一元一次方程知識點及經(jīng)典例題

.PAGE.一、知識要點梳理知識點一：方程和方程的解1.方程：含有_____________的______叫方程注意：a.必須是等式b.必須含有未知數(shù)。易錯點：〔1.方程式等式,但等式不一定是方程；〔2.方程中的未知數(shù)可以用x表示,也可以用其他字母表示；〔3.方程中可以含多個未知數(shù)?？挤ǎ号袛嗍遣皇欠匠蹋豪合铝惺阶樱?lt;1>.8-7=1+0<2>.一元一次方程：一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0<其中x是未知數(shù),a,b是已知數(shù),且a≠0>。要點詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件：〔1只含有一個未知數(shù)；〔2未知數(shù)的次數(shù)是1次；〔3整式方程．2、方程的解：判斷一個數(shù)是否是某方程的解：將其代入方程兩邊,看兩邊是否相等．知識點二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理〔也叫等式的基本性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加〔或減同一個數(shù)〔或式子,結(jié)果仍相等。如果,那么；<c為一個數(shù)或一個式子>。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等。如果,那么；如果,那么要點詮釋：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù),分?jǐn)?shù)的值不變。即：〔其中m≠0特別須注意：分?jǐn)?shù)的基本的性質(zhì)主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)〔特別是分母中的小數(shù)化為整數(shù),如方程：－=1.6,將其化為：－=1.6。方程的右邊沒有變化,這要與"去分母"區(qū)別開。2、解一元一次方程的一般步驟：解一元一次方程的一般步驟變形步驟具體方法變形根據(jù)注意事項去分母方程兩邊都乘以各個分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)21．不能漏乘不含分母的項；2．分?jǐn)?shù)線起到括號作用,去掉分母后,如果分子是多項式,則要加括號去括號先去小括號,再去中括號,最后去大括號乘法分配律、去括號法則1．分配律應(yīng)滿足分配到每一項2．注意符號,特別是去掉括號移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊,不含有未知數(shù)的項移到另一邊等式性質(zhì)11．移項要變號；2．一般把含有未知數(shù)的項移到方程左邊,其余項移到右邊合并同類項把方程中的同類項分別合并,化成""的形式〔合并同類項法則合并同類項時,把同類項的系數(shù)相加,字母與字母的指數(shù)不變未知數(shù)的系數(shù)化成"1"方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù),得等式性質(zhì)2分子、分母不能顛倒要點詮釋：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況,并能進行簡單應(yīng)用:①a≠0時,方程有唯一解；②a=0,b=0時,方程有無數(shù)個解；③a=0,b≠0時,方程無解。牛刀小試?yán)?、解方程〔1y-例2、由兩個方程的解相同求方程中子母的值已知方程的解與方程的解相同,求m的值.例3、解方程知識與絕對值知識綜合題型解方程：二、經(jīng)典例題透析類型一：一元一次方程的相關(guān)概念1、已知下列各式：①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。其中方程的個數(shù)是<>A、5B、6C、7D、8舉一反三：[變式1]判斷下列方程是否是一元一次方程：〔1-2x2+3=x〔23x-1=2y〔3x+=2〔42x2-1=1-2<2x-x2>[變式2]已知：<a-3><2a+5>x+<a-3>y+6＝0是一元一次方程,求a的值。[變式3]〔2011XX江津已知3是關(guān)于x的方程2x－a=1的解,則a的值是<>A．－5B．5C．7D．2類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。如果我們在牢固掌握這一常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上,根據(jù)方程原形和特點,靈活安排解題步驟,并且巧妙地運用學(xué)過的知識,就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1．巧湊整數(shù)解方程：2、舉一反三：[變式]解方程：＝2x－52．．巧去括號解方程：4、舉一反三：[變式]解方程：4．運用拆項法解方程：5、5．巧去分母解方程：6、舉一反三：[變式]〔2011XX濱州依據(jù)下列解方程的過程,請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟,在后面的括號內(nèi)填寫變形依據(jù)。解：原方程可變形為<__________________________>去分母,得3〔3x+5=2<2x-1>.<__________________________>去括號,得9x+15=4x-2.〔____________________________<____________________>,得9x-4x=-15-2.<____________________________>合并,得5x=-17.<合并同類項>〔____________________,得x=.〔_________________________6．巧組合解方程：7、思路點撥：按常規(guī)解法將方程兩邊同乘72化去分母,但運算較復(fù)雜,注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數(shù)3,左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數(shù)4,移項局部通分化簡,可簡化解題過程。7．巧解含有絕對值的方程：8、|x－2|－3＝0思路點撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號,轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程。對于只含一重絕對值符號的方程,依據(jù)絕對值的意義,直接去絕對值符號,化為兩個一元一次方程分別解之,即若|x|＝m,則x＝m或x＝－m；也可以根據(jù)絕對值的幾何意義進行去括號,如解法二。舉一反三：[變式1]〔2011XXXX已知方程,那么方程的解是________.；[變式2]5|x|-16＝3|x|-4[變式3]8．利用整體思想解方程：9、思路點撥：因為含有的項均在""中,所以我們可以將作為一個整體,先求出整體的值,進而再求的值。參考答案例1：解：是方程的是①④⑤⑥⑦⑧,共六個,所以選B總結(jié)升華：根據(jù)定義逐個進行判斷是解題的基本方法,判斷時應(yīng)注意兩點：一是等式；二是含有未知數(shù),體現(xiàn)了對概念的理解與應(yīng)用能力。舉一反三1.解析：判斷是否為一元一次方程需要對原方程進行化簡后再作判斷。答案：〔1〔2〔3不是,〔4是2.解析：分兩種情況：〔1只含字母y,則有<a-3><2a+5>＝0且a-3≠0〔2只含字母x,則有a-3＝0且<a-3><2a+5>≠0不可能綜上,a的值為。3.答案：B例2.解：移項,得。合并同類項,得2x＝－1。系數(shù)化為1,得x＝－。舉一反三解：原方程可變形為＝2x－5整理,得8x＋18－<2＋15x>＝2x－5,去括號,得8x＋18－2－15x＝2x－5移項,得8x－15x－2x＝－5－18＋2合并同類項,得－9x＝－21系數(shù)化為1,得x＝。例4解：去括號,得去小括號,得去分母,得<3x－5>－8＝8去括號、移項、合并同類項,得3x＝21兩邊同除以3,得x＝7∴原方程的解為x＝7舉一反三解：依次移項、去分母、去大括號,得依次移項、去分母、去中括號,得依次移項、去分母、去小括號,得,∴x＝48例5解：原方程逆用分?jǐn)?shù)加減法法則,得移項、合并同類項,得。系數(shù)化為1,得。例6解：原方程化為去分母,得100x－<13－20x>＝7去括號、移項、合并同類項,得120x＝20兩邊同除以120,得x＝∴原方程的解為總結(jié)升華：應(yīng)用分?jǐn)?shù)性質(zhì)時要和等式性質(zhì)相區(qū)別?？梢曰癁橥帜傅?先化為同分母,再去分母較簡便。舉一反三[答案]解：原方程可變形為<_分式的基本性質(zhì)_>去分母,得3〔3x+5=2<2x-1>.<_等式性質(zhì)2_>去括號,得9x+15=4x-2.〔去括號法則或乘法分配律_<______移項_______>,得9x-4x=-15-2.<等式性質(zhì)1_>合并,得5x=-17.<合并同類項>〔_______系數(shù)化為1____,得x=.〔等式性質(zhì)2例7解：移項通分,得化簡,得去分母,得8x－144＝9x－99。移項、合并,得x＝－45。例8解法一：移項,得|x－2|＝3當(dāng)x－2≥0時,原方程可化為x－2＝3,解得x＝5當(dāng)x－2＜0時,原方程可化為－<x－2>＝3,解得x＝－1。所以方程|x－2|－3＝0的解有兩個：x＝5或x＝－1。解法二：移項,得|x－2|＝3。因為絕對值等于3的數(shù)有兩個：3和－3,所以x－2＝3或x－2＝－3。分別解這兩個一元一次方程,得解為x＝5或x＝－1。舉一反三1.[答案]2.解：5|x|-3|x|＝16-42|x|＝12|x|＝6x＝±63.解：|3x-1|＝83x-1＝±83x＝1±83x＝9或3x＝-7x＝3或例9解：移項通分,得：化簡,得：移項,系數(shù)化1得：總結(jié)升華：解一元一次方程有一般程序化的步驟,我們在解一元一次方程時,既要學(xué)會按部就班<嚴(yán)格按步驟>地解方程,又要能隨機應(yīng)變<靈活打亂步驟>解方程。對于一般解題步驟與解題技巧來說,前者是基礎(chǔ),后者是機智,只有真正掌握了一般步驟,才能熟能生巧。三、課堂練習(xí)一、選擇題1、已知下列方程：〔1x-2=;<2>0.3x=1;<3>=5x-1;<4>x-4x=3;<5>x=0;<6>x+2y=0.其中一元一次方程的個數(shù)是〔A2B3C4D52、下列四組變形中,正確的是〔A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0C由=2,得x=D由5x=7,得x=353、一個水池有甲、乙兩個水龍頭,單獨開甲水龍頭2小時可把空池灌滿；單獨開乙水龍頭3小時可把空池灌滿,若同時開放兩個水龍頭,灌滿空池需〔A小時B小時C2小時D3小時4、下列方程中,是由方程7x-8=x+3變形而得到的是〔A7x=x+5B7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x5、下列方程的變形中,是移項的是〔A由3=x,得x=3B由6x=3+5x,得6x=5x+3=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥．其中一元一次方程的個數(shù)是〔．A．2B．3C．4 D．513、已知關(guān)于的方程的解是,則的值是〔．A．-5B．-6C．-7 D．814、方程移項后,正確的是〔．A．B．C．D．15、方程,去分母得〔．A．B．C．D．16、甲、乙兩人騎自行車同時從相距65km的兩地相向而行,2小時相遇,若甲比乙每小時多騎2．5km,則乙的時速是〔．A．12．5kmB．15kmC．17．5kmD．20km17、某商店賣出兩件衣服,每件60元,其中一件賺25％,另一件賠25％,那么這兩件衣服售出后商店是〔．A．不賺不賠B．賺8元C．虧8元D．賺15元二、填空題：1、圓的周長為4,半徑為x,列出方程為。2、已知方程〔m-2x+5=9是關(guān)于x的一元一次方程,則m=.3、已知代數(shù)式x+2y的值是3,則代數(shù)式2x+4y+1的值是。4、3ab與2ab是同類項,則m=.5、若+〔y+1=0,則x-y=.6、某商品的進價為250元,為了減少庫存,決定每件商品按標(biāo)價打8折銷售,結(jié)果每件商品仍獲利10元,那么原來標(biāo)價為。7、當(dāng)x=時,的值是0.三、一元一次方程應(yīng)用題〔找出等量關(guān)系一、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟〔1審題：弄清題意．〔2找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系．〔3設(shè)出未知數(shù),列出方程：設(shè)出未知數(shù)后,表示出有關(guān)的含字母的式子,然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程．〔4解方程：解所列的方程,求出未知數(shù)的值．〔5檢驗,寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解,是否符合實際,檢驗后寫出答案．1、數(shù)字問題要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字為c〔其中a、b、c均為整數(shù),且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。例1、若三個連續(xù)的偶數(shù)和為18,求這三個數(shù)。例2、一個兩位數(shù),個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍,如果把十位與個位上的數(shù)對調(diào),那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36,求原來的兩位數(shù)等量關(guān)系：原兩位數(shù)+36=對調(diào)后新兩位數(shù)例3、有一個三位數(shù),個位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍,十位數(shù)字比百位數(shù)字大1,若將此數(shù)個位與百位順序?qū)φ{(diào)〔個位變百位所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49,求原數(shù)。分析：然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程．2、日歷中的規(guī)律：橫行相鄰兩數(shù)相差____豎行相鄰兩數(shù)相差___。例1、如果今天是星期三,那么一年〔365天以后的今天是星期___________例2、在日歷表中,用一個正方形任意圈出2x2個數(shù),則它們的和一定能被___________整除。A3B4C5D6例3、如果某一年的5月份中,有5個星期五,且它們的日期之和為80,那么這個月的4號是星期幾？3、等積變形問題常用等量關(guān)系為：①形狀面積變了,周長沒變；②原料體積＝成品體積。例1、用直徑為4cm的圓鋼,鍛造一個重0.62kg的零件毛坯,如果這種鋼每立方厘米重7.8g,應(yīng)截圓鋼多長？例2.用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯〔已裝滿水向一個由底面積為內(nèi)高為81mm的長方體鐵盒倒水時,玻璃杯中的水的高度下降多少mm？〔結(jié)果保留整數(shù)4、和、差、倍、分問題：倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語"是幾倍,增加幾倍,增加到幾倍,增加百分之幾,增長率……"來體現(xiàn)。多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語"多、少、和、差、不足、剩余……"來體現(xiàn)?！?勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化.例1.某廠一車間有64人,二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要,要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？例2．甲、乙兩車間各有工人若干,如果從乙車間調(diào)100人到甲車間,那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間,這時兩車間的人數(shù)相等,求原來甲乙車間的人數(shù)。〔2配套問題：例1、某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母,每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個,應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套〔一個螺栓配兩個螺母例2.機械廠加工車間有85名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套,問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？分析：列表法。

每人每天人數(shù)數(shù)量大齒輪16個x人16x小齒輪10個人等量關(guān)系：小齒輪數(shù)量的2倍＝大齒輪數(shù)量的3倍解：設(shè)分別安排x名、名工人加工大、小齒輪答：略.〔3分配問題：例1.學(xué)校分配學(xué)生住宿,如果每室住8人,還少12個床位,如果每室住9人,則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。例2.三個正整數(shù)的比為1：2：4,它們的和是84,那么這三個數(shù)中最大的數(shù)是幾？〔比例分配問題常用等量關(guān)系：各部分之和＝總量?！?年齡問題：例1、甲比乙大15歲,5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍,乙現(xiàn)在的年齡是多少歲？例2、小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲,8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲,求小華現(xiàn)在的年齡。5、工程問題工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率×工作時間經(jīng)常在題目中未給出工作總量時,設(shè)工作總量為單位1。例1.一件工程,甲獨做需15天完成,乙獨做需12天完成,現(xiàn)先由甲、乙合作3天后,甲有其他任務(wù),剩下工程由乙單獨完成,問乙還要幾天才能完成全部工程？分析設(shè)工程總量為單位1,等量關(guān)系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。解：設(shè)乙還需x天完成全部工程,設(shè)工作總量為單位1,由題意得,<EQ\f<1,15>+EQ\f<1,12>>×3+EQ\f<x,12>=1,例2、在西部大開發(fā)中,基礎(chǔ)建設(shè)優(yōu)先發(fā)展,甲、乙兩隊共同承包了一段長6500米的高速公路工程,兩隊分別從兩端施工相向前進,甲隊平均每天可完成480米,乙隊平均每天比甲隊多完成220米,乙隊比甲隊晚一天開工,乙隊開工幾天后兩隊完成全部任務(wù)？6、①打折銷售問題〔1銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標(biāo)價、利潤等〔2基本關(guān)系式：①利潤＝售價—進價；②售價=標(biāo)價×折數(shù)；③利潤率＝利潤/進價。由①②可得出④利潤＝標(biāo)價×折數(shù)－進價。由③④可得出⑤利潤率＝。②市場經(jīng)濟問題〔1商品利潤＝商品售價－商品成本價〔2商品利潤率＝×100%〔3商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量〔4商品的銷售利潤＝〔銷售價－成本價×銷售量〔5商品打幾折出售,就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售,如商品打8折出售,即按原標(biāo)價的80%出售．例1、一件衣服標(biāo)價是200元,現(xiàn)打7折銷售。問：買這件衣服需要多少錢？若已知這件衣服的成本〔進價是115元,那么商家賣出這件衣賺了多少錢？利潤是多少？例2、某商場售貨員同時賣出兩件上衣,每件都以135元售出,若按成本計算,其中一件贏利25%,另一件虧損25%,問這次售貨員是賠了還是賺了？7、行程問題?！残谐虇栴}可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意,并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點要掌握行程中的基本關(guān)系：路程＝速度×?xí)r間。①相遇問題〔相向而行,這類問題的相等關(guān)系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程②追及問題〔同向而行,這類問題的等量關(guān)系是：同時不同地：甲的時間=乙的時間甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程同地不同時；甲的時間=乙的時間-時間差甲的路程=乙的路程解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系,一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析,理解行程問題。例1.甲、乙兩站相距480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行90公里,一列快車從乙站開出,每小時行140公里?！?慢車先開出1小時,快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？〔2兩車同時開出,相背而行多少小時后兩車相距600公里？〔3兩車同時開出,慢車在快車后面同向而行,多少小時后快車與慢車相距600公里？〔4兩車同時開出同向而行,快車在慢車的后面,多少小時后快車追上慢車？〔5慢車開出1小時后兩車同向而行,快車在慢車后面,快車開出后多少小時追上慢車？此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義,弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析?！?分析：相遇問題,畫圖表示為：等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇,由題意得,140x+90<x+1>=480解這個方程,230x=390∴x=1EQ\f<16,23>答：略.〔2分析：相背而行,畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。解：設(shè)x小時后兩車相距600公里,由題意得,<140+90>x+480=600解這個方程,230x=120∴x=EQ\f<12,23>答：略.〔3分析：等量關(guān)系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公里=600公里。解：設(shè)x小時后兩車相距600公里,由題意得,<140－90>x+480=60050x=120∴x=2.4答：略.〔4分析：追及問題,畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)x小時后快車追上慢車。由題意得,140x=90x+480解這個方程,50x=480∴x=9.6答：略.〔5分析：追及問題,等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)快車開出x小時后追上慢車。由題意得,140x=90<x+1>+48050x=570解得,x=11.4答：略.③環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差=一圈的路程。航行問題：順?biāo)诧L(fēng)速度＝靜水〔風(fēng)速度＋水流〔風(fēng)速度逆水〔風(fēng)速度＝靜水〔風(fēng)速度－水流〔風(fēng)速度例：一艘船在兩個碼頭之間航行,水流速度是3千米每小時,順?biāo)叫行枰?小時,逆水航行需要3小時,求兩碼頭的之間的距離？抓住兩碼頭間距離不變,水流速和船速〔靜不速不變的特點考慮相等關(guān)系．1、A、B兩地相距150千米。一輛汽車以每小時50千米的速度從A地出發(fā),另一輛汽車以每小時40千米的速度從B地出發(fā),兩車同時出發(fā),相向而行,問經(jīng)過幾小時,兩車相距30千米？2、甲、乙兩人練習(xí)100米賽跑,甲每秒跑7米,乙每秒跑6.5米,如果甲讓乙先跑1秒,那么甲經(jīng)過幾秒可以追上乙？3、一架飛機飛行在兩個城市之間,順風(fēng)要2小時45分,逆風(fēng)要3小時,已知風(fēng)速是20千米／小時,則兩城市間的距離為多少？4、一列火車以每分鐘1千米的速度通過一座長400米的橋,用了半分鐘,則火車本身的長度為多少米？5、火車用26秒的時間通過一個長256米的隧道〔即從車頭進入入口到車尾離開出口,這列火車又以16秒的時間通過了長96米的隧道,求列車的長度。8、銀行儲蓄問題。⑴顧客存入銀行的錢叫做本金,銀行付給顧客的酬金叫利息,本金和利息合稱本息和,存入銀行的時間叫做期數(shù),利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅⑵利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率〔20%利潤＝×100%利息＝本金×利率×期數(shù)注意利率有日利率、月利率和年利率,年利率＝月利率×12＝日利率×365。本息和＝本金＋_____＝本金＋_____×_____×_____＝〔1＋_____×_____×本金〔不考慮利息稅本息和＝本金