中考二次函數(shù)壓軸題解題通法

..中考二次函數(shù)壓軸題———解題通法研究二次函數(shù)在全國中考數(shù)學中常常作為壓軸題,同時在省級,國家級數(shù)學競賽中也有二次函數(shù)大題,在XX市的拔尖人才考試中同樣有二次函數(shù)大題,在XX,XX,瀘縣二中等地的外地招生考試中也有二次函數(shù)大題,很多學生在有限的時間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學中很多數(shù)學知識都與函數(shù)知識或函數(shù)的思想有關(guān),學生在初中階段函數(shù)知識和函數(shù)思維方法學得好否,直接關(guān)系到未來數(shù)學的學習。所以二次函數(shù)綜合題自然就成了相關(guān)出題老師和專家的必選內(nèi)容。我通過近６年的研究,思考和演算了上1000道二次函數(shù)大題,總結(jié)出了解決二次函數(shù)壓軸題的通法,供大家參考。幾個自定義概念：三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上,或有一邊平行于X軸或Y軸的三角形稱為三角形基本模型。動點〔或不確定點坐標"一母示"：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式,用一個字母把該點坐標表示出來,簡稱"設(shè)橫表縱"。如：動點P在y=2x+1上,就可設(shè)P〔t,2t+1.若動點Ｐ在ｙ＝,則可設(shè)為Ｐ〔ｔ,當然若動點M在X軸上,則設(shè)為〔t,0.若動點M在Ｙ軸上,設(shè)為〔０,ｔ．動三角形：至少有一邊的長度是不確定的,是運動變化的?；蛑辽儆幸粋€頂點是運動,變化的三角形稱為動三角形。動線段：其長度是運動,變化,不確定的線段稱為動線段。定三角形：三邊的長度固定,或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的,不含參數(shù)的直線稱為定直線。如：ｙ＝３ｘ－６。X標,Y標：為了記憶和闡述某些問題的方便,我們把橫坐標稱為x標,縱坐標稱為y標。直接動點：相關(guān)平面圖形〔如三角形,四邊形,梯形等上的動點稱為直接動點,與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標"一母示"是針對直接動點坐標而言的。1.求證"兩線段相等"的問題：借助于函數(shù)解析式,先把動點坐標用一個字母表示出來；然后看兩線段的長度是什么距離〔即是"點點"距離,還是"點軸距離",還是"點線距離",再運用兩點之間的距離公式或點到x軸〔y軸的距離公式或點到直線的距離公式,分別把兩條線段的長度表示出來,分別把它們進行化簡,即可證得兩線段相等。２、"平行于y軸的動線段長度的最大值"的問題：由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等〔常設(shè)為t,借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式,把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來,再由兩個端點的高低情況,運用平行于y軸的線段長度計算公式,把動線段的長度就表示成為一個自變量為t,且開口向下的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。3、求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標問題： 先用點斜式〔或稱K點法求出過已知點,且與已知直線垂直的直線解析式,再求出兩直線的交點坐標,最后用中點坐標公式即可。4、"拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離最大"的問題：〔方法1先求出定直線的斜率,由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式〔注意該直線與定直線的斜率相等,因為平行直線斜率〔k相等,再由該直線與拋物線的解析式組成方程組,用代入法把字母y消掉,得到一個關(guān)于x的的一元二次方程,由題有△=-4ac=0〔因為該直線與拋物線相切,只有一個交點,所以-4ac=0從而就可求出該切線的解析式,再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組,求出x、y的值,即為切點坐標,然后再利用點到直線的距離公式,計算該切點到定直線的距離,即為最大距離?！卜椒?該問題等價于相應(yīng)動三角形的面積最大問題,從而可先求出該三角形取得最大面積時,動點的坐標,再用點到直線的距離公式,求出其最大距離。〔方法3先把拋物線的方程對自變量求導,運用導數(shù)的幾何意義,當該導數(shù)等于定直線的斜率時,求出的點的坐標即為符合題意的點,其最大距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。5.常數(shù)問題：〔1點到直線的距離中的常數(shù)問題："拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離等于一個固定常數(shù)"的問題：先借助于拋物線的解析式,把動點坐標用一個字母表示出來,再利用點到直線的距離公式建立一個方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,進而利用拋物線解析式,求出動點的縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。〔2三角形面積中的常數(shù)問題："拋物線上是否存在一點,使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)"的問題：先求出定線段的長度,再表示出動點〔其坐標需用一個字母表示到定直線的距離,再運用三角形的面積公式建立方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,再利用拋物線的解析式,可求出動點縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了?！?幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題：用K點法設(shè)出直線方程,求出與拋物線〔或其它直線的交點坐標,再運用兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系,把問題中的所有線段表示出來,并化解即可。6."在定直線〔常為拋物線的對稱軸,或x軸或y軸或其它的定直線上是否存在一點,使之到兩定點的距離之和最小"的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關(guān)于定直線的對稱點的坐標,再把該對稱點和另一個定點連結(jié)得到一條線段,該線段的長度〈應(yīng)用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離,而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點,其坐標很易求出〔利用求交點坐標的方法。7.三角形周長的"最值<最大值或最小值>"問題："在定直線上是否存在一點,使之和兩個定點構(gòu)成的三角形周長最小"的問題〔簡稱"一邊固定兩邊動的問題：由于有兩個定點,所以該三角形有一定邊〔其長度可利用兩點間距離公式計算,只需另兩邊的和最小即可。"在拋物線上是否存在一點,使之到定直線的垂線,與y軸的平行線和定直線,這三線構(gòu)成的動直角三角形的周長最大"的問題〔簡稱"三邊均動的問題： 在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形,在動點坐標一母示后,運用,把動三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個開口向下的拋物線來破解。8.三角形面積的最大值問題："拋物線上是否存在一點,使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大"的問題〔簡稱"一邊固定兩邊動的問題"：<方法1>先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面３的方法,求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底·高。即可求出該三角形面積的最大值,同時在求解過程中,切點即為符合題意要求的點?！卜椒?過動點向y軸作平行線找到與定線段〔或所在直線的交點,從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形,動點坐標一母示后,進一步可得到,轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。"三邊均動的動三角形面積最大"的問題〔簡稱"三邊均動"的問題：先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形〔有一邊在x軸或y軸上的三角形,或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形,稱為基本模型的三角形面積之差,設(shè)出動點在x軸或y軸上的點的坐標,而此類題型,題中一定含有一組平行線,從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似〔常為圖中最大的那一個三角形。利用相似三角形的性質(zhì)〔對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式,相應(yīng)問題也就輕松解決了。9."一拋物線上是否存在一點,使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問題"：由于該四邊形有三個定點,從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形〔連結(jié)兩個定點,即可得到一個定三角形的面積之和,所以只需動三角形的面積最大,就會使動四邊形的面積最大,而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求法與7相同。10、"定四邊形面積的求解"問題：有兩種常見解決的方案：方案〔一：連接一條對角線,分成兩個三角形面積之和；方案〔二：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點,向x軸〔或y軸作垂線,或者把該點與原點連結(jié)起來,分割成一個梯形〔常為直角梯形和一些三角形的面積之和〔或差,或幾個基本模型的三角形面積的和〔差11."兩個三角形相似"的問題：兩個定三角形是否相似：已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條夾邊,看看是否成比例？若成比例,則相似;否則不相似。不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三角形各邊的長,看看是否成比例？若成比例,則相似;否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：已知有一個角相等的情形：先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把動點坐標表示出來〔一母示,然后把兩個目標三角形〔題中要相似的那兩個三角形中相等的那個已知角作為夾角,分別計算或表示出夾角的兩邊,讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例〔要注意是否有兩種情況,列出方程,解此方程即可求出動點的橫坐標,進而求出縱坐標,注意去掉不合題意的點?！?不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題,破解方法是,在定三角形中,由各個頂點坐標求出定三角形三邊的長度,用觀察法得出某一個角可能是特殊角,再為該角尋找一個直角三角形,用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù),在動點坐標"一母示"后,分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等,借助于特殊角,為動點尋找一個直角三角形,求出動點坐標,從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了,只需再驗證已知角的兩邊是否成比例？若成比例,則所求動點坐標符合題意,否則這樣的點不存在。簡稱"找特角,求〔動點標,再驗證"?；蚍Q為"一找角,二求標,三驗證"。１2.、"某函數(shù)圖象上是否存在一點,使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形"的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點?！踩裟尺叺?則只有一種情況；若某邊為腰,有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形,則有三種情況。先借助于動點所在圖象的解析式,表示出動點的坐標〔一母示,按分類的情況,分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等,使用兩點間的距離公式,建立方程。解出此方程,即可求出動點的橫坐標,再借助動點所在圖象的函數(shù)關(guān)系式,可求出動點縱坐標,注意去掉不合題意的點〔就是不能構(gòu)成三角形這個題意。１3、"某圖象上是否存在一點,使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形"問題：這類問題,在題中的四個點中,至少有兩個定點,用動點坐標"一母示"分別設(shè)出余下所有動點的坐標〔若有兩個動點,顯然每個動點應(yīng)各選用一個參數(shù)字母來"一母示"出動點坐標,任選一個已知點作為對角線的起點,列出所有可能的對角線〔顯然最多有3條,此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了,然后運用中點坐標公式,求出每一種情況兩條對角線的中點坐標,由平行四邊形的判定定理可知,兩中點重合,其坐標對應(yīng)相等,列出兩個方程,求解即可。進一步有：若是否存在這樣的動點構(gòu)成矩形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形,再驗證兩條對角線相等否？若相等,則所求動點能構(gòu)成矩形,否則這樣的動點不存在。若是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形,再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等,則所求動點能構(gòu)成棱形,否則這樣的動點不存在。若是否存在這樣的動點構(gòu)成正方形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形,再驗證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等,則所求動點能構(gòu)成正方形,否則這樣的動點不存在。１4、"拋物線上是否存在一點,使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系"的問題：〔此為"單動問題"〈即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題〉,后面的19實為本類型的特殊情形。先用動點坐標"一母示"的方法設(shè)出直接動點坐標,分別表示〔如果圖形是動圖形就只能表示出其面積或計算〔如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積,然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程,解之即可。〔注意去掉不合題意的點,如果問題中求的是間接動點坐標,那么在求出直接動點坐標后,再往下繼續(xù)求解即可。１5、"某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點,使之與另兩定點構(gòu)成直角三角形"的問題：若夾直角的兩邊與y軸都不平行：先設(shè)出動點坐標〔一母示,視題目分類的情況,分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率,再運用兩直線〔沒有與y軸平行的直線垂直的斜率結(jié)論〔兩直線的斜率相乘等于-1,得到一個方程,解之即可。若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行,此時不能使用斜率公式。補救措施是：過余下的那一個點〔沒在平行于y軸的那條直線上的點直接向平行于y的直線作垂線或過直角點作平行于y軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交,則相關(guān)點的坐標可輕松搞定。１6、"某圖象上是否存在一點,使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形"的問題。若定點為直角頂點,先用k點法求出另一直角邊所在直線的解析式〔如斜率不存在,根據(jù)定直角點,可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程,利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組,求出交點坐標,再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否？若等,該交點合題,反之不合題,舍去。若動點為直角頂點：先利用k點法求出定線段的中垂線的解析式,再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組,求出交點坐標,再分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率,把這兩個斜率相乘,看其結(jié)果是否為-1？若為-1,則就說明所求交點合題；反之,舍去。１7、"題中含有兩角相等,求相關(guān)點的坐標或線段長度"等的問題：題中含有兩角相等,則意味著應(yīng)該運用三角形相似來解決,此時尋找三角形相似中的基本模型"A"或"X"是關(guān)鍵和突破口。18."在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下,題中又含有某動圖形〔常為動三角形或動四邊形的面積為定常數(shù),求相關(guān)點的坐標或線段長"的問題：〔此為"單動問題"〈即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題〉,本類型實際上是前面14的特殊情形。先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形〔有一邊在x軸或ｙ軸上,或者有一邊平行于x軸或y軸面積的和或差,設(shè)出相關(guān)點的坐標〔一母示,按化分后的圖形建立一個面積關(guān)系的方程,解之即可。一句話,該問題簡稱"單動問題",解題方法是"設(shè)點〔動點標,圖形轉(zhuǎn)化〔分割,列出面積方程"。19."在相關(guān)函數(shù)解析式不確定〔系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母的情況下,題中又含有動圖形〔常為動三角形或動四邊形的面積為定常數(shù),求相關(guān)點的坐標或參數(shù)的值"的問題：此為"雙動問題"〔即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題。如果動圖形不是基本模型,就先把動圖形的面積進行轉(zhuǎn)化或分割〔轉(zhuǎn)化或分割后的圖形須為基本模型,設(shè)出動點坐標〔一母示,利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形建立面積關(guān)系的方程〔或方程組。解此方程,求出相應(yīng)點的橫坐標,再利用該點所在函數(shù)圖象的解析式,表示出該點的縱坐標〔注意,此時,一定不能把該點坐標再代入對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式,這樣會把所有字母消掉。再注意圖中另一個點與該點的位置關(guān)系〔或其它關(guān)系,方法是常由已知或利用〔2問的結(jié)論,從幾何知識的角度進行判斷,表示出另一個點的坐標,最后把剛表示出來的這個點的坐標再代入相應(yīng)解析式,得到僅含一個字母的方程,解之即可。如果動圖形是基本模型,就無須分割〔或轉(zhuǎn)化了,直接先設(shè)出動點坐標〔一母式,然后列出面積方程,往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。一句話,該問題簡稱"雙動問題",解題方法是"轉(zhuǎn)化〔分割,設(shè)點標,建方程,再代入,得結(jié)論"。常用公式或結(jié)論：〔1橫線段的長=橫標之差的絕對值==縱線段的長=縱標之差的絕對值==〔2點軸距離：點P〔,到X軸的距離為,到Y(jié)軸的距離為?！?兩點間的距離公式：若A〔,B<>,則AB=〔4點到直線的距離：點P〔到直線Ax+By+C=0<其中常數(shù)A,B,C最好化為整系數(shù),也方便計算>的距離為：或〔5中點坐標公式:若A<>,B〔,則線段AB的中點坐標為〔〔6直線的斜率公式：若A〔,B〔,則直線AB的斜率為：,〔7兩直線平行的結(jié)論：已知直線若若〔8兩直線垂直的結(jié)論：已知直線若若〔9由特殊數(shù)據(jù)得到或猜想的結(jié)論： 已知點的坐標或線段的長度中若含有等敏感數(shù)字信息,那很可能有特殊角出現(xiàn)。 在拋物線的解析式求出后,要高度關(guān)注交點三角形和頂點三角形的形狀,若有特殊角出現(xiàn),那很多問題就好解決。 還要高度關(guān)注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值,若,則直線與X軸的夾角為；若；則直線與X軸的夾角為；若,則直線與X軸的夾角為。這對計算線段長度或或點的坐標或三角形相似等問題創(chuàng)造條件。二次函數(shù)基本公式訓練：_______________破解函數(shù)難題的基石〔1橫線段的長度計算：[特點：兩端點的y標相等,長度=]。若A〔2,0,B〔10,0,則AB=————。若A〔-2,0,B〔-4,0,則AB=————。若M〔-3,0,N〔10,0,則MN=—————。若O〔0,0,A〔6,0,則OA=——————。若O〔0,0,A〔-4,0,則OA=——————。若O〔0,0,A<t,0>,且A在O的右端,則OA=——。若O〔0,0,A<t,0>,且A在O的右端,則OA=——。 若A<-2t,6>,B<3t,6>,且A在B的右端,則AB=——。若A〔4t,m,B<1-2t,m>,且B在A的左端,則AB=——————。若P〔2m+3,a,M<1-m,a>,且P在B的右端,則PM=——————。注意：橫線段上任意兩點的y標是相等的,反之y標相等的任意兩個點都在橫線段上。〔2縱線段的長度計算：[特點：兩端點的x標相等,長度=]。<若A<0,5>,B〔0,7,則AB=——————。若A〔0,-4,B〔0,-8>,,則AB=——————。若A〔0,2,B〔0,-6,則AB=——————。若A〔0,0,B〔0,-9>,則AB=——————。若A<0,0>,B<0,-6>,則AB=——————。若O<0,0>,A<0,t>,且A在O的上端,則OA=——。若O〔0,0,A〔0,t>,且A在O的下端,則OA=——。若A〔6,-4t>,B<6,3t>,且A在B的上端,則AB=——————。若M〔m,1-2t>,N<m,3-4t>,且M在N的下端,則MN=——。若P〔t,3n+2>,M<t,1-2n>,且P在M的上端,則PM=——。注意：縱線段上任意兩點的x標是相等的,反之x標相等的任意兩個點都在縱線段上?！?點軸距離：一個點到x軸的的距離等于該點的y標的絕對值〔即,到y(tǒng)軸的距離等于該點的x標的絕對值〔即。點〔-4,-3>到x軸的距離為————,到y(tǒng)軸的距離為————。若點A〔1-2t,>在第一象限,則點A到x軸的距離為————,到y(tǒng)軸的距離為__________。若點M〔t,>在第二象限,則點M到x軸的距離為——————,到y(tǒng)軸的距離為——————。若點A〔-t,2t-1>在第三象限,則點A到x軸的距離為——————,到y(tǒng)軸的距離為——————。若點N〔t,>點在第四象限,則點N到x軸的距離為——————,到y(tǒng)軸的距離為————。若點P〔t,>在x軸上方,則點Ｐ到ｘ軸的距離為——————。若點Ｑ〔ｔ,在ｘ軸下方,則點Ｑ到ｘ軸的距離為————————。若點Ｄ〔ｔ,在ｙ軸左側(cè),則點Ｑ到ｙ軸的距離為————————。若點Ｅ〔ｎ,２ｎ＋６在ｙ軸的右側(cè),則點Ｅ到ｙ軸的距離為————————。若動點Ｐ〔ｔ,在ｘ軸上方,且在ｙ軸的左側(cè),則點Ｐ到ｘ軸的距離為———————,到ｙ軸的距離為————————。若動點Ｐ〔ｔ,在ｘ軸上方,且在ｙ軸的右側(cè),則點Ｐ到ｘ軸的距離為————————,到ｙ軸的距離為——————。若動點Ｐ〔ｔ,在ｘ軸下方,且在ｙ軸的左側(cè),則點Ｐ到ｘ軸的距離為————————,到ｙ軸的距離為————————。若動點Ｐ〔ｔ,在ｘ軸下方,且在ｙ軸的右側(cè),則點Ｐ到ｘ軸的距離為————————,到ｙ軸的距離為————————。注意：在涉及拋物線,直線,雙曲線等上的動點問題中,在動點坐標"一母示"后,還要高度關(guān)注動點運動變化的區(qū)域〔例如：動點Ｐ在拋物線ｙ＝上位于ｘ軸下方,ｙ軸右側(cè)的圖象上運動,以便準確寫出動點坐標中參數(shù)字母的取值范圍,以及點軸距離是等于相應(yīng)的相反數(shù),還是其本身?！玻粗悬c坐標的計算：若[Ａ〔,Ｂ〔,則線段ＡＢ的中點坐標為〔]若Ａ〔－４,３,Ｂ〔６,７,則ＡＢ中點為————————。若M〔0,-6,N〔6,-4,則MN的中點坐標為————————。若P〔,Q〔,則PQ的中點坐標為————————。若A<1,2>,B<-3,4>,且B為AM的中點,則M點的坐標為——————。若A<-1,3>,B<0,2>,且A為ＢＰ中點,則Ｐ點坐標為——————————。點Ｐ〔－５,０關(guān)于直線ｘ＝２的對稱點的坐標為————————。點Ｐ〔６,０關(guān)于直線ｘ＝１的對稱點的坐標為__.點Ｐ〔６,２關(guān)于直線ｘ＝３的對稱點的坐標為___________。點Ｑ〔－４,３關(guān)于直線ｘ＝－３的對稱點的坐標為——————。點Ｍ〔－４,－２關(guān)于直線ｘ＝２的對稱點的坐標為——————。點Ｐ〔４,－３關(guān)于直線ｘ＝－１的對稱點的坐標為——————。點Ｍ〔－４,２關(guān)于直線ｙ＝－１的對稱點的坐標為————————。點Ｔ〔４,－３關(guān)于直線ｙ＝１的對稱點的坐標為————————。點Ｑ〔０,－３關(guān)于ｘ軸的對稱點的坐標為——————————。點Ｎ〔４,０關(guān)于ｙ軸的對稱點的坐標為————。由兩直線平行或垂直,求直線解析式。[兩直線平行,則兩個k值相等；兩直線垂直,則兩個k值之積為-1.]某直線與直線y=2x+3平行,且過點〔1,-1,求此直線的解析式。某直線與直線y=x+1平行,且過點〔2,3,求此直線的解析式。某直線與直線y=平行,且過點〔-3,0,求此直線的解析式。某直線與y軸交于點P〔0,3,且與直線y=平行,求此直線的解析式。某直線與x軸交于點P〔-2,0,且與直線y=平行,求此直線的解析式。某直線與直線y=2x-1垂直,且過點〔2,1,求此直線的解析式。某直線與直線y=-3x+2垂直,且過點〔3,2,求此直線的解析式。某直線與直線y=垂直,且過點〔2,-1,求此直線的解析式。某直線與直線y=垂直,且過點〔1,-2,求此直線的解析式。某直線與x軸交于點P〔-4,0,且與直線y=垂直,求此直線的解析式。兩點間的距離公式：則AB=若A〔-2,0,B〔0,3,則AB=——————。若P〔-2,3,Q〔1,-1,則PQ=————————。若M〔0,2,N〔-2,5,則MN=————————。若P〔,Q〔,則PQ=————————。若A〔>,B<-1,>,則AB=——————————。若P<>,B<>,則ＰＢ＝————————。若P<>,B<>,則ＰＢ=——————————。若P<>,M<>,則PM=——————。若Ａ〔,Ｂ〔,則ＡＢ＝——————。若Ａ〔,Ｂ〔,則ＡＢ＝———————。若Ａ〔－２,０,Ｂ〔３,０,則ＡＢ＝————。若P<0,-4>,Q<0,-2>,則PQ=——————。若P<3,0>,Q<4,0>,則PQ=——————。若P<1,-4>,Q<2,0>,則PQ=——————。直線的斜率公式：[注：所謂斜率,就是一次函數(shù)y=kx+b中k的值；可由兩個點的坐標直接求得：若A<>,B<>〔,則,〔y標之差除以對應(yīng)的x標之差]例題：若A<2,-3>,B<-1,4>,則解：A<2,-3>,B<-1,4>,=————?！??！！?。——————?！??！！?。點到直線的距離公式：到直線Ax+By+C=0〔為了方便計算,A,B,C最好化為整系數(shù)的距離公式為：；運用該公式時,要先把一次函數(shù)y=kx+b化為一般式Ax+By+C=0的形式〔即：先寫x項,再寫y項,最后寫常數(shù)項,等號右邊必須是0。例題：求點P<2,-3>到直線的距離。解：先把直線化為一般式3x-6y-4=0所以的值就是把點對應(yīng)代入代數(shù)式Ax+By+C中?；蛘甙淹ㄟ^移項化為〔同樣要先寫x項,再寫y項,最后寫常數(shù)項,等號右邊必須是0。從而另解：因為,P<2,-3> 所以<注：由于系數(shù)中有分數(shù),計算比較繁雜>。。。。。。。。。。。。。在一個題中設(shè)計若干常見問題： 與y軸交于點B,與x軸交于C,D〔C在D點的左側(cè),點A為頂點。Y C O D X Ｂ Ａ判定三角形ABD的形狀？并說明理由。Y 0 D x B A[通法：運用兩點間的距離公式,求出該三角形各邊的長]三角形ABD與三角形 BOD是否相似？說明理由。YOX D BA[通法：用兩點間的距離公式分別兩個三角形的各邊之長,再用相似的判定方法]在x軸上是否存在點P,使PB+PA最短？若存在求出點P的坐標,并求出最小值。若不存在,請說明理由。YX O BＡ[通法：在兩定點中任選一個點〔為了簡單起見,常常取軸上的點,求出該點關(guān)于題中的動點運動所經(jīng)過的那條直線的對稱點的坐標,再把此對稱點與余下定點相連]在y軸上是否存在點P,使三角形PAD的周長最小？若存在,求出點P的坐標,并求出周長的最小值;若不存在,請說明理由。 YＯ DX A[通法：注意到AD是定線段,其長度是個定值,因此只需ＰＡ＋ＰＤ最小]在對稱軸ｘ＝１上是否存在點Ｐ,使三角形ＰＢＣ是等腰三角形？若存在,求出點Ｐ的坐標；若不存在,請說明理由。YCO XBx＝1[通法：對動點Ｐ的坐標一母示〔１,ｔ后,分三種情況,若Ｐ為頂點,則ＰＢ＝ＰＣ；若B為頂點,則BP=ＢＣ；若Ｃ為頂點,則ＣＰ＝ＣＢ。分別用兩點間的距離公式求出或表示各線段的長度]。若平行于ｘ軸的動直線ｌ與直線ＢＤ交于點Ｆ,與拋物線交于點P,若三角形ODF為等腰三角形,求出點P的坐標.Y O X D lF P B[通法：分類討論,用兩點間的距離公式]。在直線BD下方的拋物線上是否存在點P,使的面積最大？若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由。YOD XPB[通法：]在直線BD下方的拋物線上是否存在點P,使四邊形DOBP的面積最大？若存在,求出點P的坐標,并求出四邊形面積的最大值；若不存在,請說明理由。YOD XP B[通法：或]在直線BD下方的拋物線上,是否存在點P,使四邊形DCBP的面積最大？若存在,求出點P的坐標,并求出四邊形面積的最大值；若不存在,請說明理由.Y C D XOP B[通法：]在直線ＢＤ下方的拋物線上,是否存在點Ｐ,使點Ｐ到直線BD的距離最大？若存在,求出點P的坐標,并求出最大距離；若不存在,請說明理由。Y O D ＸBP[通法：因為ＢＤ是定線段,點Ｐ到直線ＢＤ的距離最大,意味著三角形ＢＤＰ的面積最大]在拋物線上,是否存在點Ｐ,使點Ｐ到直線BD的距離等于,若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由。Y O DXB[通法：在動點坐標一母示后,用點到直線的距離公式,列出方程,求解即可]。在拋物線上是否存在點P,使,若存在,求出點P的坐標；若不存在,請說明理由。 Y O D XCB A[通法;在動點P的坐標一母示后,把到圖形三角形ABD的面積算出,借助于動點坐標把動三角形PBC的面積表示出來,再代入已知中的面積等式]。若點P在拋物線上,且PDB=,求點P的坐標。Y O X D B[通法：利用,及點B的坐標,求出直線PB的解析式,再把此解析式與拋物線方程組成方程組,即可求出P點的坐標]。若Q是線段CD上的一個動點〔不與C,D重合,交BC于點E,當三角形QBE的面積最大時,求動點Q的坐標。Y OQ C X D E B[通法：三角形QBE是三邊均動的動三角形,把該三角形分割成兩個三角形基本模型的差,即,題中平行線的作用是有兩個三角形相似,從而有對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比,最后該動三角形的面積方可表示為,以動點Q<t,0>的坐標有關(guān)的開口向下的二次函數(shù)。]若E為x軸上的一個動點,F為拋物線上的一個動點,使B,D,E,F構(gòu)成平行四邊形時,求出E點的坐標。YO Ｄ XＢ[通法：以其中一個已知點〔如：點B作為起點,列出所有對角線的情況〔如：BD,BE,BF,分別設(shè)出兩個動點〔點E,點F,運用中點坐標公式,求出每一種情況下,兩條對角線的中點坐標,注意到兩個中點重合,其坐標對應(yīng)相等,列出方程組,求解即可]。中考二次函數(shù)壓軸題分析[2012XX中考]如圖,拋物線的頂點A在直線l:y=x-5上?！?求拋物線頂點A的坐標?！?設(shè)拋物線與y軸交于點B,與x軸交于點C,D〔C點在D點的左側(cè),試判斷三角形ＡＢＤ的形狀；〔3在直線ｌ上是否存在一點Ｐ,使以點Ｐ,Ａ,Ｂ,Ｄ為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,求出點Ｐ的坐標；若不存在,請說明理由。Y C ODXＢA[2012涼山州中考]如圖,在平面直角坐標系中,直線y=x+4與x軸,y軸分別交于A,B,兩點,拋物線經(jīng)過A,B,兩點,并與x軸交于另一點C〔點C在點A的右側(cè),點P是拋物線上一動點。<1>求拋物線的解析式及點C的坐標.<2>若點P在第二象限內(nèi),過點P作PDx軸于D,交AB于點E.當點P運動到什么位置時,線段PE最長？此時ＰＥ等于多少？<3>如果平行于ｘ軸的動直線ｌ與拋物線交于點Ｑ,與直線ＡＢ交于點Ｎ,點Ｍ為ＯＡ的中點,那么是否存在這樣的直線ｌ,使得三角形ＭＯＮ是等腰三角形？若存在,請求出點Ｑ的坐標；若不存在,請說明理.YYXOBPCA[2012XX市中考]在平面直角坐標系xOy中,AB⊥x軸于點B,AB=3,tan∠AOB=3/4。將△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90o,得到△OA1B1；再將△OA1B1繞著線段OB1的中點旋轉(zhuǎn)180o,得到△OA2B1,拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0經(jīng)過點B、B1、A2。〔1求拋物線的解析式；〔2在第三象限內(nèi),拋物線上的點P在什么位置時,△PBB1的面積最大？求出這時點P的坐標；〔3在第三象限內(nèi),拋物線上是否存在點Q,使點Q到線段BB1的距離為？若存在,求出點Q的坐標；若不存在,請說明理由。[2012XX中考]如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為〔m,m,點B的坐標為〔n,﹣n,拋物線經(jīng)過A、O、B三點,連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點C．已知實數(shù)m、n〔m＜n分別是方程x2﹣2x﹣3=0的兩根．〔1求拋物線的解析式；〔2若點P為線段OB上的一個動點〔不與點O、B重合,直線PC與拋物線交于D、E兩點〔點D在y軸右側(cè),連接OD、BD．①當△OPC為等腰三角形時,求點P的坐標；②求△BOD面積的最大值,并寫出此時點D的坐標.[2012XX中考]如圖,在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)<為常數(shù)>的圖象與x軸交于點A<,0>,與y軸交于點C．以直線x=1為對稱軸的拋物線<為常數(shù),且≠0>經(jīng)過A,C兩點,并與x軸的正半軸交于點B．〔1求的值及拋物線的函數(shù)表達式；〔2設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點,過點E作直線AC的平行線交x軸于點F．是否存在這樣的點E,使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出點E的坐標及相應(yīng)的平行四邊形的面積；若不存在,請說明理由；〔3若P是拋物線對稱軸上使△ACP的周長取得最小值的點,過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于,兩點,試探究是否為定值,并寫出探究過程．[2012黃岡中考]如圖,已知拋物線的方程：〔m>0>與x軸相交于點B、C,與y軸相交于點E,且點B在點C的左側(cè)。若拋物線過點M<2,2>,求實數(shù)m的值。在<1>的條件下,求三角形BCE的面積。在〔1的條件下,在拋物線的對稱軸上找一點H,使BH+EH最小,并求出點Ｈ的坐標。在第四象限內(nèi),拋物線上是否存在點Ｆ,使得以點Ｂ,Ｃ,Ｆ為頂點的三角形與三角形BCE相似？若存在,求m的值；若不存在,請說明理由。Y E B C XO〔七[2013XX中考]如圖,拋物線經(jīng)過A〔-1,0,C<0,4>兩點,與x軸交于另一點B?！?求拋物線的解析式；〔2已知點D<m,m+1>在第一象限的拋物線上,求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標；〔3在〔2的條件下,連接BD,點P為拋物線上一點,且’求點P的坐標。 Y C A O B X〔八[2013XX中考]如圖,拋物線與X軸交于A,B,兩點〔點B在點A的右側(cè),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作棱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為〔m,0,過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.〔1求點A,B,C的坐標.〔2當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.〔3當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使三角形BDQ為直角三角形？若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由