微分幾何彭家貴課后題答案

習(xí)題一(P13)2.設(shè)a(t)是向量值函數(shù)，證明:|a|=常數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)(a(t),a'(t))=0；a(t)的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)a(t)△af(t)=0。(1)證明：|a|=常數(shù)o|a|2=常數(shù)o<a(t),a(t)>=常數(shù)=<a'(t),a(t)>+<a(t),a'(t)>=0o2<a(t),a'(t)>=0o<a(t),a'(t)>=0。(2)注意到：a(t)豐0，所以a(t)的方向不變o單位向量e(t)=a(t)、'一*/\|=吊向量。a(t)]若單位向量e(t)=竺)=常向量，則e'(t)=0ne(t)△e'(t)=0。|a(t)|反之，設(shè)e(t)為單位向量，若e(t)△e'(t)=0，則e(t)//e'(t)。由e(t)為單位向量n<e(t),e(t)>=1n<e(t),e'(t)>=0ne(t)1e'(t)。TOC\o"1-5"\h\ze(t)//e'(t)|,從而，所以，由fne(t)=0ne(t)=常向量。從而，所以，e(t)1e'(t)I一，、a(t),,一a(t)的萬(wàn)向不變o單位向量e(t)==常向量a(t)|oe(t)△e'(t)=0o△fr-^+d(f^)a(t』=0|a(t)|"|a(t)|dt|a(t)|Jo—-—(a(t)△a'(t)^+―(—)—-—(a(t)△a(t))=0|a(t)|2dt\a(t)\\a(t)oa(t)△a'(t)=0。即a(t)的方向不變當(dāng)且僅當(dāng)a(t)△af(t)=0。補(bǔ)充:

定理r(t)平行于固定平面兀的充要條件是(r(t),r'(t),r(t))=0。證明："n”:若r(t)平行于固定平面兀，設(shè)n是平面兀的法向量，為一常向量。于是，vr(t),n>=0n<r'(t),n>=0,vr"(t),n>=0nr(t),r'(t),r"(t)共面ovr(t),r'(t),r"(t)>=0。"u"：若(r(t),r'(t),r〃(t))=0，貝Ur(t),r'(t),r"(t)共面。若r(t)△r'(t)=0則r(t)方向固定，從而平行于固定平面兀。若r(t)△r，(t)豐0，則r"(t)=Xr(t)+四r'(t)。令n(t)=r(t)△r'(t)，則n'(t)=rr(t)△r'(t)+r(t)△r〃(t)=r(t)△r"(t)=r(t)△(X(t)r(t)+日(t)r'(t))=Mt)(r(t)△r'(t))=p(t)n(t)nn(t)△n'(t)=0,又n(t)豐0nn(t)有固定的方向，又n(t)±r(t)nr(t)平行于固定平面。3.證明性質(zhì)與性質(zhì)。性質(zhì)（1）證明:設(shè)V]=(氣,X2X),V=(y,y,y),v=(z,z,z),v△v=性質(zhì)（1）證明:設(shè)V]=(氣,X232123312323123ijkryyyyyyVAV=yyy=23,311,223123zzzzzzzzz233112123則=(w,w,w)nw=yz—yz,w=yz—yz,w=yz—yz,123322311331221In左^A(VAV)=Xwxx23wwx3w3X3w3x1w1X1X2ww12/In左^A(VAV)=Xwxx23wwx3w3X3w3x1w1X1X2ww12/=(xw—xw,xw—Xw,Xw2332311312=(X[yz—yz]—X[yz—yz],x[yz—yz]—x[yz,212213311332332112—yz],x[yz—yz]—x[yz—yz

211311322332zxxx[[[(([([+Xz]y-[Xy+Xy]z,[xz+xz]y-[xy+xy]z,[xz+xz]y-[xy+xy]z

331223313311(33112112231122+xz]y,[xz+xz]y,[xz+xz]y)-([xy+xy]z,[xy+xy]z,[xy+xy]z33133112112232233133+xz+xz]y,[xz+xz+xz]y,[xz+xz+xz]y)331113311222112233311211223=[xz+Xz1122+X》+"]z,[Xy+”+Xy]z,["+x331113311222112+Xz](y,y,y)-[xy+xy+xy](z,z,z3312322331112)+X3y3]z3132123(2)證明：設(shè)v=(x,x,x),v=(y,y,y),v=(z,z,z),v1123212331234ijkrxxxx)xxv△v=x1y1x2y2x3y3=k2y23,y33y31,1y1y1y2卜2nX=xy-xy,X=xy-xy,x=xy-xy.123i3j2k231rz1z3z312zz21z「v△v=z1w1z2w2z=3w32"w'23w3,3w31,1ww2w\2JnY=zw-zw,Y=zw-zw,Y=zw-zw.123322311331221",七,七)n左=<v△v,v△v>=XY+XY+XY1234112233=(xy-xy)(zw-zw)+(xy-xy)(zw23322332311331(X1，X2,X3)zw)+(xy-xy)(zw-zw)13122112-~=[xzyw+ywxz+ywxz+xzyw+xzyw+ywxz]223322331133113311221122-[xwyz+yzxw+yzxw+xzyw+xwyz+xwyz+yzxw]2233223311331133113311221122=[(xyzw+xyzw+xyzw)+xzyw+ywxz+ywxz+xzyw1111222233332233223311331133+xzyw+ywxz]11221122-[(xyzw+xyzw+xyzw)+xwyz+yzxw+yzxw+xwyz+xwyz+yzxw]一—--------一__—33112211221111222233332233=(xz+xz+xz)(yw+yw+yw)-(xw=<v,v><v△v>-<v,v><v△v22331121423311>=右23223+x2w2+xw)(yz+y蘭+y.z.)311331133(z,z,z),，則123ijkxxxxxxv△v=xxx=233112,,12123kyyyyyyyyyv233112(3)證明:232233設(shè)v1=(X1,X2,X3)(y1,y一,y),v1x2y,3,v「vz1(x2y3(z1x2y3同理，3

y2,x2-x3=<v,v△v-x3y2)+z(xy+y1z2xz1x12x32,v3,vy1(z2x3(z1x2y3nY=n(Vx3y1>=zX+zX+zX1122-x1y3)+z(xy-xy)1233231+xy_z_)-(zy2x3z2x2-z3x2122321+y1x2z)z3x3,Y21)=<v2,v3-z3x2)+y(zxrzzzzzz233,11,2kxxxxxx233112七氣七*2-z1x3=(匕,Y2,Y3)=z3x△v1,Y31>=yY+yY+)3、1122-z1x3)+y(zx-zx)+yzx+xyz)-(zyx+xzy+yxz)=(v,v,v)…一---~-一…一123312ijk(yyyyyyvav=yyy=23,31,1223123zzzzzzzzz2331122=(Z「Z2,Z3)1n彳=y2z1,2,3123112233=x(yz—yz)+x(yz—yz)+x(yz—yz)123322311331221=(z1xy+yzx+xyz)—(zyx+xzy+yx所以，性質(zhì)證明:32,Z2=yz-yz122=<v,vav>=xZ+xZ+xZ=y3z1-1332312312312312(v,v,v)=(v,v,v)=(v,v,v)。123312231(1)Va(Vf)=Va(f,手,dxdy￡(df]￡(df)

dz[dyJdz[dx/ddxfdx"dyIM(d2fd2fd2fd2fd2fd2f'{dydz證明：(2)3,"1,Pj

d

dy

f

dyddzdf瓦dx"dz)dx"dyJdy"dx)■—■—dzdydzdxdxdzdxdydydx/=(0,0,0)=0.ijkddddxdydzPQRR'd((dQ<V,VaF>=<V,>=<V,dP)+dz"dxdy(dRdQdPdRdQdP)

—?—?—^dydzdzdxdxdy/d(dRdx"dydz)d2Rd2Qd2Pd2Rd2Qd2P_—+—+—=0.dxdydxdzdydzdydxdzdxdzdyd(dP

+=l^-—dy"dzdx)4.設(shè)｛。；e,e,e｝是正交標(biāo)架，a是｛1,2,3)的一個(gè)置換，證明：123｛o；七(1),七⑵,e⑶｛O;e,e,e｝與O;e,e,e｝定向相同當(dāng)且僅當(dāng)a是一個(gè)偶置換。123a(1)a(2)a(3)(1)(2)(1)正交標(biāo)架;證明：當(dāng)i"j時(shí)，-①?gòu)V(j=W..),%(j>=0；當(dāng)?shù)髸r(shí)，b⑺=b⑺n<eb(疽eb(j>=1，所以，｛O；eb(1),eb(2),eb(3)正交標(biāo)架。(2)證明:(010)(010)100,det100001J1001JA)當(dāng)。=(12)nb⑴=2q(2)=1q(3)=3n',e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)TOC\o"1-5"\h\zb(1)b(2)b(3)213123(001)(001)010,det010100J、101,B)當(dāng)b=(13)nb(1)=3,b(2)=2,b(3)=1n',e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)b(1)b(2)b(3)321123(100)(100)001,det001010J101023｝=｛o；e,e,e｝；C)當(dāng)b=(23)nb(2)=3,b(3)=2,b(1)=1n',e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)b(1)b(2)23｝=｛o；e,e,e｝；個(gè)偶置換。D)當(dāng)b=(1)=(12)(12)，此時(shí)，b；eb(1),eb.)個(gè)偶置換。'001''001)()()()\e,e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)100,det100b(1)b(2)b(3)231123〔010J〔010JF)當(dāng)b=(132)=(13)(12)nb(1)=3,b⑶=2,b⑵=1,'010)'001)()()()(e,e,e)=(e,e,e)=(e,e,e)001,det100b(1)b(2)b(3)312123〔100J〔010JE)當(dāng)b=(123)=(12)(13)nb(1)=2,b⑵=3,b⑶=1,=1；=1.所以，｛O;e,e,e｝與｛O;e,e,e｝定向相同當(dāng)且僅當(dāng)b是123b(1)b(2)b(3)習(xí)題二(P28)1.求下列曲線的弧長(zhǎng)與曲率:(1)y=ax2解：r(x)=(x,ax2)nr\x)=(1,2破)=^>Z(jc)=f\rf(t)\dt=fJ1+4Q2/2也00令21/1f=tan。，Jl+4q2$2=secO,則f>/1+4。2[2力=—fsecsQdQ=—-—I2a2\a\/^fsec306Z0=f(sec0tan20+sec0)rf0=Jtan9</sece+secOdO=tanOsecO一Jsec3&0+Jsec9</9=tanOsecO-/+Jsec&0nI=—[tan0secO+lnIsecO+tan0l]+C2)IaItj\+4ci2t2+In21qIr+Jl+4g24C二p~2所以，j\jl+~4aU2dt=—fsec30rf0=—i—2a2\a\IaIrJl+4々2$2+In21qIr+Jl+4g24C=JJl+4々2$2力=—i—4IqIoIaIxjl+4q2x2+In21。Iji+Jl+4a^x^2.設(shè)曲線r(r)=(x(r),y(r)),證明它的曲率為K(“yW)證明：W)=(血),y(O)=>r(t)="),y"))n/'(t)=(/"),y\t)),dr,dt,,dtnt(s)=丁=r'(t)丁=(xf(t),yf(t))二dsdsdsnn(s)=(-yr(t),x'())(d-dsnt(s)=乎=dfr'(t)牛卜r〃(t)俘：+r'(t)半ds2ds[dsy[dsyds2nt(s)=k(s)n(s)TOC\o"1-5"\h\zfdt\2d2tdtnr"(t)丁+rf(t)--=k(s)(-yf(t),x'(t))二*dsyds2ds+x'(t)祟=-k(s)y'()牛ds2ds〃/、fdt)2，/、d2t/、,,、dty(t)—+y(t)—=k(s)x(t)—*dsyds2ds一fdt￥X”(t)丁+X'(t)“/、*dsynK(s)=-—*'dty'(t)—ds2-x"(t)y'(t一fdt￥X”(t)丁+X'(t)“/、*dsynK(s)=-—*'dty'(t)—ds2-x"(t)y'(t)了fdtAx'(t)y”(t)3*dsyIy')2+(x')2均dsd2t

ds2fdtA2y”(t)工+y")

*dsyx‘(t)ddsd2tds2x'(t)y”(t)-x"(t)y^(t)

ty)2+(x')2垮由d=1r()1=\*x')2+(y')2,、x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)1

nk(s)=v,即tyy)2+(x')2Fxf(t)y”(t)-x"(t)y'(t)K(t)=3.設(shè)曲線C在極坐標(biāo)下的表示為r=f(0)，證明曲線C的曲率表達(dá)式為f2(0)+2K(0)=f%]2-f(0)羿*d0yd02nr(0)=(f(0)cos0,f(0)sin0)nr'(0)=(f，(0)cos0-f(0)sin0,f，(0)sin0+f(0)cos0)r"(0)=(f，(0)cos0-f(0)sin0,f，(0)sin0+f(0)cos0)=(f"(0)cos0-2fr(0)sin0-f(0)cos0,f"(0)sin0+2fr(0)cos0-f(0)sin0)所以，X=f(0)cos0-f(0)sin0；y'=f(0)sin0+f(0)cos0；x"=f"(0)cos0-2f，(0)sin0-f(0)cos0；y"=f"(0)sin0+2f'(0)cos0-f(0)sin0。因此，xy"-x"y，=(f'(0)cos0-f(0)sin0)(f"(0)sin0+2f'(0)cos0-f(0)sin0)-(f，(0)sin0+f(0)cos0)(f"(0)cos0-2f'(0)sin0-f(0)cos0)=f2(0)+2(f'(0)》-f(0)f〃(0)(y')2+(x')2=(f'(0)cos0-f(0)sin0)2+(f'(0)sin0+f(0)cos0)2=(f(0))2+(f(0))2x，(0)x，(0)y〃(0)-x〃(0)y'(0)??K⑼=—7T3—*x')2+(y')2宜f2(0)+2-f(。)關(guān)d02f2(0)+4.求下列曲線的曲率與撓率：(4)r(t)=(at,i2aInt,—)(a>0)t解：r'(t)=(a,匹,-—),r〃(t)=(0,-匹,2—),r%)=(0,遠(yuǎn),-竺)；t1212131314j2at\2a12ka(ga22a2-—=,—12"14132a13V2a2、t2\r'(t)|=\2a44a42a472a2J—++—=\18161414n|r'(t)ar"(t)=a2+止+竺=a(t2+1)121412.^2^=W(t2+1)14(r，,r”,r，住辛2a2、.:2a22*2a6a2寸2a(r，,r”,r，住辛1312131416所以，|r'(t)ar"(t)|k(t)=[\rf(t)|3旦(t2+1)旦(2+1)-14_=_J4=)223一竺們+1)一a(2+J；161三C"1)1|/(t)ar"(t)|2(r',r”,rT(t)=，，室(2+1)T=^2i14Ja(t2+15.證明：E3的正則曲線r(t)的曲率與撓率分別為k(t)=|rr()ar"(t)||r'(t)|3drdrdt,、./、,zxdt證明：；-=nt(s)=r(s)=r(t)廠dsdtdsds一(dt￥nt(s)=r"(t)--kdsJrdt￥n-(s)=r”，(t)^+3r〃(t)kdsJ根據(jù)弗雷內(nèi)特標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程/dtd2t，/、d3t+rf(t)—dsds2ds3t、r0k0、rt)n=-K0Tn，得:bJk0-T0/bkujd一dsIt(s)=k(s)n(s)nn(s)=—t(s)nb(s)=t(s)an(s)=^—(i(s)ai(s))

/X/X7X7X7/X/X7k(sk(sr，/?、出r、展ds+r'(t)判

ds2JJ(s)5J=^1=—(dt、3nk(s)=(r'(r)Ar"(r))|ds(r'Q)△尸”(，))(尸0)3"))|_|r(0Arr(O|(ds\|尸'(現(xiàn)dt)i(s)=k(s)〃(s)n?(s)=k(s)〃(s)+K(s)|(s)由n(s)=-k(s)t(s)+T(s)b(s)=>f(s)=k(s)〃(s)+K(s)(—K(s"(sJ+c(湎S))=k(s)〃(s)—k2(s)《s)+k(s)t(s)》(s)n<f(s),b(s)>=k(s)t(s)(出、3因?yàn)?lt;?(s),b(s)>-</"(t)一+3r"(t)ydsJdtdu，/、d^t1—+mdsds2ds3K(s)\ds)K(S)[ds),\\r\r\rj所以，K(S)T(S)=k(5,)ydsJ(r\尸”,rK2(S)也)6_偵/〃,產(chǎn))/‘Fyds)6.證明：曲線(1+s)：(1-s)S槌)以S為弧長(zhǎng)參數(shù)，并求出它的曲率，撓率與Frenet標(biāo)架。(1+s)；(l-s)：1-22親)證明:1)/(s)=所以,”(s)|=(1+s)(1—s)1十十—42=1(—l<s<l)n該曲線以s為弧長(zhǎng)參數(shù)。i(s)=尸"(s)=((1+況~4-、X("o=>K(S)=uV16(1+s)-*(l—s)-116—8(1-S2)..—1nn(s)-1(s)/k(s)-2(1-s)(1+s)2,2(1+s)(1-s)2,01(1+s1(1+s)21(1-s)212(1-s)(1+s)212(1+s)(1-s)2--72(1+s)(1-s)2也1-s)(1+s)2,4(1-s2)k由n(s)-b(S)-—V2(l+S)(1—S)2^2(!-s)(l+s)2,4(1-s2)2得t(s)=<t(s)=<n(s),b(s)><1+3s1-3s0]=<k^1+s，-也I.克(1+s)(1-s)2\'1+s-V2(1+s)(1-s)2,V2(1-s)(1+s)2,4(1-s2)27k1—3s12+r2(1-s)(1+s)2<1-s-克(1+3s)(1-s2)2+寸2(1-3s)(1-s2)2-2克(1-s2)2所以，2)K(s)=As<1)；-(s)==2、E-s2)2，(-1<s<1)。3)所求Frenet標(biāo)架是｛r(s)；t(s),n(s),b(s)｝，其中TOC\o"1-5"\h\z11(-1<s<1)，(1+s)2(-1<s<1)，,22kn(s)-2(1-s)(1+s)2,2(1+s)(1-s)2,0(-1<s<1)k7Il1l11b(s)--V2(l+s)(1-s)2,V2(l-s)(1+s)2,4(1-S2)2(-1<s<1)。k10.設(shè)T(X)-XT+P是E3中的一個(gè)合同變換，detT=-1。r(t)是E3中的正則曲線。求

曲線r=Uorb(s)-解：(1)S(t)=加(匚切=JC北=J(七+P)北=j|r《)邛」|/(匚)dT=S(t)dVdV00000可見(jiàn)，r=Uor與曲線r除相差一個(gè)常數(shù)外，有相同的弧長(zhǎng)參數(shù)。⑴-lr^(t)Ar^r(t)T八r\t)T|2)K(t)—|r‘(t)|3|rr(t)T|3|sgn(detT)(r，(t)ar"(t))T\r'(t)ar"(t)1,、——x(s)—Jcos(arctan已)ds—J—K(t)|r'(t)|3|r'(x(s)—Jcos(arctan已)ds—J￥(3)f(t)—3,r,r")—(r'T,rffT,rfffT)_<rfT,r〃TarfffT>\rf(t)ar(t)|a|r'(t)Tarff(t)T|2|r'(t)arff(t)|2—<rT,sgn(detT)(r"ar")T>_sgn(detT)<''T,sgn(detT)(r"ar〃)T>|r'(t)ar"(t)|2寫(xiě)|r'(t)ar"(t)|2<rT,(r〃ar")T><r',(r〃ar")>—sgn(detT)—sgn(detT)|rr(t)Ar"(t)|2rf(t)ar"(t)|2-sgn(detT—一±^2±—「(t)|rr(t)Ar"(t)|2|r'(t)ar"(t)|2可見(jiàn)，r—Uor與曲線r的曲率相差一個(gè)符號(hào)。aa13.(1)求曲率K(s)—(s是弧長(zhǎng)參數(shù))的平面曲線r(s)。a2+s2解：設(shè)所求平面曲線r(s)—(x(s),y(s))因?yàn)閟是弧長(zhǎng)參數(shù)，所以Ir'(s)I—1n(xf(s))2+(y'(s))2—1n可設(shè)x'(s)—cos0,x'(s)—sin0，由曲率的定義，知d0aaas——k(s)—nd0—dsn0—Jds—arctan—dsa2+s2a2+s2a2+s2ads1+tan2(arctan—)nx'(s)—cos(arctans),xr(s)ds1+tan2(arctan—)ds=iln(s++$2)l-cos2(arctan—)2ds=iln(s++$2)l-cos2(arctan—)2ds++S2),】Q2+$2yQ,2sin—22u)0可知,f=—十。4從而根據(jù)曲z,V3+cosz)TOC\o"1-5"\h\z11ds=f11dssec2(arctan—)2J1+tan2(arctan—)2aya=Jds=+S2Jq2+S2所以，所求平面曲線尸(S)=20.證明：曲線r(r)=(t+4sint.2cost,-sint)與曲線r(/)=(2cos是合同的。證明：1)對(duì)曲線C\r-r(r)作參數(shù)變換t=2u,貝ljr=(2cosw,2sinw,C是圓柱螺線(Q=2M=-2),它的曲率和撓率分別為￡=?4因此，只要證明曲線C:r=r(0的曲率K二十，撓率G=-十，44線論基本定理，它們可以通過(guò)剛體運(yùn)動(dòng)彼此重合。2)下面計(jì)算曲線。的曲率K與撓率氣o由/(t)=(1+\/3cosZ,-2sint.占一cost)nIrr(z)I=2>/2,進(jìn)而r\t)=(-V3sint,-2cost.sint)n/(t)/\r〃(t)=(2V3cost-2,-4sinZ,-2V3-2cost)=-2(1-V3cosZ,2sinl/Q)x/Q)|=4很nK=-o4)1rw(0=(->/3cosz\2sint.cost)n/"))=-8nc=-―。421.證明：定理定理設(shè)K(S)>。是連續(xù)可微函數(shù)，則存在平面E2的曲線,(S),它以S為弧長(zhǎng)參數(shù)，K(s)為曲率；上述曲線在相差一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)的意義下是唯一的。證明：先證明(1),為此考慮下面的一階微分方程組dr瓦*i(()ded=k(s)%(s)de—sr=-k(s)e(s)s0e(a,b)

始條件：給定初值r。,e。,eo，其中L。,e。｝是E2中的一個(gè)與自然標(biāo)架定向相同的正交標(biāo)架，以及則由微分方程組理論得，(1.1)有唯一一組解《(s);ei(s),e2(s)｝滿足初s=s0lr(s);e(s),e(s)Jl,,=lr0;e。,s0e(a,b)

始條件：s=s0若r(s)為所求曲線，則匕卜s),e2(s)｝必是它的Frenet標(biāo)架。因此，我們首先證明~L(s),e(s)｝Vse(a,b)12均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。將微分方程組(1.1)改寫(xiě)成d~=遷ae(s),i=1,2j=1其中(a)=「°k⑴］。ij2x2|_-K(s)?！故且粋€(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣，即a+a=0i,j=1,2.令g(s)=<e(s),e(s)>(=g)i,j=1,2.ijijij對(duì)(1.3)求導(dǎo)，并利用(1.2)有:idsjdg(s)=dve(s),e(s)>=<de(s),e(s)>+<e(s),ge(s)>dsijdsijdsij=<e(s),e(s)>+<e(s),￡ae(s)>kjijkkk=1=￡a<e(s),e(s)>+￡a<e(s),e(s)>ikkjjkikk=1k=1=￡a<e(s),e(s)>+￡a<e(s),e(s)>ikkjjkkik=1k=1i,j=1,2.=￡(aikgkj(s)+a]kgklk=1(1.4)表明｛g(s)｝是微分方程組(1.5)iji,j=1,2(1.5)df(s)=￡(af(s)+af(s))i,idsji,j=1,2.dsijdsijikkjjkkidsij11,i=j;定義8..=｛八..i=1,2.則lj10,i豐j.L0,i,j=1,2.且k=1d8dsij)=jkki￡(a8+a8k=1d8dsij)=jkki￡(a8+a8)=a+a=0,1kk11kk11111k=1￡k=1￡k=1￡(a8+a8)=a+a=0,2kk22kk22222(a8+a8)=a+a1kk22kk11221(a8+a8)=a+a2kk11kk22112=￡(a8+a8),i,j=1,2.ikkjjkkik=1=0,i=1,j=2=0,i=2,j=18ji=1,2.是微分方程組(1.5)的解。注意到：｛g(s)｝=*｝，所以｛g(s)｝ij0i,j=1,2iji,j=1,2iji,j=1,2滿足初始條件｛g(s)｝=*｝的唯一解。從而ij0i,j=1,2iji,j=1,2所以，是微分方程組(1.5)g,,(s)三％,i,j=1,2.所以，H(s),UsJWe(",b)均是正交標(biāo)架。由于F(s)=(e(s),e(s),e(s)ae(s))Vse(a,b)是關(guān)于s的連續(xù)函數(shù)，且TOC\o"1-5"\h\z1212F(s)=1或-1。故由F(s)=(e(s),e(s),e(s)ae(s))=1知，

010201020F(s)=(e(s),e(s),e(s)ae(s))=1,Vse(a,b)。1212可見(jiàn)，匕卜s),e2(s)}Vse(a,b)均是與自然定向相同的正交標(biāo)架。dr

ds于是由微分方程組(1.1)有:dr

dsdr=e(s)=1，這表明s為弧長(zhǎng)參數(shù)。從而由一=e(s)推出t(s)=e(s)是1ds11單位切向量。由d=K(s)e2(s)推出K(s)=de

—t

ds二|t單位切向量。由d=K(s)e2(s)推出K(s)=de

—t

ds二|t(s)\是曲線r(s)的曲率，從而由1=K(s)e(s)推出由n(s)==t(s)1=e(s)，即e(s)是單位正法向量。ds2K(s)K(s)ds22可見(jiàn)，微分方程組(1.1)的滿足初始條件：｛r(s);e(s),e(s)｝l=｛r0；e0,e。｝12s=s°12唯一一組｛r(s);e1(s),e2(s)｝的確表明：存在平面E2的曲線r(s)，它以s為弧長(zhǎng)參數(shù)，K(s)為曲率，當(dāng)K(s)是連續(xù)可微函數(shù)時(shí)。再證明(2)：設(shè)［(s)與r(s)是平面E2中兩條以s為弧長(zhǎng)參數(shù)的曲線，且定義在同一個(gè)參數(shù)區(qū)間(a,b)上，K1(s)=k2(s)>0Vse(a,b)。則存在剛體運(yùn)動(dòng)T(X)=XT+P把曲線r(s)變?yōu)閞(s)，即r=T?！浮?112證明開(kāi)始：設(shè)0e(a,b)，考慮兩條曲線在s=0處的Frenet標(biāo)架｛r(0);t(0),n(0)｝與｛r(0);t(0),n(0)｝。111222

則存在平面E2中一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)7’把第二個(gè)標(biāo)架變?yōu)榈谝粋€(gè)標(biāo)架，即r與Tor在s=0處12的Frenet標(biāo)架重合。因此我們只須證明當(dāng)曲線r2(s)與,(s)在s=0處的Frenet標(biāo)架重合時(shí)，r=r。曲線Frenet標(biāo)架的標(biāo)架運(yùn)動(dòng)方程為dr/、=t(s)dsdt—=k(s)n(s)dsdn—=-k(s)t(s)ds~這是一個(gè)關(guān)于向量值函數(shù)r，t，n的常微分方程。曲線r(s)的Frenet標(biāo)架與,(s)的Frenet標(biāo)架都是微分方程組(1.6)的解。它們?cè)趕=0處重合就意味著這兩組解在s=0的初值相等，由解對(duì)初值的唯一性定理立即得到r=二。定理證明完成。習(xí)題三(P68)2(1)r(u,v)=(a(u+v),b(u-v),4uv)是什么曲面x=a(u+v)-x2V2y=b(u-v)n—-一=zn馬鞍面

a2b2z=4uvz.4.證明：曲面FU,—)=0的切平面過(guò)原點(diǎn)。xx一，Vz、證明：無(wú)妨假定方程F(▲,—)=0確定一個(gè)z=f(x,y)的隱函數(shù)，于是xxF-(VF-(Vz1F(y,-)=0n1xxyf1一號(hào))+烏.[(-f+-fx]=0F「([)+F?("=0,yF+zF

f=——1axxF2F

—1

F2f=-yi設(shè)r(x,y)=(x,y,f(x,y))，則=(1,0,f)=(1,0,吃；私1x(xF}x271=(0,1,。=]0,1,-F1nr△rxykyF+zF

——12xF

2F—蘆2fyF+zF

——12(xF2豈12所以，P(x,=(1,0,f)=(1,0,吃；私1x(xF}x271=(0,1,。=]0,1,-F1nr△rxykyF+zF

——12xF

2F—蘆2fyF+zF

——12(xF2豈12yF+zFFyF+zFyF+zF左=———1(0—x)+1(0—y)+(0—z)=——121=0=右xF2F2F2F2所以結(jié)論為真。6.證明：曲面S在P點(diǎn)的切平面TS等于曲面上過(guò)P點(diǎn)的曲線在P點(diǎn)的切向量的全體。p證明：設(shè)曲面S的參數(shù)方程為r=r(u,v),(u,v)eD，PMr(u,v),(u,v)eD。令0000(u(t),v(t))為參數(shù)區(qū)域D中過(guò)(u0,v0)則的參數(shù)曲線，r(t)=r(u(t),v(t))為曲面上過(guò)P點(diǎn)的曲線。于是牛|=r(u,v)當(dāng)+r(u,v)牛|dtpu00dtPv00dtP-都可由r(u,v)與r(u,v)線性表dtPu00v00TOC\o"1-5"\h\z_dr這表明曲線r(t)=r(u(t),v(t))過(guò)P點(diǎn)的切向量-_dr,_出?？梢?jiàn)過(guò)尸點(diǎn)的切向量dtlp都在過(guò)尸點(diǎn)的切平面上。另一方面，對(duì)于任意切向量w=Xr(u,v)+Wr(u,v)eTS，u00v00P在參數(shù)區(qū)域D中取過(guò)%v0)且方向?yàn)?="口)的參數(shù)曲線(u(t),v(t))=(u+人t,v+Wt)則此時(shí)，r(t)=r(u(t),v-都可由r(u,v)與r(u,v)線性表dtPu00v00從而drd!=r(u,v)X+r(u,v)W=w。這表明：在P點(diǎn)的切平面抒中每一個(gè)向量都是過(guò)尸點(diǎn)的某一曲線的位于尸點(diǎn)的切向量。于是：曲面S在P點(diǎn)的切平面￥等于曲面上過(guò)尸點(diǎn)的曲線在尸點(diǎn)的切向量的全體。25.求雙曲拋物面r(u,v)—(a(u+v),b(u-v),4uv)的Gauss曲率K，平均曲率H，主曲率k「k2和它們所對(duì)應(yīng)的主方向.)E=a2+b2+16v2，F(xiàn)=a2一b2+16uv，G=a2+b2+16u2。2解：由r=(a,b,4v)，r=(a,-b,4u)nrar=2(2b(u+v),-2a(u一v),-ab)，n=』，(2b(u+v),-2a(u一v),)E=a2+b2+16v2，F(xiàn)=a2一b2+16uv，G=a2+b2+16u2。2-8ab由r=0，r=(0,0,4)，r=0nL=N=0,M=』。于是Gauss曲率K:a2b2vLN一M264a2ba2b2EG一F2平均曲率H:h=^MF_平均曲率H:h=^MF_EG一F28ab(a2一b2+16uv)ab(a2一b2+16uv)(EG一F2)3/24b2(u+v)2+4a2(u-v)2+2a2b23/2因?yàn)镸<0，所以M2F2-(LN一M2)(EG一F2)M2EG八--―-—M、EH2一K=■>—-—勺—>0n'H2一K=，(EG-F2)(EG-F2)EG-F2所以主曲率k:1n'云一節(jié)-M(F+^EG)k=H+寸H2一K———Eg―F——-ab[(a2一b2+16uv)+J(a2+b2+16u2)(a2+b2+16v2)4b2(u+v)2+4a2(u一v)2+2a2b23/2對(duì)應(yīng)的主方向?yàn)槠渲衐u:dv=-(Kg-M):(%E一L)=-(k/一M):%E，其中kf一M=—MF(F+#G)—M(EG一F2)=一MF^EG-MEG1_EG一F2—EG一F2=一M頑(F+E)egk.EG—F21所以du:dv=-<G:、〔E=fa2+b+4u2:偵a2+b+4v2。同理另一個(gè)主曲率K:同理2

K廣H_、E=牛著abI(a2-b2+16uv)-J(a2+b2+16u2)(a2+b2+16v2)，[4b2(u+v)2+4a2(u—v)2+2a2b23/2對(duì)應(yīng)的主方向?yàn)?u:6v=\G:寫(xiě)E=\-a2+b2+4u2:<a2+b2+4v2。W(r)=二W(rv)=W(rdu+r注：設(shè)W：TpS—TpS為外恩格爾登變換，則acbd(d]kdv=nu=aru+brv|n(W(r),W(r))=(r,r)=—n=cr+W(r)=二W(rv)=W(rdu+racbd(d]kdvac(du'_bd_kdv/,=(r,r)W(rdu+rdv)=K(rdu+rdv)=(r,r)kac(du'=(r,r)K(du'nac(du'=K（du、bdkdv/uvkdv/_bdkdv/kdv/v(du)、dv/uvuv(r,r)(du)kJ。a—kc](du)(0)d—』"k0Jab'=KLG—MF—KEG—F2ME—LFMG—NFEG—F2NE—MF—KEG—F2(LG—MF)—k(EG—F2)MG—NF一(du'=(0'ME—LFNE—MF—k(EG—F2)kdvJk0)(L—kE)G—F(M—kF)MG—NF一(du'（0）ME—LF(N—KG)E—F(M—KF)kdv/=0k0JEG—F2ooG—FIIL-kEM-kFIfdu-FE\\M-kFN-kGIIdv\f0、=J一0jG-FIIL-kEM-kFIfdu1oEG—F2\-FE\\M-kFN-kGRdv\f0、=J<0jEFI-1-L-kEM-kF-fdu'f0、FG\M-kF\N-kG"dvJ=<0jokE-LkF-M(du，f0、[dvJ=<0jkG-Nodu:dv=-(kF-M):(kE-L)=-(kG-N):(kF-M)。補(bǔ)充：定理(1)函數(shù)人是主曲率的充要條件是(2)方向d=du:dv是主方向的充要條件是Edu+FdvLdu+MdvFdu+GdvMdu+Ndv=0(WW)。證明：(1)設(shè)du::dv是對(duì)應(yīng)的主方向，則有W(dr)=kdr，即-(ndu+ndv)=k(rdu+rdv)。分別用r,r與上式兩邊作內(nèi)積，得Ldu+Mdv=k(Edu+Fdv)，Mdu+Ndv=k(Fdu+Gdv)。所以主方向du:dv滿足J(人E-L)du+(人F-M)dv=0,j(XF-M)du+(kG-N)dv=0.由于du,dv不全為零，可得(2)在臍點(diǎn)，K=H2>0，M=HF，N=HG，方向。k=k=H。從而由II=HI可知L=HE，(WW)中的兩個(gè)方程成為恒等式。此時(shí)，任何方向都是主dr與不平行。dn

dt在非臍點(diǎn)，分別用人=%和