固體物理習(xí)題詳解

固體物理習(xí)題詳解固體物理習(xí)題詳解固體物理習(xí)題詳解第一章晶體結(jié)構(gòu)1.試述晶態(tài)、非晶態(tài)、準(zhǔn)晶、多晶和單晶的特點(diǎn)性質(zhì)。解：晶態(tài)固體資料中的原子有規(guī)律的周期性排列，或稱為長程有序。非晶態(tài)固體資料中的原子不是長程有序地排列，但在幾個(gè)原子的范圍內(nèi)保持著有序性，或稱為短程有序。準(zhǔn)晶態(tài)是介于晶態(tài)和非晶態(tài)之間的固體資料，其特點(diǎn)是原子有序排列，但不擁有平移周期性。其他，晶體又分為單晶體和多晶體：整塊晶體內(nèi)原子排列的規(guī)律完好一致的晶體稱為單晶體；而多晶體則是由好多取向不同樣的單晶體顆粒無規(guī)則積聚而成的。2.晶格點(diǎn)陣與實(shí)質(zhì)晶體有何差異和聯(lián)系？解：晶體點(diǎn)陣是一種數(shù)學(xué)抽象，其中的格點(diǎn)代表基元中某個(gè)原子的地址或基元質(zhì)心的位置，也能夠是基元中任意一個(gè)等價(jià)的點(diǎn)。當(dāng)晶格點(diǎn)陣中的格點(diǎn)被詳盡的基元代替后才形成實(shí)質(zhì)的晶體結(jié)構(gòu)。晶格點(diǎn)陣與實(shí)質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系可總結(jié)為：晶格點(diǎn)陣＋基元＝實(shí)質(zhì)晶體結(jié)構(gòu)3.晶體結(jié)構(gòu)可分為Bravais格子和復(fù)式格子嗎？解：晶體結(jié)構(gòu)能夠分為Bravais格子和復(fù)式格子，當(dāng)基元只含一個(gè)原子時(shí)，每個(gè)原子的周圍情況完好同樣，格點(diǎn)就代表該原子，這類晶體結(jié)構(gòu)就稱為簡單格子或Bravais格子；當(dāng)基元包含2個(gè)或2個(gè)以上的原子時(shí)，各基元中相應(yīng)的原子組成與格點(diǎn)同樣的網(wǎng)格，這些格子互相錯(cuò)開必然距離套構(gòu)在一起，這類晶體結(jié)構(gòu)叫做復(fù)式格子。4.圖1.34所示的點(diǎn)陣是布喇菲點(diǎn)陣（格子）嗎？為什么？若是是，指明它屬于那類布喇菲格子？若是不是，請(qǐng)說明這類復(fù)式格子的布喇菲格子屬哪一種？（a）（b）（c）（d）1.34a）“面心＋體心”立方；（b）“邊心”立方；（c）“邊心＋體心”立方；（d）面心四方解：（a）“面心＋體心”立方不是布喇菲格子。從“面心＋體心”立方體的任一頂角上的格點(diǎn)看，與它最周邊的有12個(gè)格點(diǎn)；從面心任一點(diǎn)看來，與它最周邊的也是12個(gè)格點(diǎn)；但是從體心那點(diǎn)來看，與它最周邊的有6個(gè)格點(diǎn)，所以頂角、面心的格點(diǎn)與體心的格點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同樣，即不滿足全部格點(diǎn)完好等價(jià)的條件，所以不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。b）“邊心”立方不是布喇菲格子。從“邊心”立方體豎直邊心任一點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子有八個(gè)；從“邊心”立方體水平邊心任一點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子也有八個(gè)。誠然兩者最周邊的點(diǎn)數(shù)同樣，距離相等，但他們各自擁有不同樣的排列。豎直邊心點(diǎn)的最周邊的點(diǎn)子處于互相平行、橫放的兩個(gè)平面上，而水平邊心點(diǎn)的最周邊的點(diǎn)子處于互相平行、豎放的兩個(gè)平面上，顯然這兩種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同樣，即不滿足全部格點(diǎn)完好等價(jià)的條件，所以不是布喇菲格子，而是復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。（c）“邊心+體心”立方不是布喇菲格子。從“邊心+體心”立方任一極點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子有6個(gè)；從邊心任一點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子有2個(gè)；從體心點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子有12個(gè)。顯然這三種點(diǎn)所處的幾何環(huán)境不同樣，所以也不是布喇菲格子，而是屬于復(fù)式格子，此復(fù)式格子屬于簡立方布喇菲格子。（d）“面心四方”從“面心四方”任一極點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子有4個(gè)，次最周邊點(diǎn)子有8個(gè)；從“面1心四方”任一面心點(diǎn)來看，與它最周邊的點(diǎn)子有4個(gè)，次最周邊點(diǎn)子有8個(gè)，而且在空間的排列地址與極點(diǎn)的同樣，即全部格點(diǎn)完好等價(jià)，所以“面心四方”格子是布喇菲格子，它屬于體心四方布喇菲格子。5.以二維存心長方晶格為例，畫出固體物理學(xué)原胞、結(jié)晶學(xué)原胞，并說出它們各自的特點(diǎn)。解：以下給出了了二維存心長方晶格表示圖：由上圖，我們可給出其固體物理學(xué)原胞以以下列圖（a）所示，結(jié)晶學(xué)原胞以以下列圖（b）所示：（a）（b）從上圖（a）和（b）能夠看出，在固體物理學(xué)原胞中，只幸虧極點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，而在結(jié)晶學(xué)原胞中，既可在極點(diǎn)上存在結(jié)點(diǎn)，也可在面心地址上存在結(jié)點(diǎn)。6.倒格子的實(shí)質(zhì)意義是什么？一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢可否有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？解：倒格子的實(shí)質(zhì)意義是由倒格子組成的空間實(shí)際上是狀態(tài)空間（波矢K空間），在晶體的X射線衍射照片上的斑點(diǎn)實(shí)質(zhì)上就是倒格子所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)子。設(shè)一種晶體的正格基矢為a1、a2、a3，依照倒格子基矢的定義：式中是晶格原胞的體積，即a1[a2a3]，由此能夠唯一地確定相應(yīng)的倒格子空間。同樣，反過出處倒格矢也可唯一地確定正格矢。所以一種晶體的正格矢和相應(yīng)的倒格矢有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。7.為什么說晶面指數(shù)（h1h2h3）和Miller指數(shù)（hkl）都能反響一個(gè)平行晶面族的方向？解：晶面指數(shù)（h1h2h3）是以固體物理學(xué)原胞的基矢a1、a2、a3為坐標(biāo)軸來表示面指數(shù)的，而Miller指數(shù)（hkl）是以結(jié)晶學(xué)原胞的基矢a、b、c為坐標(biāo)軸來表示面指數(shù)的，但它們都是以平行晶面族在坐標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)來表示的，而這三個(gè)截距的倒數(shù)之比就等于晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角余弦之比，從而反響了一個(gè)平行晶面族的方向。8.試畫出體心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格點(diǎn)分布。解：體心立方（100），（110）和（111）面上的格點(diǎn)分布為：體心立方（100）面體心立方（110）面體心立方（111）面面心立方（100），（110）和（111）面上的格點(diǎn)分布為：面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面9.一個(gè)物體或系統(tǒng)的對(duì)稱性高低如何判斷？有何物理意義？一個(gè)正八面體（見圖1.35）有哪些對(duì)稱操作？解：對(duì)于一個(gè)物體或系統(tǒng)，我們第一必定對(duì)其經(jīng)過測角和投影今后，才可對(duì)它的對(duì)稱規(guī)律，進(jìn)行解析研究。若是一個(gè)物體或系統(tǒng)含有的對(duì)稱操作元素越多，則其對(duì)稱性越高；反之，含有的對(duì)稱操作元素越少，則其對(duì)稱性越低。晶體的好多宏觀物理性質(zhì)都與物體的對(duì)稱性相關(guān)，比方六角對(duì)稱的晶體有雙折射現(xiàn)象。而立方晶體，從光學(xué)性質(zhì)來講，是各向同性的。正八面體中有3個(gè)4度軸，其中任意2個(gè)位于同一個(gè)面內(nèi)，而另一個(gè)則垂直于這個(gè)面；6個(gè)2度軸；6個(gè)與2度軸垂直的對(duì)稱面；3個(gè)與4度軸垂直的對(duì)稱面及一個(gè)對(duì)稱中心。10.各種晶體的配位數(shù)（近來鄰原子數(shù)）是多少？解：7種典型的晶體結(jié)構(gòu)的配位數(shù)以下表1.1所示：晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)晶體結(jié)構(gòu)配位數(shù)2面心立方12氯化鈉型結(jié)構(gòu)6六角密積體心立方8氯化銫型結(jié)構(gòu)8簡立方6金剛石型結(jié)構(gòu)411.利用剛球密堆模型，求證球可能占有的最大體積與整體積之比為32（1）簡單立方6；（2）體心立方8；（3）面心立方623（4）六角密積6；（5）金剛石16。解：（1）在簡立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a2R，則簡立方的致密度（即球可能占有的最大體積與整體積之比）為：（2）在體心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a4R/3，則體心立方的致密度為：（3）在面心立方的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a22R，則面心立方的致密度為：（4）在六角密積的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a2R，c(26/3)a(46/3)R，則六角密積的致密度為：（5）在金剛石的結(jié)晶學(xué)原胞中，設(shè)原子半徑為R，則原胞的晶體學(xué)常數(shù)a(8/3)R，則金剛石的致密度為：12.試證明體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。解：我們知體心立方格子的基矢為：依照倒格子基矢的定義，我們很簡單可求出體心立方格子的倒格子基矢為：由此可知，體心立方格子的倒格子為一面心立方格子。同理可得出頭心立方格子的倒格子為一體心立方格子，所以體心立方格子和面心立方格子互為正倒格子。對(duì)于六角密積結(jié)構(gòu)，固體物理學(xué)原胞基矢為試求倒格子基矢。解：依照倒格子基矢的定義可知：3aciacj22222(i＝j(luò))3a2ca323aciacj22222＝i(j)3a2ca3233a2k222=k3a2cc214.一晶體原胞基矢大小a41010m，b61010m，c81010m，基矢間夾角90，90，120。試求：1）倒格子基矢的大小；2）正、倒格子原胞的體積；3）正格子(210)晶面族的面間距。解：(1)由題意可知，該晶體的原胞基矢為：由此可知：a2a3bc(3i1j)21b12=222(ia3]3=j)a1[a2a3abc2b22a3a1=2acj=22ja1[a2a3]3abcb32a1a2ab3k2b32=22k[a2a3]3abc=a1c2所以b1＝212(1)2＝41.81381010m1a33ab2＝2(2)2＝41.20921010m1b33bb3＝212＝20.78541010m1cc正格子原胞的體積為：a1[a2a3]＝(ai)[b(1i3j)(ck)]＝3abc1.66281028m3222倒格子原胞的體積為：b1[b2b3]＝2(i1j)[2(2j)2(k)]＝1631.49181030m3a3b3c3abc4(3)依照倒格子矢量與正格子晶面族的關(guān)系可知，正格子(210)晶面族的面間距為：2=2=2dh2b11b244Kh0b34i)ja(3b3a=211.44121010m41)2(11)2(a3a3b15.如圖1.36所示，試求：1）晶列ED，F(xiàn)D和OF的晶列指數(shù)；2）晶面AGK,FGIH和MNLK的密勒指數(shù)；3）畫出晶面（120），（131）。1.36解：（1）依照晶列指數(shù)的定義易求得晶列ED的晶列指數(shù)為[111]，晶列FD的晶列指數(shù)[110]，晶列OF的晶列指數(shù)為[011]。2）依照晶面密勒指數(shù)的定義晶面AGK在x，y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1，-1和1，則其倒數(shù)之比為:1:11:1:1，故該晶面的密勒指數(shù)為（111）。111晶面FGIH在x，y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1/2，∞和1，則其倒數(shù)之比為11:1:12:0:1，故該晶面的密勒指數(shù)為（201）。/21晶面MNLK在x，y和z三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為1/2，-1和∞，則其倒數(shù)之比為11:1:12:1:0，故該晶面的密勒指數(shù)為（210）。/21AMLk和晶面ABC所示：（3）晶面（120），（131）分別以以下列圖中晶面16.矢量a，b，c組成簡單正交系。證明晶面族(hkl)的面間距為解：由題意可知該簡單正交系的物理學(xué)原胞的基矢為：由此可求得其倒格子基矢為：依照倒格子矢量的性質(zhì)有：17.設(shè)有一簡單格子，它的基矢分別為a13i，a23j，a31.5(ijk)。試求：1）此晶體屬于什么晶系，屬于哪一各種類的布喇菲格子？2）該晶體的倒格子基矢；3）密勒指數(shù)為（121）晶面族的面間距；4）原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)是多少？5）[111]與[111]晶列之間的夾角余弦為多少？解：（1）由題意易知該晶體屬于立方晶系，并屬于體心立方布喇菲格子。（2）由倒格子基矢的定義可知：5（3）依照倒格矢的性質(zhì)，可求得密勒指數(shù)為（121）晶面族的面間距為（4）由于面密度d，其中d是面間距，是體密度。對(duì)布喇菲格子，等于常數(shù)。所以，我們可設(shè)原子最密集的晶面族的密勒指數(shù)為(h1h2h3)，則該晶面族的面間距dh1h2h3應(yīng)為最大值，所以有由此可知，對(duì)面指數(shù)為（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面間距3/2，所以這些面即為原子排列最親近的晶面族。（5）[111]與[111]晶列之間的夾角余弦為18.已知半導(dǎo)體GaAs擁有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Ga和As兩原子的近來距離d＝2.45×10-10m。試求：(1)晶格常數(shù)；(2)固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距；(4)密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角。解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心立方晶格，其原胞包含一個(gè)Ga原子和一個(gè)As原子，其中Ga原子處于面心立方地址上，而As原子則處于立方單元體對(duì)角線上距離Ga原子1/4體對(duì)角線長的地址上，如左圖所示：由此可知：故a4d42.451010m=5.591010m33(2)由于GaAs的空間點(diǎn)陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為：其倒格子基矢為：密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為：依照倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢K110和K111之間的夾角，設(shè)為，則有：arccos(0.3015)107.5519.如圖1.37所示，設(shè)二維正三角形晶格相鄰原子間距為a，試求：正格子基矢和倒格子基矢；畫出第一布里淵區(qū)，并求出第一布里淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑。解：(1)取該二維正三角形晶格中任意相鄰的兩邊為基矢，并使a1的方向和i的方向相同，于是有：a1aia2a3a那么有：ij22(2)依照第一布里淵區(qū)的定義，可作圖以下所示：圖1.37上圖中的陰影部分即為第一布里淵區(qū)，且由圖中能夠求出第一6布里淵區(qū)的內(nèi)接圓半徑為：20.試求面心立方結(jié)構(gòu)、體心立方結(jié)構(gòu)和金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子；并談?wù)撈溲苌湎嘞麠l件。解：（1）在面心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有4個(gè)原子，其坐標(biāo)為000，110，101，011222222由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為2f21cosn(hk)cosn(hl)cosn(kl)2∴Fhkl由于h、k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有由此可知，當(dāng)nh、nk和nl奇偶混雜時(shí)，即nh、nk和nl不同樣為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，此時(shí)20，即出現(xiàn)衍射相消。Fhkl（2）在體心立方結(jié)構(gòu)的原胞中包含有2個(gè)原子，其坐標(biāo)為000111和222由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為∴Fhkl2f21cosn(hkl)2sinn(hkl)2由于h、k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有由此可知，當(dāng)n(hkl)為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)有F20，即出現(xiàn)衍射相消。hkl（3）在金剛石結(jié)構(gòu)的原胞中含有8個(gè)原子，其坐標(biāo)為000，111，110，101，011，133，331，313444222222444444444由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為222f21cosn(hkl)sinn(hkl)1cosn(hk)∴Fhkl22由于h、k、l和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有由此可知，當(dāng)nh、nk和nl奇偶混雜時(shí)，即nh、nk和nl不同樣為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)也許當(dāng)nh、nk和nl全為偶數(shù)，且n(hkl)4(2m20，1)（其中m為整數(shù)）時(shí)，有有Fhkl即出現(xiàn)衍射相消。21.用鈀靶KX射線投射到NaCl晶體上，測得其一級(jí)反射的掠射角為5.9°，已知NaCl晶胞中Na＋與Cl－的距離為2.82×10-10m，晶體密度為2.16g/cm3。求：射線的波長；阿伏加德羅常數(shù)。解：（1）由題意可知NaCl晶胞的晶胞參數(shù)a22.8210105.641010m，又應(yīng)為NaCl晶胞為面心立方結(jié)構(gòu)，依照面心立方結(jié)構(gòu)的消光規(guī)律可知，其一級(jí)反射所對(duì)應(yīng)的晶7面族的面指數(shù)為（111），而又易求得此晶面族的面間距為d111a5.6410103.261010m1212123又依照布拉格定律可知：2d111sin23.261010sin5.96.702109m（2）由題意有以下式子成立∴NA4MNaCl458.56.03823a3(5.641010)32.16106108第二章晶體的結(jié)合1.述離子、共價(jià)、金屬、范德瓦斯和的基本特點(diǎn)。解：（1）離子：無方向性，能相當(dāng)；（2）共價(jià)：和性和方向性，其能也非常；（3）金屬：有必然的方向性和和性，其價(jià)子不定域于2個(gè)原子之，而是在整個(gè)晶體中巡游，于非定域狀，全部原子所“共有”；（4）范德瓦斯：依靠瞬偶極距或固有偶極距而形成，其合力一般與r7成反比函數(shù)關(guān)系，合能弱；（5）：依靠原子與2個(gè)性大而原子半徑小的原子（如O，F(xiàn)，N等）相合形成的。也既有方向性，也有和性，而且是一種弱的，其合能50kJ/mol。2.有人“晶體的內(nèi)能就是晶體的合能”，？解：句不，晶體的合能是指當(dāng)晶體于定狀的能量（能和能）與成晶體的N個(gè)原子在自由的能量之差，即EbENE0。（其中Eb合能，EN成晶體的N個(gè)原子在自由的能量，E0晶體的能量）。而晶體的內(nèi)能是指晶體于某一狀（不用然是定平衡狀）的，其全部成粒子的能和能的和。3.當(dāng)2個(gè)原子由相距很而逐湊近，二原子的力與能是如何逐化的？解：當(dāng)2個(gè)原子由相距很而逐湊近，2個(gè)原子引力和斥力都開始增大，但第一引力大于斥力，的作用引力，f(r)0，而互相作用能u(r)逐減??；當(dāng)2個(gè)原子慢慢湊近到平衡距離r0，此，引力等于斥力，的作用零，f(r)0，而互相作用能u(r)達(dá)到最?。划?dāng)2個(gè)原子距離減小，由于斥力急增大，此，斥力開始大于引力，的作用斥力，f(r)0，而互相作用能u(r)也開始急增大。4.什么金屬比離子晶體、共價(jià)晶體易于行機(jī)械加工而且、性優(yōu)異？解：由于金屬晶體中的價(jià)子不像離子晶體、共價(jià)晶體那定域于2個(gè)原子之，而是在整個(gè)晶體中巡游，于非定域狀，全部原子所“共有”，所以金屬晶體的延展性、性和性都好。5.有一晶體，在平衡的體V0，原子之的互相作用能U0，若是原子互相作用能由下式出：u(r)rmrn，明性模量可由/(9)出。U0mnV0解：依照性模量的定可知KVdPVd2U???????（1）dVV0dV2V09上式中利用了PdU的關(guān)系式。dV系包含N個(gè)原子，系的內(nèi)能能夠?qū)懗蒛Nu(r)N(rmrn)?????（2）22r又因可把N個(gè)原子成的晶體的體表示成近來原子距的函數(shù)，即VNvNr3??????（3）上式中與晶體構(gòu)相關(guān)的因子（如面心立方構(gòu)，2/2）。又因(dU)1(dU)RNmn1??????（4）dV3Nr2dr02rm1rn13Nr2d2Udrd1Nmn(2)V0dVdr3Nr2(m1rn1dV2rrr01Nm2n23m3n?????（5）9V022r0mr0nr0mr0ndUmn考平衡條件(dV)r00，得r0mr0n，那么（5）式可化1NmnnmmnNr0mr0nmn(U0)??（6）9V022r0nr0m9V0229V02將（6）式代入（1）式得：6.上表示的互相作用能公式中，若m2，n10，且兩原子組成定分子距31010m，離解能4eV，算和之。解：在平衡地址有u(r)r02r010EK????（1）du(r)2100????（2）drr03r0110將離解能Ek4eV和r031010m3A代入（1）和（2）式可得：4.51019eV·m2，5.91096eV·m10。ABr02.81010m，合能7.某晶體每原子的能具r9r的形式，平衡1019810J，算A和B以及晶體的有效性模量。解：由意有以下方程成立：把r0，U的詳盡數(shù)代入上述方程，即得：由此可得：A1.057810105Jm9，B2.521028Jm晶體的有效性模量：KV0(d2u2)V0又∵VNvNr3dV（上式中N表示晶體中所含的原子個(gè)數(shù)，表示與晶體構(gòu)相關(guān)的因子）1d2u)r190A2B)＝111故K(＝(r033.2797109Nr0dr209Nr0r0119N8.KCl晶體的體性模量1.74×1010Pa，若要使晶體中相離子距小0.5%，需要施加多大的力。解：KCl晶體內(nèi)包含N個(gè)原胞，合考到吸引能和重疊排斥能，系的內(nèi)能能夠?qū)懗蒛AB??????（1）Nrnr其他，由于KCl每個(gè)原胞體2r3，晶體的體V2Nr3??????（2）其中（1）和（2）式中的r都指KCl晶體中相K＋和Cl－之的距離。依照體性模量的定有：KVdPVd2U???????（3）dVV0dV2V0平衡晶體內(nèi)相離子的距離r0，平衡體V02Nr03，那么平衡的體性模量Kd2U。又依照KCl晶體內(nèi)能表達(dá)式（dU0，可V21）式及平衡條件()V0dVV0dV得AnB0或B1n1。r02r0n1Anr0將（1）和（2）式代入（3）式，并利用平衡條件可得上式中的前一由于平衡條件而等于0，后一求微商后利用平衡條件化得由此知A

18Kr04n111當(dāng)使晶體中相離子距小0.5%，即便相離子距r1r0(10.5%)0.95r0，此需施加的外力中表2.2及表2.5可知，n9.0，r03.141010m，代入上式可得F2.17109N9.由N個(gè)原子（離子）所成的晶體的體可寫成VNvNr3。式中v每個(gè)原子（離子）平均所占有的體；r粒子的最短距離；與構(gòu)相關(guān)的常數(shù)。求以下各種構(gòu)的：求：立方點(diǎn)；面心立方點(diǎn)；體心立方點(diǎn)；金石點(diǎn)；NaCl點(diǎn)；解：（1）在立方點(diǎn)中，每個(gè)原子平均所占有的體va3r3，故1；（2）在面心立方點(diǎn)中，每個(gè)原子平均所占有的體v131323，故24a(2r)r；422（3）在體心立方點(diǎn)，每個(gè)原子平均所占有的體v13123433，故43a(r)r；22399（4）在金石點(diǎn)中，每個(gè)原子平均所占有的體v1314r)3833，故83a8(9r；839（5）在NaCl點(diǎn)中，每個(gè)原子平均所占有的體v1a31(2r)3r3；故1。8810.于由N個(gè)惰性氣體原子成的一原子，平均每2個(gè)原子：u(x)u0()122()6。xx求：（1）原子的平均距離x0；（2）每個(gè)原子的平均晶格能；（3）系數(shù)k。解：（1）在平衡，有下式成立du(x)u012122660?????（1）dxx013x07xx0由上式可得x0（2）N個(gè)惰性氣體原子成的一原子的的互相作用能U(x)，那么有U(x)Nu0()122()6??????（2）2jx1jx1j12X2個(gè)原子的最短距離，有x1iajX，那么（2）式可化U(X)Nu0A()12B()6??????（3）2XX其中（3）式中A1(111)2.00048，2212312ja12jB21211)4.07809。2(136ja6j26那么每個(gè)原子的平均晶格能（3）依照系數(shù)的定可知1dV111k2d??（4）VdPVdPdUNxdU2dX()dVV(dV2)NdX將（3）式代入（4）式得：011.若NaCl晶體的德隆常數(shù)Μ=1.75，晶格常數(shù)a=5.64A，指數(shù)n=9。晶體拉伸而達(dá)到定極限，求：離子距增加多少？的理是多大？解：（1）NaCl晶體的含有N個(gè)離子，其互相作用能U(r)NMq2B??????（1）240rrn上式中的r指NaCl晶體中相兩離子的距離。又NaCl晶體于平衡狀，相兩離子的距離r0，有r01a。2由平衡條件可知dU(r)NMq2nB0?????（2）dr240r2rn1rr0rr0Mq2n1由（2）式可得：Br0。40n當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到定極限，此相離子的引力達(dá)到最大，即有d2U(r)N2Mq2n(n1)B0??（3）dr2240r3rn2rr1rr1將BMq2r0n1代入（3）式可得40n0所以離子距增加了rr1r03.452.820.63A13（2）由（1）可求出晶體拉伸定的理11.75(1.91019)21.75(1.91019)2(2.821010)91243.148.8541012(3.451010)243.148.8541012(3.451010)911.91109Pa12.已知有N個(gè)離子成的NaCl晶體，其合能：r

U(r)N(e2rn)240r。若排斥rn由ce來代替，且當(dāng)晶體于平衡，兩者互相作用能的獻(xiàn)同樣。求出n和的關(guān)系。解：由平衡條件可知dU(r)N(e2drr0240r0240n1由（1）式可求得r0n1e2???????（

nn1)0???（1）r02）r0又由意有r0nce???????（3）將（2）式代入（3）式可得：13.假設(shè)在某個(gè)離子晶體中，某離子的空能被一種介常數(shù)的平均流體滲而不至于影響離子的排斥作用，但互相作用減少原來的1/。算種情況下NaCl的點(diǎn)常數(shù)和合能。解：由意可知，當(dāng)NaCl晶體被介常數(shù)的平均流體滲，其互相作用能：NMq2BU(r)2(40rrn)???????（1）由平衡條件可知有dU(r)N(Mq2nB)0???（2）drr240r02r0n10由（2）式可求得NaCl晶體于平衡狀，相兩個(gè)離子的距離1140nBn1a2r040nBn1r02那么NaCl的點(diǎn)常數(shù)：2Mq2MqN(Mq2n1(Mq2n12合能EbU(r0))n1(nB)n1)n1(nB)n12404014A14.察看一條直，其上有q交的2N個(gè)離子，近來之的排斥能Rn。（1）明在平衡，（2）令晶體被，使R0R0(1)。明在晶體被程中，外力做功的主1C每離子平均2

2。其中，(n1)q2ln2C0R04解：（1）型離子晶體的合能U(R)Nq211AMq2A')?????（1）(aj)janjN(40RjRn40RRn其中（1）式中的M(1)，即型離子晶體的德隆常數(shù)，等于2ln2；jajAA'janj當(dāng)晶體于平衡，有平衡條件：dU(R)Mq2dRRN(40R020由（2）式可得2A'MqR0n140n將（3）式代入（1），并將M2ln2也代入（1）可得：

nA'R0n1)0????（2）?????????（3）（2）使R0R0(1)，當(dāng)很小，在RR0周邊把U(R)張開泰勒數(shù)U[R0(1)]U(R0)dU(R)R01d2U(R)(R0)2（4）dRRR02dR2RR0dU(R)上式中依照平衡條件有0，還有dRRR0離子晶體被l2NR0，外力所作的功的主（略去二以上微量）得12Nq2ln2(n1)21C'2上式中，C'2Nq2ln2(n1)240R0240R0量l2NR0是屬于2N個(gè)離子所共有的，即2N個(gè)度R0的段的量l。所以，外力一個(gè)離子所做的功W平均15WFl1C'21C2上式中，CC'q2ln2(n1)。2N22N22N40R016第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1.什么是近似？解：當(dāng)原子在平衡地址周邊作渺小振，原子的互相作用能夠與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡地址周邊做振。個(gè)近似即稱近似。2.定性出一原子中振格波的相速度和群速度波矢的關(guān)系曲，并要明其意。解：由一原子的色散關(guān)系的相速度

2qasinm2，可求得一原子中振格波qasinvpa2qmqa2??????（1）而其群速度vgdacosqadqm2??????（2）由（1）式和（2）式可做出一原子中振格波的相速度和群速度波矢的關(guān)系曲以下3.1所示：3.1sinqavpa2AaqmqaBa。曲1代表2，曲上中m，2代表vgdamcosqadq2。由（1）式及合上3.1中能夠看出，由于原子的不性，相速度不再是常數(shù)。但當(dāng)q0，vpam一常數(shù)。是因當(dāng)波很，一個(gè)波范含有若干個(gè)原子，相原子的位相差很小，原子的不效很小，格波湊近與媒中的性波。由（2）式及合上3.1中能夠看出，格波的群速度也不等于相速度。但當(dāng)q0，vgvpa當(dāng)q于第一布區(qū)界上，q0，m，體出性波的特點(diǎn)，即a，vg17vp2a而m，表示波矢位于第一布里淵區(qū)界上的格波不能夠在晶體中播，上它是一種波。3.周期性界條件的物理含是什么？引入個(gè)條件后致什么果？若是晶體是無量大，的取將會(huì)怎？解：由于晶體的大小是有限的，存在界，而然界上原子所的境與體內(nèi)原子的不同樣，從而造成界原子的振狀和內(nèi)部原子有所差?？嫉浇鐑?nèi)部原子振狀的影響，波恩和卡引入了周期性界條件。其詳盡含是想在一Na的有限晶體界之外，依舊有無多個(gè)同樣的晶體，而且各晶體內(nèi)相的原子的運(yùn)情況一，即第j個(gè)原子和第tNj個(gè)原子的運(yùn)情況一，其中t＝1，2，3?。引入個(gè)條件后，致描述晶格振狀的波矢q只能取一些分立的不同樣。若是晶體是無量大，波矢q的取將于。4.什么叫聲子？于必定的晶體，它可否有必然種和必然數(shù)目的聲子？解：聲子就是晶格振中的振子的能量量子，它是一種玻色子，遵從玻色－因斯坦，即擁有能量wj(q)的聲子平均數(shù)于必定的晶體，它所的聲子種和數(shù)目不是固定不的，而是在必然的條件下生化。5.比格波的量子聲子與黑體射的量子光子；“聲子氣體”與真諦想氣體有何同樣之和不同樣之？解：格波的量子聲子與黑體射的量子光子都是能量量子，都擁有必然的能量和量，但是聲子在與其他粒子互相作用，能量守恒，但量卻不用然守恒；而光子與其他粒子互相作用，能量和量卻都是守恒的。“聲子氣體”與真諦想氣體的同樣之是粒子之都無互相作用，而不同樣之是“聲子氣體”的粒子數(shù)目不守恒，但真諦想氣體的粒子數(shù)目倒是守恒的。6.晶格比容的因斯坦模型和德拜模型采用了什么化假？各獲取了什么成就？各有什么限制性？什么德拜模型在極低溫度下能出精確果？解：我知道晶體比容的一般公式由上式能夠看出，在用量子理求晶體比容，的關(guān)在于如何求角率的分布函數(shù)()。但是于詳盡的晶體來，()的算特別復(fù)。此，在因斯坦模型中，假晶體中全部的原子都以同樣的率振，而在德拜模型中，以介的性波來代表格波以求出()的表達(dá)式。因斯坦模型獲取的最大成就在于出了當(dāng)溫度近于零，比容cV亦近于零的果，是典理所不能夠獲取的果。其限制性在于模型出的是比容cV以指數(shù)形式18近于零，快于出的以T3近于零的果。德拜模型獲取的最大成就在于它出了在極低溫度下，比和溫度T3成比率，與果相吻合。其限制性在于模型出的德拜溫度D恒定，適用于全部溫度區(qū)，但上在不同樣溫度下，德拜溫度D是不同的。在極低溫度下，其實(shí)不是全部的格波都能被激，而只有聲學(xué)波被激，比容生影響。而于聲學(xué)波，晶格能夠介，聲學(xué)波擁有性波的性，所以德拜的模型的假基本吻合事，所以能得出精確果。7.聲子碰撞的準(zhǔn)量守恒什么不同樣于一般粒子碰撞的量守恒？U程物理像是什么？它背了寬泛的量守恒定律？解：聲子碰撞，其前后的量不用然守恒，而是足以下的關(guān)系式其中上式中的Gn表示一倒格子矢量。于Gn0的情況，即有q1q2q3，在碰撞程中聲子的量沒有生化，種情況稱正程，或N程，N程可是改了量的分布，而不影響流的方向，它阻是沒有獻(xiàn)的。于Gn0的情況，稱翻程或U程，其物理像可由下3.2來描述：3.2U程物理表示在上3.2中，q1q2是向“右”的，碰撞后q3是向“左”的，從而破壞了流的方向，所以U程阻是有獻(xiàn)的。U程沒有背寬泛的量守恒定律，因聲子不是物量子，所以其足的是準(zhǔn)量守恒關(guān)系。8.要明近似下晶體不會(huì)生膨的物理原因；能的非起了哪些作用？解：由于在近似下，原子互相作用能在平衡地址周邊是稱的，隨著溫度高升，原子的能量增高，但原子的距離的平均不會(huì)增大，所以，近似不能夠解膨象。能的非在晶體的和膨中起了至關(guān)重要的作用。9.已知由N個(gè)同樣原子成的一原子晶格格波的密度可表示2N(m22)1()2。式中m是格波的最高率。求它的振模數(shù)恰好等于N。解：由意可知晶格的振模數(shù)10.若格波的色散關(guān)系cq2和0cq2，出它的狀密度表達(dá)式。解：依照狀密度的定式可知()nlim0????????（1）19其中n表示在隔內(nèi)晶格振模式的數(shù)目。若是在q空中，依照(q)const作出等率面，那么在等率面和之的振模式的數(shù)目就是n。由于晶格振模在q空分布是平均的，密度V/(2)3（V晶體體），所以有VdSdq(2)3????????（2）將（2）式代入（1）式可獲取狀密度的一般表達(dá)式()VdS(2)3q(q)????????（3）（3）式中q(q)表示沿法方向率的改率。cq2，將之代入（3）式可得0cq2，將之代入（3）式可得11.求量m，原子距a/2，力常數(shù)交1，2的一原子振的色散關(guān)系。101，求在q0和q(q)，并大概畫優(yōu)異散關(guān)系。當(dāng)2a的解：下3.3出了一原子的表示2β1m2β12x2n-2x2n+1x2nx2n+1x2n+2x2n+3a3.32在近來近似和近似下，第2n和第（2n+1）個(gè)原子的運(yùn)方程d2x2n2(x2n1x2n)1(x2nx2n1)mdt2d2x2n1(x2n2x2n1)2(x2n1x2n)m21dt?????（1）2101，上述方程（1）可md2x2n101(x2n1x2n)1(x2nx2n1)dt2md2x2n1(x2n2x2n1)101(x2n1x2n)dt21?????（2）20求格波解，令i[(2n)qat]x2nAe2qai[(2n1)t]x2n1Be2?????（3）將（3）式代入（2）式，可出性方程(1112)A1(10eiqa/2eiqa/2)B0mm1112)B1(eiqa/210eiqa/2)A(0mm?????（4）12令m0，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得(11由（5）式可解出

22)24iqa/2eiqa/2iqa/210eiqa/2)000(10e)(e??（5）202(1120cosqa101)當(dāng)q0，cosqa1，220，0qa，cosqa1，200，20當(dāng)其色散關(guān)系曲以下3.4所示：3.4原子的力常數(shù)不相等的雙原子的晶格振色散關(guān)系曲12.如有一布喇菲格子，第2n個(gè)原子與第2n1個(gè)原子之的力常數(shù)；而第2n個(gè)原子與第2n1個(gè)原子的力常數(shù)'。1）寫出個(gè)格子振的力學(xué)方程；2）明種情況也有聲學(xué)波和光學(xué)波；（3）求q0，聲學(xué)波和光學(xué)波的率；（4）q2a（a晶格常數(shù)），聲學(xué)波和光學(xué)波的率。求解：（1）此與（11）基實(shí)情似，在近來近似和近似下，同能夠?qū)懗龅?n和第2n1個(gè)原子的力學(xué)方程21d2x2n(x2n1x2n)'(x2nx2n1)m2dtmd2x2n1'(x2n2x2n1)(x2n1x2n)dt2?????（1）（2）求出方程（1）的格波解，可令x2nAei[(2n)qat]x2n1Bei[(2n1)qat]?????（2）于是將（2）式代入（1）式，可出性方程('2)A(eiqa'eiqa)B0mmm('eiqaeiqa)A('2)B0mmm?????（3）'22'2m012從A、B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可令，m，m得(由（4）式可解出

22)2(44222cos2qa)001212?????（4）2244222cos2qa01212?????（5）由此可知，的取也有和之分，即存在聲學(xué)波和光學(xué)波（3）由（5）式可知當(dāng)q0，cos2qa1，有222)，光學(xué)波率222聲學(xué)波率0(120(12)（4）同由（5）式可知q2a，cos2qa1，有當(dāng)222222聲學(xué)波率012，光學(xué)波率01213.在一雙原子中，如M/m1，2(1112sinqa2mcos2qa)2（1）求：M；mM。（2）畫出與q的關(guān)系（M/m10）。22解：（1）在一雙原子中，其第2n個(gè)原子與第2n1個(gè)原子的運(yùn)方程d2x2n(x2n1x2n12x2n)mdt2d2x2n1(x2nx2n22x2n1)M2dt???????（1）x2nAei[(2n)qat]解方程（1）可令將（2）式代入（1）式可得出

x2n1Bei[(2n1)qat]??????（2）(22)A(2cosqa)B0mm(2cosqa)A(22)B0MM???（3）從A、B有非零解，方程（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出，可得2()()24sin2qa可解出得MmMmMm?????（4）當(dāng)（4）式中取“－”號(hào)，有(Mm)4Mm121(12sin2qa)21mM(Mm)?????（5）∵M(jìn)/m1，∴（5）式中有(Mm)M4Mmsin2qa4Mmsin2qa4msin2qa1MmMmm，(Mm)2M2M那么（5）式可化12sinqaM∴當(dāng)（4）式中取“＋”號(hào)，有122

(Mm)(Mm)4Mm22MmMm1(Mm)2cosqa?????（6）∵M(jìn)/m1，∴（6）式中有(Mm)M(Mm)MMmMmm，MmMmm那么（6）式可化23122(1mcos2qa)2∴mM211121222sin2qa（2）當(dāng)M/m10，（4）式可化10m100m25m2此，與q的關(guān)系，即色散關(guān)系以下3.5所示：3.5一雙原子振的色散關(guān)系曲14.在一復(fù)式格子中，若是m51.671024g，M/m4，1.5N/m。求：光學(xué)波率的最大、最小及聲學(xué)波率的最大；相的聲子能量是多少eV?3種聲子在300K各有多少個(gè)？若是用磁波激光振，要激最大光學(xué)率的聲子所用的磁波在什么波段？解：(1)由于光學(xué)波率的最大和最小的算公式分：mMm51.6710246.681024g上式中mMm/M11/41化量所以有：而聲學(xué)波率的最大的算公式：所以有：相的聲子能量：(3)由于聲子屬于玻色子，遵從玻色—因斯坦，有如用磁波來激光振，要激最大光學(xué)率的聲子所用的磁波足以下關(guān)系式：q15.在一雙原子晶格振的情況下，明在布里淵區(qū)界2a，聲學(xué)支格波中全部原子m靜止，而光學(xué)支格波中全部重原子M靜止。畫出原子振的像。解：第2n個(gè)原子原子，其量m，第2n1個(gè)原子重原子，其量M，它的運(yùn)方程d2x2n(x2n1x2n12x2n)mdt2Md2x2n1(x2nx2n22x2n1)dt2???????（1）解方程（1）可令x2nAei[(2n)qat]x2n1Bei[(2n1)qat]???????（2）將（2）式代入（1）式可得出24(22)A(2cosqa)B0mm(2cosqa)A(22)B0MM???????（3）A、B有非零解，方程（3）的系數(shù)行列式等于零的條件出，可得可解出得2()()24sin2qaMmMmMm?????（4）q222a，可求得聲學(xué)支格波率M，光學(xué)支格波率m令由方程（3）可知，在聲學(xué)支中，原子m與重原子M的振幅之比由此可知，聲學(xué)支格波中全部原子m靜止。而在光學(xué)支中，重原子M與原子m的振幅之比由此可知，光學(xué)支格波中全部重原子M靜止。此原子振的像以下3.6所示：3.6（a）聲學(xué)支格波原子振；（b）光學(xué)支格波原子振16.從一雙原子晶格色散關(guān)系出，當(dāng)m逐湊近M和mM，在第一布里淵區(qū)中，晶格振的色散關(guān)系如何化？與一原子的色散關(guān)系比，并果行。解：一雙原子晶格的色散關(guān)系由此可做出以下3.7的一雙原子振的色散關(guān)系曲3.7一雙原子振的色散關(guān)系曲由上能夠看出，當(dāng)m逐湊近M，在第一布里淵區(qū)界，即q2a，聲學(xué)波的率開始增大，而光學(xué)波的率開始減小，而當(dāng)mM，聲學(xué)波的率和光學(xué)2q波的率在2a相等，都等于M而在一原子中，其色散關(guān)系

。24sin2qa2，由此可，在一原子O中只存在一支格波，其色散關(guān)系曲與一雙原子中的聲學(xué)波的色散關(guān)系曲基實(shí)情似，q2在其布里淵區(qū)界，即a，其格波率M，是雙原子的格波在布里淵25界的率的2倍。()9N2317.晶體由N個(gè)原子成，用德拜模型明格波的狀密度m。式中m格波的截止率。解：在德拜模型中，假晶體的振格波是介的性波，即有色散關(guān)系vpq????????（1）那么格波的狀密度()V14q22(2)3dVdq22v3p???（2）m又依照()d3N????????（3）0將（2）式代入（3）式得mV2vp3d3N022????????（4）由（4）式可得v3pVm3????????（5）182N()9N2把（5）式代入（2）式即可得3m118.晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振能是2，用德拜模型求一、二和三晶體的零點(diǎn)振能。原子數(shù)N，一晶格度L，二晶格的面S，三晶格的體V。解：(1)一晶體的零點(diǎn)振能：()d表示角率在d之的格波數(shù)，而且m()dN0(1)???????????????上式中：m是最大的角率；N晶體中的原子數(shù)。上述的零點(diǎn)能能夠?qū)懗桑簃1()d02(2)???????????????26考到一晶體中，其狀密度：dZdZdq()dqdd???????????????(3)由于德拜模型考的是聲學(xué)波的影響，而聲學(xué)波能夠看作媒性波。于性波，一個(gè)波矢一個(gè)狀，有：dZL故dq???????????????(4)dvPvPq，dq于性波，?????(5)(L)將(4)和(5)式代入(2)式，得：vP???(6)mNvP將(6)L式代入(1)式，可得：將(6)式代入(2)式，可得一晶體的零點(diǎn)振能：于二晶體來，算其零點(diǎn)振能基本方法與一晶體的方法相似，可是(1)式要改：m()d2N0???????????????(7)S()而于二晶體，其狀密度函數(shù)：vP2?????(8)1224NvPm將(8)式代入(7)式可得：

S將(8)式代入(2)式可得二晶體的零點(diǎn)振能：于三晶體來，算其零點(diǎn)振能基本方法與一晶體的方法也基實(shí)情似，可是于(1)式要改：m()d3N0???????????????(9)()3V2而于三晶體，其狀密度函數(shù)：22vP3???(10)16N2vP33mV將(10)式代入(9)式可得：將(10)式代入(2)式可得三晶體的零點(diǎn)振能：19.用德拜模型，算一、二情況下晶格振的狀密度、德拜溫度、晶格比容。27解：在德拜模型中，假晶體的振格波是介的性波，即有色散關(guān)系vpq????????（1）L1L()d22vp（1）在一情況下，晶格振的狀密度dq（2）上式中，L表示一晶格的度。m又由關(guān)系式()dN????????（3）0mLNNvpdm將式（3）代入式（2）可得0vp，由此求得LDmNvpkBkBL于是德拜溫度晶體的比容2m/(kBT)2exkBTLxdxxvpx1)20(e（其中kBT）（2）在二情況下，晶體振的格波有2支，即一支波和一支橫波，在德拜模型中，假波和橫波的波速相等，都等于vp，即波和橫波都有以下的色散關(guān)系S1S1()d2q(2)22vp2先考率波，其狀密度dq2()S2vp2似地能夠?qū)懗鰴M波的狀密度()1()S2()加起來的狀密度vp2???????（4）m又由關(guān)系式()d2N????????（5）021m2Sd2N4NvP將（4）式代入（5）式得0v2pmS，由此可得28mD于是得德拜溫度為kBcVmkB(0而晶體的比熱容為kB3T2S

2124NvPkBS2e/(kBT))(e/(kBT)1)2kBTm/(kBT)3exx

Sv2p

d2v2p

(ex1)2dx0

x（其中kBT）20.已知金剛石的彈性模量為1×1012N/m2，密度為3.5g/cm3。試計(jì)算金剛石的德拜溫度D。解：假設(shè)金剛石的原子振動(dòng)的格波為一連續(xù)介質(zhì)的彈性波，其波速為vpK110121.6943.510310m/snN03.51036.0210231.7561029而又金剛石的原子密度為MC12103個(gè)/m3由此可知金剛石的德拜溫度為2817K21.擁有簡單立方布喇菲格子的晶體，原子間距為2×10-10m，由于非線性互相作用，一個(gè)沿[100]方向流傳，波矢大小為q1.31010m-1的聲子同另一個(gè)波矢大小相等當(dāng)沿[110]方向流傳的聲子互相作用，合成為第3個(gè)聲子，試求合成后的聲子波矢。解：易知簡單立方格子的倒格子仍是一簡單立方格子，其倒格基矢b1、b2和b3互相223.143.141010垂直，長度為a21010m-1，第一布里淵區(qū)就是原點(diǎn)和六個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直均分面圍成的立方體。又由于由此可知q1q2落在第一布里淵區(qū)之外，即可知題所述兩聲子的碰撞過程是一個(gè)翻轉(zhuǎn)過程或U過程，此時(shí)兩聲子的碰撞產(chǎn)生第三聲子滿足準(zhǔn)動(dòng)量守恒，即有q1q2q3Gn（其中Gn表示一倒格矢）為使q3落在第一布里淵區(qū)里，取Gn3.141010i，則有q30.921010i0.921010j1.31010-1其大小為m29u(r)e2B40rr2。式中B為待定常數(shù)；r為22.設(shè)某離子晶體離子間的互相作用勢能為近鄰原子間距。求該晶體的線膨脹系數(shù)。已知近鄰原子的平均距離為3×10-10m。du(r)0dr解：由平衡條件r0，可得e22B0Be2r040r02r038由此可得0于是可求得1d2u(r)e21d3u(r)e2C2!(dr2)r080r03，g3!(dr3)r040r04那么線膨脹系數(shù)為5.4105K-130第四章金屬自由電子理論1.金屬自由子作了哪些假？獲取了哪些果？解：金屬自由假金屬中的價(jià)子在一個(gè)平均中互相獨(dú)立，仿佛理想氣體中的粒子一是“自由”的，每個(gè)子的運(yùn)由薛定方程來描述；子足泡利不相容原理，所以，子不遵從典而遵從量子的米－狄拉克。依照個(gè)理，不出了魏德曼－佛定律，而且而得出子氣晶體比容的獻(xiàn)是很小的。2.金屬自由子在k空的等能面和米面是何形狀？米能量與哪些因素相關(guān)？解：金屬自由子在k空的等能面和米面都是球形。米能量與子密度和溫度相關(guān)。3.在低溫度下子比容比典理出的果小得多，什么？解：因在低溫，大多數(shù)子的能量低于米能，由于受泡利原理的限制基本上不能夠參加激，而只有在米面周邊的子才能被激從而比容有獻(xiàn)。4.豫的物理意是什么？它與哪些因素相關(guān)？解：豫的物理意是指子在兩次碰撞之的平均自由，它的引入是用來描述晶格子漂移運(yùn)的阻攔能力的。豫的大小與溫度、子量、子度、子所量及金屬的率相關(guān)。5.當(dāng)2金屬接觸，什么會(huì)生接觸差？解：由于2金屬中的子氣系的米能高低不同樣而使子射的逸出功不同樣，所以2金屬接觸，會(huì)生接觸差。6.已知一金屬晶體共含有N個(gè)子，晶體的度L，T0K。求：1）子的狀密度；2）子的米能；3）晶體子的平均能量。解：(1)一金屬晶體的子狀密度：dZdZdk??????????（1）(E)dkdEdE考在k空中，在半徑k和kdk的兩段之所含的狀數(shù)：dZ2dkLdk??????????（2）k又由于E2k22m所以dE2k??????????（3）dkm將（2）和（3）式代入（1）式，并考到每個(gè)狀可容2個(gè)自旋相反的子，得一金屬晶體中自由子的狀密度：31(E)2Lm??????????（4）2E（2）由于子是米子，遵從米—狄拉克，即在平衡，能量E的能被子占有的幾率：f(E)1??????????（5）EEFeKBT1于是，系中的子數(shù)可表示：Nf(E)(E)dE??????????（6）0由于T0K，所以當(dāng)EEF0，有f(E)0，而當(dāng)EEF0，有f(E)1，故（6）式可化：EF02LmdE＝4LmEF0＝202E由此可得：EF0N222??????????（7）8mL2（3）在T0K，晶體子的平均能量：E01Ef(E)(E)dE＝1EF0E2LmdEN0N02E32221EF0＝2L2m(EF0)2＝N3N24mL237.限制在L的正方形中的N個(gè)自由子，子的能量2E(kx,ky)(kx2ky2)。2m求：（1）能量E～EdE之的狀數(shù)；2）此二系在零度的米能量；3）子的平均能量。解：（1）K空中，在半徑k和kdk的兩面之所含的狀數(shù)dZL222kdkL2kdk??????????（1）42也就是能量在E～EdE之的狀數(shù)，由子的能量表達(dá)式可得kdk2mE2m1dEmdE??????（2）2222E32將（2）式代入（1）式，并考慮到每個(gè)狀態(tài)可容納2個(gè)自旋相反的電子，這樣可得能量dE之間的狀態(tài)數(shù)為dZ2mL22在E～E2dEmL2dE22）由（1）問可知，該系統(tǒng)的自由電子的狀態(tài)密度為在絕對(duì)零度下，由下式由此可得此二維系統(tǒng)在絕對(duì)零度的費(fèi)米能量為3）電子的平均能量為8.金屬鋰是體心立方晶格，晶格常數(shù)為a3.51010m。試計(jì)算絕對(duì)零度時(shí)電子氣的費(fèi)米能量EF0（以eV表示）解：由題意可求得金屬鋰的電子濃度為n2(3.524.661028/m3a31010)3故絕對(duì)零度時(shí)金屬鋰的電子氣的費(fèi)米能量為7.571019J4.72eV9.在低溫下金屬鉀的比摩爾熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可寫成cv(2.08T2.57T3)mJ/(molK)若1mol的鉀有N61023個(gè)電子，試求鉀的費(fèi)米溫度TF和德拜溫度D。解：依照金屬自由電子氣模型，低溫下金屬的總比摩爾熱容為：上式中，N02kB2，b124N0kB，所以有：2EF053D故：0N02kB2610233.142(1.381023)22.7081019EF2.081034.16103J2又由kBTF0EF0得TF02.708101.3810

19231.962104K3123.144610231.381023而D52.5710390.9K10.試比較1mol金屬鈉在30K和0.3K時(shí)的德拜比熱容，并與電子比熱容比較。已知鈉的德拜溫度D150K，鈉的費(fèi)米能級(jí)EF03.23eV。解：在30K時(shí)，1mol金屬鈉的德拜比熱容為1.57J/K33而其電子比熱容為0.0328J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為在0.3K時(shí)1mol金屬鈉的德拜比熱容為1.57106J/K而其電子比熱容為3.28104J/K所以德拜比熱容與電子比熱容之比為11.有一鎢絲，長0.05m，橫截面積的直徑為1×10-4m。試求2000K時(shí)鎢絲的熱電子發(fā)射電流。已知鎢的電子逸出功為4.5eV。解：由里查孫－杜師曼定律可知鎢絲的熱電子發(fā)射電流密度為7510420002e4.51.61019/(1.3810232000)14.05A/m2故熱電子發(fā)射電流為11042IjS14.053.141.103107A212.室溫下利用光電效應(yīng)已測得銀及銫的光電效應(yīng)閥值分別為4.8eV和1.8eV。求：1）采用里查孫－杜師曼公式分別估計(jì)銀及銫在室溫下的熱電子發(fā)射電流密度；2）若溫度上升至800K時(shí)，其熱電子發(fā)射電流密度為多少？3）若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，求出室溫下它們的接觸電勢差。解：（1）在室溫下銀的熱電子發(fā)射電流密度為8.3610在室溫下銫的熱電子發(fā)射電流密度為5.4710

A/m2202A/m（2）在800K時(shí)銀的熱電子發(fā)射電流密度為4.7210192A/m在室溫下銫的熱電子發(fā)射電流密度為4.80A/m2（3）若把銀與銫兩種金屬接觸在一起，它們的接觸電勢差為VD1WCs)3V(WAgem(dvv)e13.利用電子漂移速度v的方程dt，證明在頻次下的電導(dǎo)率為：()(0)[1i)2]ne21(其中(0)/m0。解：設(shè)電場為0eit，則有34或dvve0eitdtm齊次方程dvv0的通解為dt設(shè)非齊次方程的特解為vAeit，則有從上式可求出特解的待定系數(shù)A為故非齊次方程的通解為上式中的第一項(xiàng)隨時(shí)間的增大迅速衰減，表示電子在電場作用下的馳豫過程，對(duì)電流沒有貢獻(xiàn)，對(duì)電流有貢獻(xiàn)是第二項(xiàng)，若是在電場的作用下，單位體積內(nèi)含有n個(gè)電荷為e的電子，則其電流密度j()n(e)vne20eit)m(1i()故()ne2(11(0)1imi)1()2其中(0)

ne2m35第五章固體的能帶理論1.布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論對(duì)照有哪些改進(jìn)？解：布洛赫電子論作了3條基本假設(shè)，即①絕熱近似，認(rèn)為離子實(shí)固定在其瞬時(shí)地址上，可把電子的運(yùn)動(dòng)與離子實(shí)的運(yùn)動(dòng)分開來辦理；②單電子近似，認(rèn)為一個(gè)電子在離子實(shí)和其他電子所形成的勢場中運(yùn)動(dòng)；③周期場近似，假設(shè)全部電子及離子實(shí)產(chǎn)生的場都擁有晶格周期性。布洛赫電子論對(duì)照于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實(shí)之間的互相作用，也考慮了電子與電子的互相作用。2.周期場對(duì)能帶形成是必要條件嗎？解：周期場對(duì)能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)是一個(gè)周期性調(diào)幅的平面波，即是一個(gè)布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。3.一個(gè)能帶有N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N平時(shí)都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應(yīng)的能級(jí)也同樣十分密集，所以便形成了準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)。4.禁帶形成的原因如何？您可否用一物理圖像來描述？解：對(duì)于在倒格矢Kh中垂面及其周邊的波矢k，即布里淵區(qū)界面周邊的波矢k，由于采用簡并微擾計(jì)算，致使能級(jí)間產(chǎn)生排斥作用，從而使E(k)函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶。能夠用下面的圖5.1來描述禁帶形成的原因：E(k)<0>0DBACOk5.近自由電子模型與緊拘束圖模5型.1各在有布何里特淵點(diǎn)區(qū)界？面它附們近有禁相帶同形成之的處物？理表示圖解：所謂近自由電子模型就是認(rèn)為電子湊近于自由電子狀態(tài)的情況，而緊拘束模型則認(rèn)為電子在一個(gè)原子周邊時(shí)，將主要碰到該原子場的作用，把其他原子場的作用看作微擾作用。這兩種模型的同樣之處是：采用一個(gè)合適的擁有正交性和齊全性的布洛赫波形式的函數(shù)集，爾后將電子的波函數(shù)在所采用的函數(shù)集中張開，其張開式中有一組特定的張開系數(shù)，將張開后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交性，能夠獲取一組36各張開系數(shù)滿足的久期方程。這個(gè)久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭穿出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構(gòu)。6.布洛赫電子的費(fèi)米面與哪些因素相關(guān)？確定費(fèi)米面有何重要性？解：布洛赫電子的費(fèi)米面與晶體的種類及其電子數(shù)目相關(guān)。由于晶體的好多物理過程主若是由費(fèi)米面周邊的電子行為決定的，如導(dǎo)電、導(dǎo)熱等，所以確定費(fèi)米面對(duì)研究晶體的物理性質(zhì)及展望晶體的物理行為都有很重要的作用。7.試述晶體中的電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。解：在實(shí)責(zé)問題中，只有當(dāng)波包的尺寸遠(yuǎn)大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準(zhǔn)經(jīng)典粒子。準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式有：晶體電子的準(zhǔn)動(dòng)量為pk；晶體電子的速度為v1E(k)；k晶體電子碰到的外力為Fdkdt晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為112E(k)；m*2kk在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：8.試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用途？解：有效質(zhì)量實(shí)際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引入使得晶體中電子準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典力學(xué)中牛頓第二定律同樣，這樣便于我們辦理外力作用下晶體電子的動(dòng)力學(xué)問題。當(dāng)滿帶頂周邊有空狀態(tài)k時(shí)，整個(gè)能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完好仿佛存在一個(gè)帶正電荷q和擁有正質(zhì)量m*、速度v(k)的粒子的情況同樣，這樣一個(gè)假想的粒子稱為空穴?？昭ǖ囊胧沟脻M帶頂周邊缺少一些電子的問題和導(dǎo)帶底有少許電子的問題十分相似，給我們研究半導(dǎo)體和某些金屬的導(dǎo)電性能帶來了很大的方便。9.試述導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體能帶結(jié)構(gòu)的基本特點(diǎn)。解：在導(dǎo)體中，除去完好充滿的一系列能帶外，還有可是部分地被電子填充的能帶，后者能夠起導(dǎo)電作用，稱為導(dǎo)帶。在半導(dǎo)體中，由于存在必然的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導(dǎo)帶中存有少許電子，或滿帶中缺了少許電子，從而致使必然的導(dǎo)電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在好多電子，其實(shí)不導(dǎo)電。10.說明德·哈斯－范·阿爾芬效應(yīng)的基根源理及主要應(yīng)用。解：在低溫下強(qiáng)磁場中，晶體的磁化率、電導(dǎo)率、比熱容等物理量隨磁場變化而表現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象，稱為德·哈斯－范·阿爾芬效應(yīng)。由于德·哈斯－范·阿爾芬效應(yīng)同金屬費(fèi)米面周邊電子在強(qiáng)磁場中的行為相關(guān)，所以同金屬費(fèi)米面結(jié)構(gòu)親近相關(guān)，所以德·哈斯－范·阿爾芬效應(yīng)成為人們研究費(fèi)米面的有力工具。11.一維周期場中電子的波函數(shù)k(x)應(yīng)當(dāng)滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a，電子的波函37數(shù)為（1）k(x)sinx；a（2）k(x)icos3x；a（3）k(x)if(xia)（其中f為某個(gè)確定的函數(shù)）。試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成k(x)eikxuk(x)，其中，uk(xa)uk(x)或?qū)懗蒶(xa)eikak(x)（1）k(xa)sinxasinxk(x)aa故eika1ka顯然有uk(xa)uk(x)故k(x)sinx的波矢是。aa（2）k(xa)icos3(xa)icos3xk(x)aa所以eika1ka顯然有uk(xa)uk(x)故k(x)icos3x的波矢a。a（3）k(xa)f(xaia)f[x(i1)a]f(xma)k(x)iim故eika1k0故k(x)f(xia)的波矢為0。i要說明的是，上述所確定的波矢k其實(shí)不是唯一的，這些k值加上任一倒格矢都是所需的解。由于k空間中相差任一倒格矢的兩個(gè)k值所描述的狀態(tài)是同樣的。12.已知電子在周期場中的勢能為其中：a4b，為常數(shù)。（1）畫出勢能曲線，并求出其平均值；（2）用近自由電子模型求出此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度。38解：（1）該周期場的勢能曲線以下所示：UO其勢能平均值為：（2）依照近自由電子模型，此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為其中U1和U2表示周期場U(x)的張開成傅立葉級(jí)數(shù)的第一和第二個(gè)傅立葉系數(shù)。于是有故此晶體的第1及第2個(gè)禁帶寬度為13.已知一維晶體的電子能帶可寫成：2(71cos2ka)E(k)coskama288。式中a是晶格常數(shù)。試求1）能帶的寬度；2）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度；3）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：（1）在能帶底k0處，電子能量為在能帶頂k處，電子能量為a故能帶寬度為EE()22E(0)ama22）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度為3）電子的有效質(zhì)量為于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為