【知識點解析】《利用向量方法證明空間中的垂直關系》課堂探究3

利用向量方法證明空間中的垂直關系指點迷津

1．線線垂直

設直線l1，l2的方向向量分別是

，

，若要證明l1⊥l2，只要證

，即證明

．

2．線面垂直

（2）根據(jù)線面垂直的判定定理．

（1）設直線l的方向向量為

，平面α的法向量是

，若要證l⊥α，只需證∥．指點迷津

3．面面垂直

（1）根據(jù)面面垂直的判定定理．

（2）證明兩個平面的法向量垂直，則可證明兩個平面垂直．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．分析：證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判定定理，轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直證明；二是證明兩個平面的法向量互相垂直．活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；（2）EG是PG與BC的公垂線．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．證明：方法一：如圖所示，以三棱錐的頂點P為原點，活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；以PA，PB，PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．證明：令PA＝PB＝PC＝3，活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，2，1），則A（3，0，0），F(xiàn)（0，1，0），G（1，1，0），P（0，0，0）．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；∴PA∥FG．證明：于是

＝（3，0，0），＝（1，0，0），故

，在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；證明：而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC．又FG

平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．證明：方法二：同方法一，建立空間直角坐標系，活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；則E（0，2，1），F(xiàn)（0，1，0），G（1，1，0）．∴＝（0，－1，－1），

＝（1，－1，－1）．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；證明：設平面EFG的法向量是

＝（x，y，z），則有，．∴令y＝1，得z＝－1，x＝0，在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；證明：即

＝（0，1，－1）．而顯然

＝（3，0，0）是平面PBC的一個法向量，這樣

，∴

，在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（1）平面GEF⊥平面PBC；證明：即平面PBC的法向量與平面EFC的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC．在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（2）EG是PG與BC的公垂線．證明：∵＝（1，－1，－1），

＝（1，1，0），＝（0，－3，3），∴＝1－1＝0，

＝3－3＝0，在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2．活動與探究求證：（2）EG是PG與BC的公垂線．證明：∴E