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文檔簡介
2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,則()A.10 B.9 C.8 D.72.空間點到平面的距離定義如下:過空間一點作平面的垂線,這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離.已知平面,,兩兩互相垂直,點,點到,的距離都是3,點是上的動點,滿足到的距離與到點的距離相等,則點的軌跡上的點到的距離的最小值是()A. B.3 C. D.3.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[324.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一,其內(nèi)容是:一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.6.已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A. B. C. D.7.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.88.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+19.年部分省市將實行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B.C. D.10.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.11.設(shè)是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.12.已知雙曲線的左、右焦點分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)________.14.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.15.已知角的終邊過點,則______.16.現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形,然后做成一個無蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)《山東省高考改革試點方案》規(guī)定:從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始,不分文理科;2020年開始,高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級.參照正態(tài)分布原則,確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、.選考科目成績計入考生總成績時,將至等級內(nèi)的考生原始成績,依照等比例轉(zhuǎn)換法則,分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間,得到考生的等級成績.某校高一年級共2000人,為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對六個選考科目進行測試,其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布.(1)求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù);(2)按高考改革方案,若從全省考生中隨機抽取3人,記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附:若隨機變量,則,,)18.(12分)已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:.19.(12分)已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值1,證明:(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.21.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.22.(10分)已知函數(shù)(為實常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
根據(jù)題意,解得,,得到答案.【詳解】,解得,,故.故選:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和,意在考查學(xué)生的計算能力.2.D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值,利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程,得到,進而得到所求最小值.【詳解】如圖,原題等價于在直角坐標(biāo)系中,點,是第一象限內(nèi)的動點,滿足到軸的距離等于點到點的距離,求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值.設(shè),則,化簡得:,則,解得:,即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選:.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動點軌跡方程,進而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得最值.3.A【解析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對實際問題:由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b,則函數(shù)fgx4.A【解析】
列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.【點睛】本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.5.D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時,的最小值,故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.6.C【解析】
設(shè)為中點,先證明平面,得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結(jié)論.【詳解】設(shè)分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形,且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項:【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題,關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角,再利用球心位置來求解出線段長,屬于中檔題.7.B【解析】
利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點,則,整理計算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計算能力,是中檔題.9.B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計算公式,可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.10.C【解析】
對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】故選C.【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.11.C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.12.D【解析】
本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點縱坐標(biāo),然后將點縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點坐標(biāo),最后將點坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點作垂線并交于點,因為,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因為圓的半徑為,是圓的半徑,所以,因為,,,,所以,三角形是直角三角形,因為,所以,,即點縱坐標(biāo)為,將點縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得,解得,,將點坐標(biāo)帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D。【點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
解:故答案為:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.15.【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點,∴,,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點也是最大值點,此時.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,可將區(qū)間分為和兩種情況,然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率,進而可求出相應(yīng)的人數(shù);(Ⅱ)由題意得成績在區(qū)間[61,80]的概率為,且,由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(Ⅰ)因為物理原始成績,所以.所以物理原始成績在(47,86)的人數(shù)為(人).(Ⅱ)由題意得,隨機抽取1人,其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為.所以隨機抽取三人,則的所有可能取值為0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.【點睛】(1)解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間,再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解,解題時注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性.(2)解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機變量服從二項分布,然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望.當(dāng)被抽取的總體的容量較大時,抽樣可認(rèn)為是等可能的,進而可得隨機變量服從二項分布.18.(1)(2)證明見解析【解析】
(1),①當(dāng)時,,②兩式相減即得數(shù)列的通項公式;(2)先求出,再利用裂項相消法求和證明.【詳解】(1)解:,①當(dāng)時,.當(dāng)時,,②由①-②,得,因為符合上式,所以.(2)證明:因為,所以.【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法,考查數(shù)列求和,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19.(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由在處取得極值1,可得且.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;
(2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進行二次求導(dǎo).由知,則在上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點,且.由此判斷出時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,則,即.由得,再次構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.【詳解】解:(1)由題知,∵函數(shù)在,處取得極值1,,且,,,令,則為增函數(shù),,即成立.(2)不等式恒成立,即不等式恒成立,即恒成立,令,則令,則,,,在上單調(diào)遞增,且,有唯一零點,且,當(dāng)時,,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,,單調(diào)遞增.,由整理得,令,則方程等價于而在上恒大于零,在上單調(diào)遞增,.,∴實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數(shù)的極值,利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點存在定理,證明不等式,解決不等式恒成立問題.其中多次構(gòu)造函數(shù),是解題的關(guān)鍵,屬于綜合性很強的難題.20.(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復(fù)合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值
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