數(shù)值分析教學(xué)課件：5-1 插值問題的提出

第五章函數(shù)近似計(jì)算的插值法

Interpolationmethod1插值問題的提出

problem2插值：已知[a,b]上的函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)互異點(diǎn)處的函數(shù)值:fnf2f1f0f(x)xnx2x1x0x求簡單函數(shù)Pn(x)，使得一、插值問題的數(shù)學(xué)提法Problem:Ifx0,x1,x2xn

aren+1distinctnumbersandfisafunctionwhosevaluesaregivenrespectivelybyf0,f1,f2fnatthesenumbers,howtochooseasinglefunctionPn(x)satisfyingtheform(*).3計(jì)算f(x)可通過計(jì)算Pn(x)來近似代替。

如下圖所示。yxx0x1f0f1x2f2xifixi+1fi+1xn-1fn-1xnfnPn(x)f(x)4這就是插值問題,(*)式為插值條件,其插值函數(shù)的圖象如圖56整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞.為了使插值函數(shù)更方便在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項(xiàng)式或有理函數(shù).本章討論的就是(代數(shù))多項(xiàng)式插值.7多項(xiàng)式插值polynomialinterpolationWeierstrass定理：對于在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f以及,總存在多項(xiàng)式P(x)滿足WeierstrassTheorem:SupposethatfisdefinedandContinuouson[a,b].Foreach

,thereexistsapolynomialP(x),withthePropertythatforallxin[a,b].8滿足插值條件的多項(xiàng)式P(x)是否存在且唯一？2.若滿足插值條件的P(x)存在,又如何構(gòu)造出P(x);即插值多項(xiàng)式的常用構(gòu)造方法有哪些？3.用P(x)代替f(x)的誤差估計(jì)，即截?cái)嗾`差的估計(jì)；對于多項(xiàng)式插值，我們主要討論以下幾個(gè)問題：4.當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)無限加密時(shí)，插值函數(shù)是否收斂于f(x)。Question:

ExistenceandUniquenessofinterpolationpolynomials?Howtoconstructtheinterpolationpolynomials?Erroranalysis?Convergenceofinterpolationfunction?9二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性ExistenceandUniquenessofinterpolationpolynomials?且滿足10--------(1)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式11定理1.

由Cramer法則,線性方程組(1)有唯一解--------(3)--------(2)則滿足插值條件的次數(shù)≤n的插值多項(xiàng)式存在且唯一.Theorem1:Supposex0,x1,x2xnaren+1distinctnumbersintheinterval[a,b].ThereexistsauniqueinterpolatingpolynomialPn(x