋∞)時(shí)，y≥0，∴原不等式的解集為(－∞，－3]∪[2，＋∞).規(guī)律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段法，利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a＜b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集；(2)幾何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于

c的全體；(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解.x【訓(xùn)練

1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜2＋1.x解

①當(dāng)

x＜－3

時(shí)，原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)＜2＋1，解得

x＜10，∴x＜－3.1

x②當(dāng)－3≤x＜2時(shí)，原不等式化為(x＋3)－(1－2x)＜2＋1，解得

x

2

∴－3≤x

2.＜－5，

＜－51

x③當(dāng)

x≥2時(shí)，原不等式化為(x＋3)－(2x－1)＜2＋1，解得

x＞2

2∴x＞2.綜上可知，原不等式的解集為xx＜－5，或x＞2.考點(diǎn)二

含參數(shù)的絕對值不等式問題【例

2】已知函數(shù)

f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)當(dāng)a＝－2

時(shí)，求不等式

f(x)<g(x)的解集；

a1(2)設(shè)a>－1，且當(dāng)

x∈－2，2時(shí)，f(x)≤g(x)，求a

的取值范圍.解

(1)當(dāng)

a＝－2

時(shí)，不等式

f(x)＜g(x)化為|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.設(shè)函數(shù)

y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，1－5x，x＜2，1則y＝－x－2，2≤x≤1，其圖象3x－6，x＞1，且僅當(dāng)

x∈(0，2)時(shí)，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}.a

1(2)∵a

＞－1

，則－2

＜2

，∴f(x)＝

|2x

－1|

＋|2x

＋a|

＝－4x＋1－a

x＜－

a2a＋1a－2≤x＜2.

14x＋a－1

x≥2.a1

1當(dāng)x∈－2，2時(shí)，f(x)＝a＋1，即

a1a＋1≤x＋3

在x∈－2，2上恒成立.a

44∴a＋1≤－2＋3，即

a≤3，∴a

的取值范圍為－1，3.規(guī)律方法不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時(shí)，只要求存在滿足條件的x即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集?的對立面(如f(x)＞m的解集是空集，則f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.【訓(xùn)練2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分別求出下列情形中a的取值范圍.不等式有解；不等式的解集為R；(3)不等式的解集為?.解 法一

因?yàn)閨x＋1|－|x－3|表示數(shù)軸上的點(diǎn)

P(x)與兩定點(diǎn)A(－1)，B(3)距離的差，即|x＋1|－|x－3|＝|PA|－|PB|.由絕對值的幾何意義知，|PA|－|PB|的最大值為|AB|＝4，最小值為－|AB|＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，a

只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可故a＜4.若不等式的解集為R，即不等式恒成立，

只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值還小，即a＜－4.若不等式的解集為?，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.法二

由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.若不等式有解，則a＜4；若不等式的解集為R，則a＜－4；(3)若不等式解集為?，則a≥4.考點(diǎn)三

不等式的證明方法【例

3】設(shè)a，b，c＞0，且

ab＋bc＋ca＝1.求證：(1)a＋b＋c≥3.(2)

a

＋

b

＋ c

≥bc

ac

ab3(

a＋

b＋

c).證明

(1)要證

a＋b＋c≥

3，由于a，b，c＞0，因此只需證明(a＋b＋c)2≥3.即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca).即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而這可以由ab＋bc＋ca≤2

2＋

＋a2＋b2

b2＋c2

c2＋a22＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c

時(shí)等號成立)證得.∴原不等式成立.(2)

a

＋

b

＋ c

＝bc

ac

ababc

.a＋b＋c由于(1)中已證a＋b＋c≥3.因此要證原不等式成立，只需證明1abc≥

a＋

b＋

c.即證

a

bc＋b

ac＋c

ab≤1，即證

a

bc＋b

ac＋c

ab≤ab＋bc＋ca.ab·ac≤，b

ac≤ab＋ac

ab＋bc2

2，c

ab≤bc＋ac2.而

a

bc＝∴a

bc＋b

ac＋c

ab≤ab＋bc＋ca

3a＝b＝c＝

3時(shí)等號成立.∴原不等式成立.規(guī)律方法(1)分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.(2)利用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用好已知條件和已經(jīng)證明過的重要不等式.Ⅱ卷)設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a＋b＝a＋

b＞

c＋

d；d是|a－b|＜|c－d|的充要條件.【訓(xùn)練3】(2015·c＋d，證明：若ab＞cd，則a＋

b＞

c＋證明

(＋