置信區(qū)間詳細定義及計算

關于置信區(qū)間詳細定義及計算第1頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五2一、置信區(qū)間的概念這種形式的估計稱為區(qū)間估計.前面，我們討論了參數點估計.它是用樣本算得的一個值去估計未知參數.但是點估計值僅僅是未知參數的一個近似值，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.范圍通常用區(qū)間的形式給出的。較高的可靠程度相信它包含真參數值.也就是說，我們希望確定一個區(qū)間，使我們能以比

這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

習慣上把置信水平記作

，這里是一個很小的正數，稱為顯著水平。第2頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五3定義7.6若由總體X的樣本X1,X2,…Xn確定的則稱為隨機區(qū)間。兩個統(tǒng)計量隨機區(qū)間與常數區(qū)間不同，其長度與在數軸上的位置與樣本有關。當一旦獲得樣本值那么，都是常數。為常數區(qū)間。第3頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五4定義7.7若滿足設是總體X的一個未知參數，的置信區(qū)間.（雙側置信區(qū)間）.的置信水平（置信度）為分別稱為置信下限和置信上限為顯著水平.為置信度，則稱區(qū)間是若存在隨機區(qū)間對于給定的第4頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五5置信水平的大小是根據實際需要選定的.根據一個實際樣本，，使一個盡可能小的區(qū)間由于正態(tài)隨機變量廣泛存在，指標服從正態(tài)分布，特別是很多產品的我們重點研究一個正態(tài)總體情形由給定的置信水平，我們求出即取置信水平或0.95，0.9等.例如，通?？扇★@著水平等.數學期望和方差的區(qū)間估計。第5頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五6設為總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差。對于任意給定的α，我們的任務是通過樣本尋找一它以1－α的概率包含總體X的數學期望μ。個區(qū)間，第6頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五7一、數學期望的置信區(qū)間設則隨機變量1、已知σ2時，μ的置信區(qū)間令第7頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五8令這就是說隨機區(qū)間它以1－α的概率包含總體X的數學期望μ。由定義可知，此區(qū)間即為μ的置信區(qū)間。第8頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五9這就是說隨機區(qū)間置信區(qū)間也可簡記為它以1－α的概率包含總體X的數學期望μ。由定義可知，此區(qū)間即為μ的置信區(qū)間。其置信度為1－α。置信下限置信上限第9頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五10若取查表得若由一個樣本值算得樣本均值的觀察值則得到一個區(qū)間我們稱其為置信度為0.95的μ的置信區(qū)間。其含義是：若反復抽樣多次，每個樣本值（n=16)按公式即確定一個區(qū)間。第10頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五11確定一個區(qū)間。在這么多的區(qū)間內包含μ的占0.95,不包含μ的占0.05。本題中屬于那些包含μ的區(qū)間的可信程度為0.95.或“該區(qū)間包含μ”這一事實的可信程度注：μ的置信水平1－α的置信區(qū)間不唯一。為0.95.第11頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五12由中心極限定理知，當

n充分大時，無論X服從什么分布，都近似有μ的置信區(qū)間是總體的前提下提出的。均可看作EX的置信區(qū)間。第12頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五13例1

設總體X~N(μ,0.09)，有一組樣本值：

12.6，13.4，12.8，13.2，求參數μ的置信度為0.95的置信區(qū)間.解μ的置信區(qū)間為

代入樣本值算得,[12.706，13.294].得到μ的一個區(qū)間估計為注：該區(qū)間不一定包含μ.有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,第13頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五14又如，上例中同樣給定可以取標準正態(tài)分布上α分位點－z0.04

和z0.01,則又有則μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為與上一個置信區(qū)間比較，同樣是其區(qū)間長度不一樣，上例比此例短。第14頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五15置信區(qū)間短表示估計的精度高，第一個區(qū)間為優(yōu)（單峰對稱的）?？梢姡馧(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對稱的情況。當n固定時以的區(qū)間長度為最短，我們一般選擇它。若以L為區(qū)間長度，則可見L隨

n

的增大而減少（α給定時），有時我們嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或0.9.對于1－α不同的值，可以得到不同的置信區(qū)間。第15頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五16估計在區(qū)間內.這里有兩個要求:只依賴于樣本的界限(構造統(tǒng)計量)可見，對參數作區(qū)間估計，就是要設法找出兩個一旦有了樣本，就把2.估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準則.1.要求很大的可能被包含在區(qū)間內，就是說，概率即要求估計盡量可靠.要盡可能大.可靠度與精度是一對矛盾，條件下盡可能提高精度.一般是在保證可靠度的第16頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五17例2已知某種油漆的干燥時間X（單位:小時）服從正態(tài)分布其中μ未知,現(xiàn)在抽取25個樣品做試驗，得數據后計算得取求μ的置信區(qū)間。解所求為第17頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五18例3中隨機地抽查了9人，其高度分別為：已知幼兒身高現(xiàn)從5～6歲的幼兒115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第18頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五192、未知σ2時，μ的置信區(qū)間當總體X的方差未知時，容易想到用樣本方差?2代替σ2。已知則對給定的α，令查t分布表，可得的值。則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間為第19頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五20例4

40名旅游者。解本題是在σ2未知的條件下求正態(tài)總體參數μ的置信區(qū)間。選取統(tǒng)計量為由公式知μ的置信區(qū)間為查表則所求μ的置信區(qū)間為為了調查某地旅游者的消費額為X，隨機訪問了得平均消費額為元，樣本方差設求該地旅游者的平均消費額μ的置信區(qū)間。若σ2＝25μ的置信區(qū)間為即第20頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五21例5

用某儀器間接測量溫度，重復測量5次得求溫度真值的置信度為0.99的置信區(qū)間。解設μ為溫度的真值，X表示測量值，通常是一個正態(tài)隨機變量問題是在未知方差的條件下求μ的置信區(qū)間。由公式查表則所求μ的置信區(qū)間為第21頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五22例6解本題是在σ2未知的條件下求正態(tài)總體參數μ的置信區(qū)間。由公式知μ的置信區(qū)間為查表則所求μ的置信區(qū)間為為了估計一批鋼索所能承受的平均張力（單位kg/cm2),設鋼索所能承受的張力X，分別估計這批鋼索所能承受的平均張力的范圍與所能承受的平均張力。隨機選取了9個樣本作試驗，即則鋼索所能承受的平均張力為6650.9kg/cm2由試驗所得數據得第22頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五23三、方差σ2的置信區(qū)間下面我們將根據樣本找出σ2

的置信區(qū)間，這在研究生產的穩(wěn)定性與精度問題是需要的。已知總體我們利用樣本方差對σ2進行估計，由于不知道S2與σ2差多少？容易看出把看成隨機變量，又能找到它的概率分布，則問題可以迎刃而解了。的概率分布是難以計算的，而對于給定的第23頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五24即則得到σ2隨機區(qū)間以的概率包含未知方差σ2，這就是σ2的置信度為1－α的置信區(qū)間。第24頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五25例1

某自動車床加工零件，抽查16個測得長度（毫米）怎樣估計該車床加工零件長度的方差。解先求σ2的估計值或查表第25頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五26所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間所求標準差σ的置信度為0.95的置信區(qū)間由得得第26頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五27例2

為了估計燈泡使用時數（小時）的均值μ和解查表測試了10個燈泡得方差σ2，若已知燈泡的使用時數為X，求μ和σ2的置信區(qū)間。由公式知μ的置信區(qū)間為μ的置信區(qū)間為查表即由公式知σ2的置信區(qū)間為σ2的置信區(qū)間為第27頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五28例3

電動機由于連續(xù)工作時間（小時）過長會燒壞，解查表燒壞前連續(xù)工作的時間X，得求μ和σ2的置信區(qū)間。今隨機地從某種型號的電動機中抽取9臺，測試了它們在設由公式知μ的置信區(qū)間為即所求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間得第28頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五29尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.，可以找到一個正數

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.我們選取未知參數的某個估計量，根據置信水平由不等式可以解出：這個不等式就是我們所求的置信區(qū)間.第29頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五30單正態(tài)總體的區(qū)間估計被估參數條件統(tǒng)計量置信區(qū)間μ已知σ2μ未知σ2σ2未知μ第30頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五31作業(yè)P29445681012第31頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五32嬰兒體重的估計例4

假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布，隨機抽取12名嬰兒，測得體重為：（單位：克）

3100,2520,3000,3000,3600,3160,

3560,3320,2880,2600,3400,2540

試以95%的置信度估計初生嬰兒的平均體重以及方差.解設初生嬰兒體重為X

克，則X~N(,2),(1)需估計,而未知2.第32頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五33作為統(tǒng)計量.

有=

，n=

，t0.025(11)=

，即的置信區(qū)間。(1)需估計,而未知2.第33頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五34 (2)需估計2,而未知，有20.025(11)=

，20.975(11)=

，第34頁，共39頁，2022年，5月20日，20點8分，星期五35例5

解由置信區(qū)間的概念，所求μ的0.99的置信區(qū)間為在交通工程中需要測定車速（單位km/h),由以往