【知識(shí)點(diǎn)解析】平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示思考探究已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，i，j分別為與x、y軸方向相同的單位向量．a(chǎn)＋b＝x1i＋y1j＋x2i＋y2ja–b＝x1i＋y1j–(x2i＋y2j)λa＝λ(x1i＋y1j)λa＝(λx1，λy1)那么a＋b=?a–b=?λa=?a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a–b＝(x1

–x2，y1

–y2)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，＝(x1

–x2)i＋(y1

–y2)j，兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）．實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．＝λx1i＋λy1j．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝(x1，y1)，則

＝

＝(x2

–x1，y2

–y1)．一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．＝(x2，y2)，思考探究平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例詳解根據(jù)向量加減法和數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示直接求解.所以a＋b＝(1，2)＋(–3，4)因?yàn)閍＝(1，2)，b＝(–3，4)a–b＝(1，2)

–(–3，4)3a–4b＝3×(1，2)–4×(–3，4)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）．實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．＝(–2，6)，＝(4，–2)，＝(15，–10)．分析：已知a＝(1，2)，b＝(–3，4)，求向量a＋b，a–b，3a–4b的坐標(biāo)．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例設(shè)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為

(x1，y1)，(x2，y2)．分析：詳解設(shè)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．由題意得＝(–3，–6)，又∵∴(x1＋1，y1–2)＝

×(3，6)，(–1–x2，2–y2)＝

×(–3，–6)，＝(x1＋1，y1–2)，＝(3，6)，＝(–1–x2，2–y2)，即(x1＋1，y1

–2)＝(1，2)，(–1

–x2，2

–y2)＝(1，2)，∴解得∴點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，4)，(–2，0)，∴

＝(–2，–4)．然后根據(jù)列方程組求解．分別計(jì)算出的坐標(biāo).已知A(–1，2)，B(2，8)，

，求點(diǎn)C，D和向量

的坐標(biāo)．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示知識(shí)梳理已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．a(chǎn)，b共線用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，向量a，b（b≠0）共線的充要條件是即

，充要條件存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λbx1y2–x2y1＝0．x1y2–x2y1＝0．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則：由，解得

即

＝（x0–x1，y0–y1），＝（x2–x0，y2–y0），思考探究得OxyAB你能借助向量求出線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)嗎？P平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例詳解先計(jì)算λa＋b，a＋λb，＝(3λ＋2，2λ–1)，根據(jù)題意：λa＋b＝(3λ，2λ)＋(2，–1)a＋λb＝(3，2)＋(2λ，–λ)∵λa＋b與a＋λb平行，∴(3λ＋2)(–λ＋2)–

(2λ＋3)(2λ–1)＝0，解得：λ＝±1．再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解．＝(2λ＋3，–λ＋2)，a＝(x1，y1)，b＝

(x2，y2)

已知a＝（3，2），b＝（2，–1），若λa＋b與a＋λb平行，求實(shí)數(shù)λ的值．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示例詳解∵P(–3，0)，Q(1，4)，∵A(–1，2)，B(2，0)，C(x，3)，∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴3×3–(x–2)(–2)

＝0，再由A，B，C三點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為向量共線，即

，∴

．∴

＝(3，–2)，

＝(x–2，3)，∴x＝–

．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式算得A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示