線性代數(shù)行列式完整版

關(guān)于線性代數(shù)行列式完整版第1頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五2第1章行列式n階行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克萊姆法則—行列式的一個簡單應用數(shù)學實驗第2頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五3第1.1節(jié)n階行列式的定義

本節(jié)從二、三階行列式出發(fā)，給出n階行列式的概念.基本內(nèi)容：二階與三階行列式排列及其逆序數(shù)n階行列式定義轉(zhuǎn)置行列式返回第3頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五4即

稱其為二階行列式.記號：它表示數(shù)：左上角到右下角表示主對角線，第4頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例１

例２

設(shè)(1)當為何值時，(2)當為何值時解

或右上角到左下角表示次對角線，第5頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例3

求二階行列式

第6頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五7(2)三階行列式記號

即

稱為三階行列式.

它表示數(shù)第7頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五8

可以用對角線法則來記憶如下.第8頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五9主對角線法第9頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五10例4

計算三階行列式解:由主對角線法，有第10頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例5第11頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例6滿足什么條件時有解由題可得，即使即時，給定的行列式為零．第12頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例7的充分必要條件是什么？解或或第13頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五練習：計算下列行列式解第14頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五151.排列及其逆序數(shù)(1)排列由自然數(shù)1,2,…,n,組成的一個有序數(shù)組i1i2…in稱為一個n級排列.如：由1,2,3可組成的三級排列有3！=6個：123132213231312321（總數(shù)為n!個）注意:上述排列中只有第一個為自然順序(小大),其他則或多或少地破壞了自然順序(元素大小與位置相反)——構(gòu)成逆序.§1.2n階行列式第15頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五16(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N(i1i2…in).=3=2例1

N(2413)N(312)第16頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五17(2)排列的逆序數(shù)定義：在一個n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(t>s),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個逆序.排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為N(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，稱它為奇（偶）排列.=3=2例1

N(2413)N(312)第17頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五逆序數(shù)的計算方法

即例2

N(n(n-1)…321)

N(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)第18頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五19證明：對換：

對換在一個排列i1…is…it…in中，若其中某兩數(shù)is和it互換位置,其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1…it…is…in,這種變換稱為一個對換,記為(isit).例3定理1.1：任一排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變。第19頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五20對換在相鄰兩數(shù)間發(fā)生，即設(shè)排列…jk…(1)經(jīng)j,k對換變成…kj…(2)

此時，排列(1)、(2)中j,k與其他數(shù)是否構(gòu)成逆序的情形未發(fā)生變化；而j與k兩數(shù)構(gòu)成逆序的情形有變化：若(1)中jk構(gòu)成逆序,則(2)中不構(gòu)成逆序(逆序數(shù)減少1)

若(1)中jk不構(gòu)成逆序,則(2)中構(gòu)成逆序(逆序數(shù)增加1)一般情形設(shè)排列…ji1…isk…(3)經(jīng)j,k對換變成…ki1…isj…(4)

易知，(4)可由(3)經(jīng)一系列相鄰對換得到：

k經(jīng)s+1次相鄰對換成為…kji1…is

…j經(jīng)s次相鄰對換成為…ki1…isj…即經(jīng)2s+1次相鄰對換后(3)成為(4).相鄰對換改變排列的奇偶性，奇數(shù)次這樣的對換后排列的奇偶性改變.||第20頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五定理1.2．

第21頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五22思考練習（排列的逆序數(shù)詳解）方法1

在排列x1x2…xn中，任取兩數(shù)xs和xt(s<t),則它們必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中構(gòu)成逆序，且只能在其中的一個排列中構(gòu)成逆序.又在排列x1x2…xn中取兩數(shù)的方法共有

依題意，有故排列x1x2…xn與xnxn-1…x1中逆序之和為此即第22頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五23方法2n個數(shù)中比i大的數(shù)有n-i個(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中對i構(gòu)成的逆序為li個,則在xnxn-1…x1中對i構(gòu)成的逆序為(n-i)-li,于是兩排列中對i構(gòu)成的逆序之和為li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即第23頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五24（二）n階行列式定義分析：(i)每一項均是由取自不同行、不同列的三個元素的乘積構(gòu)成，除符號外可寫為(ii)符號為“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)項數(shù)為3！=6第24頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五推廣之，有如下n階行列式定義第25頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五26定義：

是所有取自不同行、不同列n個元素的乘積并冠以符號的項的和.(i)是取自不同行、不同列的n個元素的乘積；(ii)行標按自然順序排列，列標排列的奇偶性決定每一項的符號；(iii)表示對所有的構(gòu)成的n！個排列求和.第26頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五27例1

證明下三角行列式證：由定義和式中,只有當所以下三角行列式的值等于其主對角線上各元素的乘積.第27頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第28頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五29例2計算解由行列式定義,和式中僅當?shù)?9頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五注：第30頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例3用行列式的定義來計算行列式解設(shè)練習：第31頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例4

應為何值，符號是什么？此時該項的解此時或(1)若則取負號．(2)若則取正號．若是五階行列式的一項，則第32頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五例5用行列式定義計算解：第33頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五34

由于數(shù)的乘法滿足交換律，故而行列式各項中n個元素的順序可以任意交換.一般，可以證明定理1.3:n階行列式D=Det(aij)的項可以寫為其中i1i2…in和j1j2…jn都是n級排列.或另一定義形式另一定義形式推論:n階行列式D=Det(aij)的值為第34頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五354.轉(zhuǎn)置行列式定義：如果將行列式D的行換為同序數(shù)的列，得到的新行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT.即若第35頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五36

用定義計算思考練習（n階行列式定義）答案第36頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五37§1.3

行列式的性質(zhì)

對多“0”的或是階數(shù)較低(二、三階)的行列式利用定義計算較為容易,但對一般的、高階的（n4）行列式而言,直接利用定義計算很困難或幾乎是不可能的.因而需要討論行列式的性質(zhì)，用以簡化計算.返回第37頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五38性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.（D=DT）證：事實上,若記DT=Det(bij),則解例1

計算行列式第38頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五39性質(zhì)2

互換行列式的兩行(rirj)或列(cicj)，行列式的值變號.推論若行列式D的兩行（列）完全相同,則D=0.性質(zhì)3推論(1)D中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符號的外面，

(2)D的兩行(列)對應元素成比例，則D=0.第39頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五40性質(zhì)4若行列式某一行(列)的所有元素都是兩個數(shù)

的和,則此行列式等于兩個行列式的和.這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應的兩個加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同.即證第40頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五41性質(zhì)5

行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)k加到另一行(列)的相應元素上,行列式的值不變,即第41頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第42頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五43例2

計算行列式解第43頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五44解第44頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五45解第45頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第46頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第47頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022即第48頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第49頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第50頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第51頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五52例6

計算n階行列式解(2)解(3)解(1)第52頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五53解(1)

注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有返回第53頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五54解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返回第54頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五55解

(3)返回箭形行列式第55頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第56頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第57頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第58頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五2022/11/14阜陽師范學院數(shù)學與計算科學學院第59頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五第60頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五61例9

證明證

第61頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五62證第62頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五632.證明1.計算行列式思考練習（行列式的性質(zhì)）第63頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五64思考練習（行列式性質(zhì)答案）

第64頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五65=右邊思考練習（行列式性質(zhì)答案）

第65頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五66第1.3節(jié)行列式按行（列）展開1.行列式按一行（列）展開余子式與代數(shù)余子式在n階行列式中，劃去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij；而Aij=(-1)i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式.返回返回第66頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五67例1

求出行列式解第67頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022引例：第68頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第69頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五70定理1.4行列式按一行（列）展開定理n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和，即第70頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五71證(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均為零,即而A11=(-1)1+1M11=M11,故D=a11A11;第71頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五72(ii)當D的第i行只有元素aij0時，即

將D中第i行依次與前i-1行對調(diào),調(diào)換i-1次后位于第1行

D中第j列依次與前j-1列對調(diào),調(diào)換j-1次后位于第1列經(jīng)(i-1)+(j-1)=i+j-2次對調(diào)后,aij位于第1行、第1列,即(iii)一般地由(i)第72頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五73由(ii)第73頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五74定理1.5n階行列式的任意一行（列）的各元素與另一行（列）對應的代數(shù)余子式的乘積之和為零，即第74頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五75證考慮輔助行列式0=t列j列第75頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五76例2

計算行列式解法1法2選取“0”多的行或列第76頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第77頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五注：第78頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五79例4

討論當為何值時，解所以當論，第79頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五80例5求證證明：首先從第1行起，每行減去下一行，然后按第1列展開，之后又從第1行起每行減去下一行，化為下三角行列式即得結(jié)果，即第80頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五81第81頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五82第82頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五83例6

已知4階行列式解法1法2利用行列式的按列展開定理，簡化計算.第83頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五84第84頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五85例7

證明范得蒙行列式（Vandermonde)證

用數(shù)學歸納法第85頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五86

假設(shè)對n-1階范德蒙行列式結(jié)論成立，以下考慮n階情形.第86頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五87第87頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五88例8

計算行列式解1計算時，性質(zhì)與按行（列）展開定理結(jié)合使用.第88頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五89解2利用范德蒙行列式的結(jié)論第89頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五90例9

計算n階行列式解第90頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五91解第91頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五92思考練習（按行展開定理）計算行列式第92頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五93思考練習（按行展開定理詳解1）第93頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五94思考練習（按行展開定理詳解2）第94頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五952*.拉普拉斯（Laplace）定理k階子式

在n階行列式中，任意選定k行、k列（1≤k≤n）位于這些行列交叉處的k2個元素按原來順序構(gòu)成的一個k階行列式N，稱為行列式D的一個k階子式.k階子式N的余子式及代數(shù)余子式在D中劃去k行、k列后，余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個n-k階行列式M，稱為k階子式N的余子式;而為其代數(shù)余子式.這里i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk分別為k階子式N的行標和列標.第95頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五96在n階行列式拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1kn),由這k行元素組成的k階子式N1,N2,…,Vt與它們的代數(shù)余子式

的乘積之和等于D，即第96頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五97例7

計算行列式解第97頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五98一般地第98頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022第1.5節(jié)

克萊姆法則下面以行列式為工具,研究含有n個方程,n個未知量的n元線性方程組的問題.先以二元線性方程組為例第99頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五11/14/2022當系數(shù)行列式D≠0時，方程組有唯一解：二元線性方程組稱為方程組的系數(shù)行列式。第100頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五101定理1.7（克萊姆法則）如果n元線性方程組則方程組有唯一解的系數(shù)行列式返回返回第101頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五102其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中第j列的元素換成方程組的常數(shù)項b1,b2,…,bn所構(gòu)成的n級行列式,即定理的結(jié)論有兩層含義：①方程組（1）有解；②解惟一且可由式(2)給出.第102頁，共113頁，2022年，5月20日，18點40分，星期五103證首先證明方程組(1)有解.事實上,將

代入第i個方程的左端，再將