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歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!歡迎閱讀本文檔,希望本文檔能對您有所幫助!第三節(jié)全稱量詞命題與存在量詞命題考試要求:能正確地對全稱量詞命題與存在量詞命題進行否定.一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,用符號“?”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.(2)存在量詞:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號“?”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.2.含有一個量詞的命題的否定命題命題的否定?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)1.對于省略量詞的命題,應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞,改寫成含量詞的完整形式,再寫出命題的否定,否則易出錯.2.注意“或”“且”的否定,“或”的否定為“且”,“且”的否定為“或”.二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1.判斷下列說法的正誤,對的打“√”,錯的打“×”.(1)“?x∈R,x2≥0”的否定是“?x∈R,x2<0”. (√)(2)“長方形的對角線相等”是存在量詞命題. (×)(3)“?x∈R,x2+1=0”為真命題. (×)(4)寫存在量詞命題的否定時,存在量詞變?yōu)槿Q量詞. (√)(5)“?x∈M,p(x)”與“?x∈M,p(x)”的真假性相反. (√)2.已知命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1,則p為()A.?x≤0,使得(x+1)ex≤1B.?x>0,使得(x+1)ex≤1C.?x>0,使得(x+1)ex≤1D.?x≤0,使得(x+1)ex≤1B解析:“?x>0,總有(x+1)ex>1”的否定是“?x>0,使得(x+1)ex≤1”.3.(多選題)下列命題為全稱量詞命題的是()A.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B.正四棱柱都是平行六面體C.棱錐僅有一個底面D.存在大于等于3的實數(shù)x,使x2-2x-3≥0ABC解析:A,B,C中命題都省略了全稱量詞“所有”,所以A,B,C都是全稱量詞命題;D中命題含有存在量詞“存在”,所以D是存在量詞命題.故選ABC.4.(多選題)下列命題是“?x∈R,x2>3”的另一種表述方法的是()A.有一個x∈R,使得x2>3成立B.對有些x∈R,有x2>3成立C.任選一個x∈R,都有x2>3成立D.至少有一個x∈R,使得x2>3成立ABD解析:原命題為存在量詞命題,A,B,D選項均為對應(yīng)的存在量詞命題,是原命題的表述方法,C為全稱量詞命題.5.以下四個命題中既是存在量詞命題又是真命題的是()A.銳角三角形有一個內(nèi)角是鈍角B.至少有一個實數(shù)x,使x2≤0C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個負數(shù)x,使eq\f(1,x)>2B解析:銳角三角形的內(nèi)角都是銳角,所以A項是假命題;當x=0時,x2=0,滿足x2≤0,所以B項既是存在量詞命題又是真命題;因為eq\r(2)+(-eq\r(2))=0不是無理數(shù),所以C項是假命題;對于任意一個負數(shù)x,都有eq\f(1,x)<0,不滿足eq\f(1,x)>2,所以D項是假命題.考點1全稱量詞命題、存在量詞命題的否定——基礎(chǔ)性1.(2021·南昌測試)命題“?x≥0,sinx≤x”的否定為()A.?x<0,sinx>xB.?x≥0,sinx>xC.?x≥0,sinx>xD.?x<0,sinx≤xB解析:原命題是全稱量詞命題,其否定是存在量詞命題.因為否定的是結(jié)論而不是條件,所以A選項錯誤,B選項正確.故選B.2.命題“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2B.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2C.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2D.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2D解析:改變量詞,否定結(jié)論.所以p應(yīng)為“?x∈R,?n∈N*,使得n<x2.”3.(2021·安徽滁州聯(lián)合質(zhì)檢)命題“?x∈R,2x2<cosx”的否定為________________.?x∈R,2x2≥cosx解析:存在量詞命題的否定為全稱量詞命題,所以命題“?x∈R,2x2<cosx”的否定為“?x∈R,2x2≥cosx”.1.解決此類問題一般是先改寫量詞,再否定結(jié)論.2.對于省去量詞的命題要結(jié)合命題的含義加上量詞,再對量詞進行改寫.考點2全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷——綜合性(1)下列四個命題中的真命題是()A.?n∈R,n2≥nB.?n∈R,?m∈R,m·n=mC.?n∈R,?m∈R,m2<nD.?n∈R,n2<nB解析:對于選項A,令n=eq\f(1,2),即可驗證其為假命題;對于選項C,D,可令n=-1加以驗證,均為假命題.(2)(多選題)已知集合A={y|y=x2+2},集合B={x|y=lgeq\r(x-3)},則下列命題中的真命題是()A.?m∈A,mBB.?m∈B,mAC.?m∈A,m∈BD.?m∈B,m∈AAD解析:因為A={y|y=x2+2}=[2,+∞),B={x|y=lgeq\r(x-3)}=(3,+∞),所以BA,則A,D是真命題.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對象使命題為真否定為假假存在一個對象使命題為假否定為真存在量詞命題真存在一個對象使命題為真否定為假假所有對象使命題為假否定為真1.(2022·重慶一中模擬)命題p:?x∈[0,+∞),(log32)x≤1,則()A.p是假命題,p:?x∈[0,+∞),(log32)x>1B.p是假命題,p:?x∈[0,+∞),(log32)x≥1C.p是真命題,p:?x∈[0,+∞),(log32)x>1D.p是真命題,p:?x∈[0,+∞),(log32)x≥1C解析:因為0<log32<1,所以?x∈[0,+∞),(log32)x≤1,所以p是真命題,p:?x∈[0,+∞),(log32)x>1.2.(多選題)命題p:存在實數(shù)x∈R,使得數(shù)據(jù)1,2,3,x,6的中位數(shù)為3.若命題p為真命題,則實數(shù)x的取值集合可以為()A.{3,4,5} B.{x|x>3}C.{x|x≥3} D.{x|3≤x≤6}ABCD解析:根據(jù)中位數(shù)的定義可知,只需x≥3,則1,2,3,x,6的中位數(shù)必為3,選項A,B,C,D中的取值集合均滿足x≥3.考點3全稱量詞命題、存在量詞命題的應(yīng)用——應(yīng)用性(1)“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()A.a(chǎn)≥0B.a(chǎn)≥1C.a(chǎn)≥2D.a(chǎn)≥3D解析:“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題,即2a≥x2在x∈[-2,1]時恒成立,所以2a≥4,所以a≥2,即“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題的充要條件是a≥2,所以可轉(zhuǎn)化為求“a≥2”的充分不必要條件,即找集合A={a|a≥2}的非空真子集,結(jié)合選項知故選D.(2)(多選題)(2021·遼寧盤錦模擬改編)使命題“?x∈[-1,2),f(x)=-x2+ax+4≤0”為假命題的充分不必要條件可以為()A.0≤a<3 B.0<a<3C.a(chǎn)<3 D.1<a<2BD解析:若命題p“?x∈[-1,2),f(x)=-x2+ax+4≤0”為假命題,則命題p“?x∈[-1,2),f(x)=-x2+ax+4>0”為真命題,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f-1>0,,f2≥0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-1-a+4>0,,-4+2a+4≥0,))解得0≤a<3,結(jié)合選項知BD正確.例2(1)改為“?x∈[-2,1),x2-2a≤0”為真命題,則a的取值范圍為________.AB解析:“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題,即2a≥x2在x∈[-2,1]時恒成立,所以2a≥4,所以a≥2,即“?x∈[-2,1],x2-2a≤0”為真命題的充要條件是a≥2,所以可轉(zhuǎn)化為求“a≥2”的必要不充分條件.結(jié)合選項知選AB.解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.1.命題“存在x∈R,使x2+ax-4a<0為假命題”是命題“-16≤a≤0”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件A解析:因為存在x∈R,使x2+ax-4a<0為假命題,所以任意x∈R,使x2+ax-4a≥0為真命題,則Δ=a
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