機(jī)械故障診斷學(xué)鐘秉林動(dòng)態(tài)系統(tǒng)特性的頻譜分析

第4章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)特性的頻域分析

傅里葉變換

隨機(jī)信號(hào)的功率譜

極大熵譜、倒譜2022/11/161機(jī)械故障診斷理論與方法特征分析的目的：去偽存真（研究特征量的變化規(guī)律）去粗取精（選擇對(duì)工況最敏感的特征量）特征分析的手段：時(shí)域頻域及其各種變換域時(shí)頻域

概述2022/11/162在數(shù)學(xué)中，為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算，常常采取一種變換手段。積分變換（傅氏變換、拉氏變換）也是如此。2022/11/163數(shù)量的乘積或商對(duì)數(shù)的和或差對(duì)數(shù)變換原數(shù)量的乘積或商反對(duì)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)及頻譜

周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)及幅值譜傅里葉變換：2022/11/164一個(gè)周期為T0且滿足狄利克雷（Dirichlet）條件的周期函數(shù)x(t)可以展開成如下的傅里葉級(jí)數(shù)（Fourierseries）其中，狄利克雷（Dirichlet）條件：①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；②只有有限個(gè)極值點(diǎn)。常值分量：余弦分量幅值：正弦分量幅值：2022/11/165重復(fù)頻率：（例題）方波信號(hào)……T0T0T02T020tx(t)2022/11/1664A4A34A50A()03050003050()/2幅值譜相位譜2022/11/167x(t)0tT02022/11/168方波信號(hào)可以看成一系列頻率不等的正弦波疊加而成。周期方波信號(hào)的時(shí)域、頻域（幅值、相位）描述2022/11/169n=0,1,2,…其中，傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：幅頻譜圖：|Fn|——實(shí)頻譜圖：FnR——虛頻譜圖：FnI

——相頻譜圖：n——2022/11/1610

非周期信號(hào)的傅里葉變換非周期信號(hào)

準(zhǔn)周期信號(hào)信號(hào)中各簡(jiǎn)諧成分的頻率比為無理數(shù)具有離散頻譜

瞬變信號(hào)在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在或隨時(shí)間的增長(zhǎng)衰減至零x(t)0t準(zhǔn)周期信號(hào)x(t)=Asin9t+Asin[sqrt(31)t]x(t)0t瞬變信號(hào)

Ix(t)=exp(-t)*sint0tx(t)瞬變信號(hào)

II2022/11/16112022/11/1612時(shí)域矩形周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn時(shí)域矩形周期信號(hào)（周期增大）傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fn時(shí)域矩形周期信號(hào)（周期增大）Fn/0波形時(shí)域矩形周期信號(hào)（周期∞）周期∞時(shí)的頻譜2022/11/1613

從上圖可知，當(dāng)矩形脈沖的重復(fù)周期愈大，譜線愈靠近，即譜線間的間隔0=2π/T0變小，當(dāng)T0—>∞時(shí)，

0—>0，則離散譜就變成連續(xù)譜了。這是我們就不能再利用傅里葉級(jí)數(shù)的方法來說明非周期信號(hào)頻譜，而必須采用頻譜密度的概念傅里葉變換公式：或：X(f)=2X()2022/11/16140為重復(fù)頻率=2πf（例題）求矩形窗函數(shù)w(t)的頻譜。1-T/2T/2tw(t)0fW(f)T01T1T3T3T2T2T(f)01T2T3T1T2T3Tf2022/11/1615二、隨機(jī)信號(hào)的功率譜為自相關(guān)函數(shù)

自功率譜(自譜)密度函數(shù)

定義Sx(f)為x(t)的自功率譜密度函數(shù)（自譜或自功率譜）。2022/11/1616注意到：即Sx(f)曲線與頻率軸所包圍的面積等于信號(hào)的平均功率（均方值），因此，Sx(f)反映了信號(hào)平均功率對(duì)頻率的變化率，表達(dá)了信號(hào)在單位頻帶寬度內(nèi)的功率。故稱為自功率譜密度函數(shù)。2022/11/1617可以證明：即可以通過時(shí)域信號(hào)的傅氏變換獲得Sx

(f)。實(shí)際根據(jù)上式計(jì)算自譜時(shí)，只能在有限時(shí)間長(zhǎng)度上獲得Sx

(f)的估計(jì)值，這種方法稱為周期圖法。由于FFT的出現(xiàn)，使得該方法十分方便、快捷，甚至在計(jì)算信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)通常也首先通過該方法獲得自譜，然后再經(jīng)由傅氏反變換獲得rx()，以提高rx()的計(jì)算速度。

2022/11/1618自譜的應(yīng)用：

線性系統(tǒng)幅頻特性辨識(shí)

檢測(cè)信號(hào)中的周期成分周期信號(hào)的頻譜是脈沖函數(shù)，但實(shí)際處理時(shí)，用矩形窗函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行了加窗截?cái)?，在頻域成為陡峭的sinc函數(shù)，從而可以根據(jù)自譜中的陡峭譜峰確定相應(yīng)的周期信號(hào)。

2022/11/16192022/11/1620

互功率譜(互譜)密度函數(shù)

為互相關(guān)函數(shù)由于互相關(guān)函數(shù)非偶函數(shù)，因而Sxy(f)為復(fù)數(shù)。對(duì)線性系統(tǒng)，Sxy(f)=H(f)Sx(f)。

2022/11/1621

相干函數(shù)（凝聚函數(shù)）相干函數(shù)是在頻域內(nèi)鑒別兩信號(hào)相關(guān)程度的指標(biāo)。例如對(duì)于測(cè)試系統(tǒng)，可以通過相干函數(shù)評(píng)價(jià)其輸入信號(hào)與輸出信號(hào)間的因果性，即輸出信號(hào)的功率譜中有多少是由所測(cè)試輸入信號(hào)所引起的響應(yīng)。

2022/11/1622船用柴油機(jī)潤(rùn)滑油泵壓油管振動(dòng)和壓力脈動(dòng)間的相干分析潤(rùn)滑油泵轉(zhuǎn)速為n=781rpm，油泵齒輪的齒數(shù)為z=14，測(cè)得油壓脈動(dòng)信號(hào)x(t)和壓油管振動(dòng)信號(hào)y(t)，壓油管壓力脈動(dòng)的基頻為f0=nz/60=182.24(Hz).

由圖c可以看到，當(dāng)f=f0=182.24Hz時(shí)，γ2xy(f)=0.3；當(dāng)f=2f0=361.12Hz時(shí)，γ2xy(f)=0.37；當(dāng)f=3f0=546.54Hz時(shí)，γ2xy

(f)=0.4；當(dāng)f=4f0=722.24Hz時(shí)；γ2xy(f)=0.75...，齒輪引起的各次諧頻對(duì)應(yīng)的相干函數(shù)值都比較大，而其它頻率對(duì)應(yīng)的相干函數(shù)值很小，由此可見，油管的振動(dòng)主要是由油壓脈動(dòng)引起的。從x(t)和y(t)的自譜圖也明顯可見油壓脈動(dòng)的影響(圖a,b所示）。2022/11/1623潤(rùn)滑油泵轉(zhuǎn)速n=781rpm，油泵齒輪齒數(shù)z=14。油壓脈動(dòng)的基頻為f0=nz/60=182.24Hz。

結(jié)論：油管振動(dòng)由油壓脈動(dòng)引起。船用柴油機(jī)潤(rùn)滑油泵壓油管振動(dòng)和壓力脈動(dòng)間的相干分析:

三、極大熵譜傳統(tǒng)的功率譜估計(jì)是從已知的等n+1個(gè)自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值作傅里葉變換求得，此法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn)，缺點(diǎn)是估計(jì)的方差較大，譜的分辨率與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的倒數(shù)有關(guān)，不適宜于短數(shù)據(jù)段。這些缺點(diǎn)都來自于窗函數(shù)之外的數(shù)據(jù)為零，在窗函數(shù)之外的自協(xié)方差函數(shù)也假定為零。2022/11/16251967年Burg提出了這個(gè)問題，他的解決思路是用外推法計(jì)算，因?yàn)槭俏粗?，我們并沒有任何先驗(yàn)信息，因此它們的取值是最隨機(jī)的，即對(duì)的熵或熵率，應(yīng)取最大值，若從數(shù)學(xué)上描述，其必要條件為：

2022/11/1626極大熵譜：ARMA模型的自譜函數(shù)2022/11/1627因?yàn)閖<0時(shí)，Gj=0，故有：2022/11/1628注意到：因此有：即ARMA(n,m)模型的自譜函數(shù)為：2022/11/1629AR譜：極大熵譜：若AR模型適用，則AR譜與極大熵譜等價(jià)。2022/11/1630倒譜分析也稱為二次頻譜分析，是檢測(cè)復(fù)雜譜圖中周期分量的有力工具

工程上實(shí)測(cè)的振動(dòng)、噪聲信號(hào)往往不是振源信號(hào)本身，而是振源/音源信號(hào)經(jīng)傳遞系統(tǒng)到測(cè)點(diǎn)輸出信號(hào)。

四、倒譜2022/11/1631上式表明，時(shí)域中信號(hào)的卷積關(guān)系在倒譜上表現(xiàn)為信號(hào)迭加。2022/11/1632鋼帶速度的檢測(cè)2022/11/1633地下管道泄漏的檢測(cè)漏損處K視為向兩側(cè)傳播聲響的聲源,漏油的音響傳至兩傳感器就有時(shí)差,在互相關(guān)圖上時(shí)差處有最大值.2022/11/1634發(fā)動(dòng)機(jī)與司機(jī)座的振動(dòng)相關(guān)性較差，而后橋與司機(jī)座振動(dòng)互相關(guān)較大，即：司機(jī)座的振動(dòng)主要由汽車后輪的振動(dòng)引起的。司機(jī)坐振動(dòng)源分析2022/11/1635主管路上測(cè)點(diǎn)A的壓力正常，分支管路的輸出點(diǎn)B的壓力異常，將A、B