平面向量中的最值和范圍問題

平面向量中的最值和范圍問題平面向量中的最值和范圍問題，是一個(gè)熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個(gè)量的最值、范圍，如：向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù).解決這類問題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)的值域解決問題，同時(shí)，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問題的另一個(gè)基本思想是數(shù)形結(jié)合.考點(diǎn)1、向量的模的范圍例1、(1)已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ZADC=900,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+3PB的最小值為.—*■—b--*■—B-—I-—fc-—fc-—fc-f—*—*—*(2)(2011遼寧卷理)若a,b,c均為單位向量，且a-b=0，(a-c)(b-c)<0，則a+b-c的最大值為()A.、./2—1B.1C.'hD.2—m—ir—?——k—卜—t—fb-—*-⑶(2010浙江卷理)已知平面向量a，0(a。Qa。。)滿足P=1，且a與P-a的夾角為120°，則p|的取值范圍是變式：已知平面向量a，p滿足Ia1=1P1=1，且a與P-a的夾角為120。，則I(1-1)a+2tPI(teR)的取值范圍是；小結(jié)1、模的范圍或最值常見方法：①通過Ial2=a2轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題；②數(shù)形結(jié)合；③坐標(biāo)法.考點(diǎn)2、向量夾角的范圍例2、已知OB=(2,0)，OC=(2,2)，CA=G；2cos?，.'2sin?)，則OA與OB夾角的取值范圍是(nnn5nn5n5nnA._12,3_B.l_4,12_C._12,12_D._12,22小結(jié)2、夾角范圍問題的常見方法：①公式法；②數(shù)形結(jié)合法；③坐標(biāo)法.考點(diǎn)3、向量數(shù)量積的范圍例3、(1)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，則PA-PB的最小值為()(A)—4+\2(B)—3+甘2(C)—4+2^2(D)—3+2*2(2)如右圖，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=2cD=1.點(diǎn)P在陰影區(qū)域(含邊界)中運(yùn)動(dòng)，則AP?BD的取值范圍是小結(jié)3、數(shù)量積問題涉及的方法較多，常用的方法有：①定義；②模與投影之積；③坐標(biāo)法；④————一—，+b，,a-ba?b=(2)2-(2)2-考點(diǎn)4、向量的系數(shù)問題:例4、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量5A和5B，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若oC=xdA+ydB其中x，yER，貝x+y的最大值是.小結(jié)4、向量系數(shù)問題的一般處理方法：①點(diǎn)乘法；②幾何法；③整體法.變式：已知點(diǎn)G是AABC的重心，點(diǎn)P是AGBC內(nèi)一點(diǎn)，若AP=XAB+口AC,則人+口的取值范圍是（A.(2，1)2…3b.(3,Dc.(1<2)D.(1,2值范圍是（A.(2，1)2…3b.(3,Dc.(1<2)D.(1,2)專題十、平面向量中的最值和范圍問題練習(xí)題1、(2011全國(guó)新課標(biāo)理)已知a2丸p:la+b1>1=Oe[0,——)13五p:la-bl>1=0e[0,§)b均為單位向量，其夾角為0，有下列四個(gè)命題\o"CurrentDocument"2丸「p:la+bl>1=0g（——，丸］23丸p:la-bl>1=0g（—，丸］43其中真命題是（）p,pp,pp,pp,pA.14B.13C.23D.242、（2012廣東卷）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量a和p，定義a-p=若平面向量a、足a2b>0'a與b的夾角。代'且5ba都在集合目ngz］中，則ab=（）B.1D.30寧市期在ABC，則AD3一B-2C.\.2D.U2x+y>24、（2011福建卷）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(一1,1)若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域｛x<1y<2TOC\o"1-5"\h\z■削上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OM.OA的取值范圍是A.[一1，0]B.[0，1]C.[0，2]D.[一1，2]5、（2012浙江會(huì)考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，P,Q是正方135體內(nèi)部及面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM.PQ的最大值是（）A.-B.1C.-Dq=600，則16、（2011全國(guó)大綱理）設(shè)向量a,b,c滿足|a|=p|=1，a-b=--，：a-c,b-c的最大值等于（）A.2B.*C.巨D(zhuǎn).17、如圖，在直角梯形ABCD中，圈上也『也=以=1】如=3,動(dòng)點(diǎn)p在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)4、（2011福建卷）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)AA.[一1，0]=600，則訂-"則，一的取值范圍是（）-8、（2012安徽卷）若平面向量a,b滿足：2-b<3；則。-b的最小值是；9、已知向量a=3-1,2）,b=（4,y），若a1b,則9x+3y的最小值為；—?—?—?―?10、（2012北京卷）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE-CB的值為TOC\o"1-5"\h\z，DE-DC的最大值為一）；11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，E為AB的中點(diǎn)，若F為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則OEOF的最大值為；12、如圖，線段AB長(zhǎng)度為2，點(diǎn)A,B分別在x非負(fù)半軸和y非負(fù)半軸上滑動(dòng)，以線段AB為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD，BC=1，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OC