2021-2022學(xué)年湖南省武岡二中高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．3．過雙曲線左焦點(diǎn)的直線交的左支于兩點(diǎn)，直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）交的右支于點(diǎn)，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B．C． D．5．的展開式中的系數(shù)是-10，則實(shí)數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-26．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則下述四個(gè)結(jié)論：①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．設(shè)，則（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．在平面直角坐標(biāo)系中，銳角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個(gè)算法的偽代碼，運(yùn)行后輸出的值為___________．14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則．15．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為，則實(shí)數(shù)=____。16．能說明“在數(shù)列中，若對于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.（寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且為與的等差中項(xiàng)．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求的前100項(xiàng)和．18．（12分）已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問在軸上是否存在定點(diǎn)使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．（12分）已知拋物線，焦點(diǎn)為，直線交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）點(diǎn)是原點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是，當(dāng)直線的縱截距為1時(shí)，有數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅(jiān)持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時(shí)，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1時(shí)，等號成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r(shí)成立時(shí)，等號成立）；故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故選：A．2．C【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；B.，值域?yàn)?，奇函?shù)，排除；C.，值域?yàn)?，奇函?shù)，滿足；D.，值域?yàn)?，非奇非偶函?shù)，排除；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.3．D【解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接并延長交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，連接并延長交右支于.因?yàn)?，故四邊形為平行四邊形，?又雙曲線為中心對稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因?yàn)闉橹苯侨切危?，解?在中，有，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.4．B【解析】

由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合空間結(jié)構(gòu)特征即可求得其表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為邊長為正方體挖去一個(gè)以為球心以為半徑球體的，如圖，故其表面積為，故選：B.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．5．C【解析】

利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù)，令其等于-10即可.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得，則，所以，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.6．B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗(yàn)證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】試題分析：，．故C正確．考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值．8．B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍，所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線段的中點(diǎn)，則，在圓上，到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍，點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯(cuò)的綜合題.9．D【解析】

連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，取的中點(diǎn)為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點(diǎn)為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.10．A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到，由此得到對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.【詳解】由得：，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點(diǎn)在于公式的計(jì)算，識記公式，簡單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.12．B【解析】

復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，求出，即得.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得..故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．13【解析】根據(jù)題意得到：a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件，故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.14．1【解析】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。?5．或1【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與軸和的交點(diǎn)，由三角形的面積公式可得所求值．【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為3，切線方程為，可得，可得切線與軸的交點(diǎn)為，，切線與的交點(diǎn)為，可得，解得或?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及直線方程的運(yùn)用，三角形的面積求法。16．答案不唯一，如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列，還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡出，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，再利用進(jìn)行化簡，得出，即可證明出為等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）中，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再化簡出，可直接求出的前100項(xiàng)和．【詳解】解：（1）由題意知，即，①當(dāng)時(shí)，由①式可得；又時(shí)，有，代入①式得，整理得，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，∵是各項(xiàng)都為正數(shù)，∴，∴，又，∴，則，，即：.∴的前100項(xiàng)和．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和，考查分析解題能力和計(jì)算能力.18．(1)(2)見解析【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關(guān)于軸對稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù)，即，整理.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，將韋達(dá)定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得，，又，解得，.所以，橢圓的方程為(2)存在定點(diǎn)，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得，.設(shè)，，定點(diǎn).(依題意則由韋達(dá)定理可得，，.直線與直線恰關(guān)于軸對稱，等價(jià)于的斜率互為相反數(shù).所以，，即得.又，，所以，，整理得，.從而可得，，即，所以，當(dāng)，即時(shí)，直線與直線恰關(guān)于軸對稱成立.特別地，當(dāng)直線為軸時(shí)，也符合題意.綜上所述，存在軸上的定點(diǎn)，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，熟記橢圓方程簡單性質(zhì)，熟練轉(zhuǎn)化題目條件，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題.19．（1）（2）【解析】

(1)設(shè)出直線的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合弦長即可求得拋物線的方程；(2)設(shè)直線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，可得之間的關(guān)系，再運(yùn)用進(jìn)行裂項(xiàng)，可求得，解不等式求得的值.【詳解】解：（1）設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，設(shè)，所以，，，所以拋物線方程為（2）設(shè)直線方程為，，，，，，由得.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的關(guān)系，考查了韋達(dá)定理和運(yùn)用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）根據(jù)面，將問題轉(zhuǎn)化為求到面的距離，利用等體積法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)槔庵侵比庵?，所以又，所以面又，分別為AB，BC的中點(diǎn)所以//即面又面，所以平面平面（2）由（1）可知////所以//平面即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離設(shè)點(diǎn)到面的距離為由（1）可知，面且在中，，易知由等體積公式可知即由得