教育學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程課件

9.1數(shù)概念與數(shù)意識的形成過程皮亞杰的數(shù)概念學(xué)習(xí)理論：“數(shù)”是異于“物理性學(xué)問”與社會性學(xué)問”的所謂“規(guī)律——數(shù)學(xué)性學(xué)問”。他把數(shù)看做是一種“有序的分類”，也就是說，兒童必需能把握分類和序列性概念的規(guī)律操作才能了解數(shù)字。他認(rèn)為“數(shù)守恒”的力量是數(shù)學(xué)理解的先決條件，兒童到了六歲半左右才具備這樣的力量，假設(shè)不具備這樣的力量，就不算是對數(shù)目有真正的了解，所謂守恒概念是指物體的數(shù)或量不由于位置外形的轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變。蓋爾曼的兒童數(shù)概念理論蓋爾曼將學(xué)前兒童數(shù)學(xué)學(xué)問和技巧分成兩種形態(tài)1.數(shù)學(xué)抽象力量，數(shù)學(xué)抽象力量是幫助兒童建立數(shù)值概念2數(shù)學(xué)推理原則，它是幫助兒童對數(shù)量做進(jìn)一步的操作而得到有效的推理數(shù)概念的特點在全部數(shù)學(xué)概念中，離學(xué)生日常生活最近的是數(shù)概念和初等幾何概念，絕大多數(shù)的數(shù)概念都可以在現(xiàn)實生活中找到模型。正由于大多數(shù)的數(shù)概念都不貼近人類的生活源泉，因此，在數(shù)概念的教學(xué)中一般都可以借助于實際的情景和活動數(shù)概念是一個典型的過程性概念，也就是說它即使過程又是概念。數(shù)概念的這種兩重性一方面增加了概念的內(nèi)涵，另一方面也為教學(xué)供給了一種層次，使學(xué)生在具體操作的根底上，經(jīng)過壓縮和內(nèi)化，逐步形成作為對象的概念，并納入了已有的認(rèn)知構(gòu)造。過程概念的顯著特點是要經(jīng)受一個從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，與初等幾何概念不同的是，數(shù)概念的顯著特點是要經(jīng)受一個從過程壓縮為對象的抽象過程，因此，教學(xué)中雖然可以借助實際的模型操作，但又不能停留于具體的過程3表征的多樣性例0.5的表達(dá)表征方式的多樣性一方面可以為問題解決帶來敏捷性，但另一方面也簡潔造成理解上的混淆與誤會。爭論說明，對數(shù)概念符號的多重意義的生疏是幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)力量的一局部，因此如何幫助學(xué)生進(jìn)展數(shù)學(xué)符號與過程的意義是數(shù)學(xué)教育家目前最重要的課題之一外延的擴(kuò)張在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，數(shù)概念是一個典型的外延型概念，而且其外延經(jīng)過了屢次的擴(kuò)張。從規(guī)律上看，數(shù)系的擴(kuò)張有兩條主要的途徑：1、通過添加新的元素，如在正整數(shù)集合中參加數(shù)“0”就得到了自然數(shù)，從而使得兩個一樣的數(shù)可以相減；在自然數(shù)中參加負(fù)數(shù)就得到了全體整數(shù)2、等式抽象方法。這種方法的優(yōu)勢是能夠提醒數(shù)概念的本質(zhì)屬性，如從中可以看到，自然數(shù)看擴(kuò)張為整數(shù)的目的是現(xiàn)實加法的對稱化，整數(shù)向有理數(shù)的擴(kuò)張可以現(xiàn)實乘法的對稱化，而有理數(shù)向?qū)崝?shù)的擴(kuò)張則是為了連續(xù)化。數(shù)概念的形成從數(shù)系的角度看，數(shù)概念包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和復(fù)數(shù)。從學(xué)習(xí)心理的爭論來看，主要集中在有理數(shù)，特殊是自然數(shù)上，但是對虛數(shù)和無理數(shù)的爭論寥寥無幾。有理數(shù)概念是學(xué)生在小學(xué)階段遇到的最重要且最簡單的概念之一，其重要性從以下幾方面看出：1、實踐角度，能有效的處理這些概念將大大的改進(jìn)兒童理解和把握現(xiàn)實世界中的狀況和問題力量2、心理學(xué)角度，有理數(shù)概念為兒童供給一個豐富的領(lǐng)域，使他們能夠形成和擴(kuò)張今后智力進(jìn)展所必需的智力構(gòu)造3、數(shù)學(xué)角度，有理數(shù)的概念把握以后為以后初等代數(shù)計算供給了牢靠的根底自然數(shù)皮亞杰數(shù)守恒概念的特點1、相互性：某局部增加了就會抵消另一削減的局部，二者之間具有補(bǔ)償性用。2、同一性：自始至終設(shè)計同樣的數(shù)與量，沒有加多也沒有拿走任何東西3、逆反性：某一轉(zhuǎn)變狀態(tài)可以在心里以同等但反向的旋轉(zhuǎn)被逆反回到原來狀態(tài)皮亞杰的兒童對數(shù)概念的生疏三個進(jìn)展階段第一階段〔4-5歲〕是對數(shù)概念無法理解的階段，無法運(yùn)用一對一的對應(yīng)關(guān)系去建構(gòu)兩組有同樣數(shù)目的實物。其次階段〔5-6歲〕是過度時期，會運(yùn)用一對一對應(yīng)關(guān)系建構(gòu)同等數(shù)，但對于一對一關(guān)系不是充分理解第三階段〔6歲半以后〕是對數(shù)概念能真正理解的階段，兒童已能用各種方法建構(gòu)同等性，例如用數(shù)的，或用一一對應(yīng)的方式，并且也能理解守恒概念。不管外觀安排如何變化，都不會影響其對同等性的推斷蓋爾曼和蓋爾里斯特的計數(shù)原則〔1〕一對一原則：計數(shù)時要遵循“區(qū)分”和“標(biāo)記”這兩個過程。也就是集合中的每一個工程只能有一個數(shù)字標(biāo)記，且標(biāo)記不能重復(fù)?！?〕規(guī)定挨次原則：在每一次在計數(shù)時，計數(shù)的“標(biāo)記”必需是遵循同樣挨次，也就是在序列中消失的次序是固定的〔3〕基數(shù)原則：計數(shù)集合中最終一個工程的標(biāo)記，即代表此事物的工程總數(shù)〔4〕抽象原則：指以上三原則均可適用于任何可數(shù)的事物，即任何東西皆可拿來數(shù)，具體的椅子或抽象的心靈都可數(shù)〔5〕次序無關(guān)原則：只要遵守其他計數(shù)原則，集合中的工程無論從哪一個開頭數(shù)起，并不影響其結(jié)果上述五項原則，強(qiáng)調(diào)計數(shù)現(xiàn)象，但這并不意味著兒童能“明確且系統(tǒng)”的完成不同種的作業(yè)，這些力量的實際表現(xiàn)會漸漸統(tǒng)和而穩(wěn)定。斯蒂夫等人對兒童數(shù)數(shù)的進(jìn)展六個階段〔1〕數(shù)序。兒童將個數(shù)由1開頭依序念出，但是不知其意義。這是一種機(jī)械記憶〔2〕以知覺單位為計數(shù)對象。兒童開頭會數(shù)東西時只能數(shù)知覺單位〔3〕以心像單位為計數(shù)對象。以心中想象的東西作為數(shù)數(shù)的對象，稱為心像單位?！?〕以動作單位為計數(shù)對象。不數(shù)想象中的東西，而是數(shù)自己的動作〔5〕以語言單位為計數(shù)對象。本階段的數(shù)數(shù)行為必需有意識地掌握念數(shù)字之間開頭與完畢的時機(jī)〔6〕以抽象單位為計數(shù)對象。知道一個數(shù)字代表一個集合的數(shù)位值從20世紀(jì)70年月位值概念就始終是數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的一個爭論熱點，其中的一些重要成果：貝德納茲、詹妮弗的爭論覺察〔1〕學(xué)生把“個、十、百”的位值含義更多的依據(jù)位值挨次來理解〔2〕學(xué)生把借位的含義解釋為“刪去一個數(shù)位u，拿走一個，在下一個數(shù)位上加一”整數(shù)和小數(shù)之間的位值聯(lián)系對學(xué)習(xí)是有利的，但是兒童通常只留意整數(shù)方面而未能適應(yīng)小數(shù)方面對位值缺乏理解的學(xué)生在理解小數(shù)時有一段困難時期有色的籌碼是金錢常常被用來作為表示位值概念和運(yùn)算的操作工具，但是他們卻增加了的簡單性學(xué)生學(xué)習(xí)位值概念時產(chǎn)生錯誤的主要緣由是英語中位值系統(tǒng)的語言簡單性為了削減位值概念的教學(xué)困難，一些教學(xué)幫助工具便應(yīng)運(yùn)而生，最為著名的是狄恩斯的“狄氏多層算術(shù)積木”，他提出了以下四項原則：活動原則：教兒童玩積木時，首先就該任其自由的玩耍積木，讓他們了解積木的意義活動原則：數(shù)學(xué)變化原則。數(shù)學(xué)變量的變換狀況并不影響變量之間的一些恒定直覺變異原則：數(shù)學(xué)概念構(gòu)造不會由于知覺受體的轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變分?jǐn)?shù)圖形中整體的一局部子集——集合關(guān)系除法中等分除的商小數(shù)數(shù)軸上的一點比作為數(shù)學(xué)概念的分?jǐn)?shù)，由于表征形式的不同，而產(chǎn)生了多種意義，包括：萊什等人進(jìn)一步從有理數(shù)的子構(gòu)造的角度深入爭論了分?jǐn)?shù)的意義，除了上述六種意義外，他們還爭論了分?jǐn)?shù)作為“算子”的意義，把分?jǐn)?shù)看做是一個變換，給出了各種意義之間的關(guān)系〔下頁〕由圖可見：1.拆分和局部整體的子構(gòu)造是其他子構(gòu)造的根底2.子構(gòu)造中的比是促成把握等價概念的中介3.算子和度量子構(gòu)造在加法和乘法理解中具有重要的意義由于分?jǐn)?shù)具有多重的意義，而且這些意義之間具有肯定的層次性，因此，兒童分?jǐn)?shù)的形成不是一個簡潔的過程拆分和局部整數(shù)比算子商度量等價乘法解決問題加法分?jǐn)?shù)意義關(guān)系網(wǎng)皮亞杰對3-8歲兒童的分?jǐn)?shù)概念進(jìn)展過程：4歲——4歲半兒童對于將一個物品分為兩半特別困難，在分割之前沒有預(yù)想的打算或圖示4歲——6歲兒童對于規(guī)章的、小范圍的東西有分為兩半的力量，假設(shè)整體增加，分成一半緩慢6歲——7歲能過成功的實施三等分，不必利用試誤的方法10歲左右兒童能實施六等分，首先是以三等分法分一個餅，然后三塊餅進(jìn)展二等分赫伯特和特尼森爭論5—8歲分?jǐn)?shù)概念進(jìn)展情形改成長度模式為伯特爾和薩瓦達(dá)覺察，兒童處理等分長方形或圓形區(qū)域，其分?jǐn)?shù)概念的進(jìn)展挨次為哈特分?jǐn)?shù)概念理解的層次能用局部——全體來表示的分?jǐn)?shù)意義能利用子集——集合來表示分?jǐn)?shù)〔〕能利用等值分?jǐn)?shù)寫出分?jǐn)?shù)符號或圖標(biāo)能解決需要不止一個運(yùn)算的分?jǐn)?shù)問題分?jǐn)?shù)概念形成過程之中，有四個關(guān)鍵因素對單位量的認(rèn)知。處理分?jǐn)?shù)問題最重要的一個概念就是單位量確實認(rèn)具有等分割的概念，處理分?jǐn)?shù)問題的另一個重要的概念就是一個可以除盡的全體理解局部與整體之間的關(guān)系確認(rèn)單位重量〔數(shù)〕小數(shù)和分?jǐn)?shù)異同的比較小數(shù)知識（真）分?jǐn)?shù)知識類似（√）不同（×）A.小數(shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數(shù)存在B小數(shù)符號1.一個單位被分成幾個的數(shù)隱含在數(shù)字的位置中2.有多少等份表示在小數(shù)的量中3.整數(shù)僅可被分成10的冪次方A.分?jǐn)?shù)的值1.在0和1之間表達(dá)一個值2.整數(shù)被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數(shù)存在B分?jǐn)?shù)符號1.一個單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分?jǐn)?shù)的分子中3.整數(shù)可被分成任一個等份的數(shù)（√）（√）（√）（×）（×）（×）小數(shù)和整數(shù)學(xué)問的比較小數(shù)知識整數(shù)知識類似（√）不同（×）A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數(shù)的右邊增加“0”時，其值不變5.從小數(shù)點開始往右其值遞減B數(shù)位1.小數(shù)點以后名稱按數(shù)字次序讀出2.小數(shù)部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數(shù)字的順序是十分位，百分位，千分位，-----C讀法小數(shù)點左邊整數(shù)部分按照整數(shù)讀法，右邊的數(shù)字依數(shù)字次序讀出A.數(shù)值1.數(shù)字從5到右時，值會變小2.左邊數(shù)字是右邊相同數(shù)字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數(shù)的左邊增加“0”時，其值不變5.從小數(shù)點開始往左其值遞減B數(shù)位1.沒有小數(shù)點以后的數(shù)字2.從個分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數(shù)字的順序是千分位，百分位，十分位，-----C讀法依整數(shù)十進(jìn)制結(jié)構(gòu)讀出（√）（√）（√）（×）（×）（×）（×）（×）（×）小數(shù)概念的形成形成兩條根本途徑:1.通過分?jǐn)?shù)的“局部與整體”關(guān)系，或者利用整數(shù)的位值概念2.一位小數(shù)是記錄特別之幾的重量，兩位小數(shù)是記錄百分之幾的重量從整數(shù)的位值概念來看小數(shù)概念的形成位值彼此之間關(guān)系以10為基底的指數(shù)形式表示出位名--------千位百位十位個位位值---------數(shù)字--------為了使個位也能無限制地向右延長過去，可將指數(shù)范圍擴(kuò)大至負(fù)整數(shù);利用往左擴(kuò)展一位是乘以10的結(jié)果，因此往右擴(kuò)展一位除以10的結(jié)果，有了新符號〔小數(shù)符號〕及新位名的產(chǎn)生：指數(shù)小數(shù)位名=0.1特別位=0.2百分位-------1989年的《數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》1.能了解數(shù)的基本意義2.能探索數(shù)字之間的多重關(guān)系3.能了解數(shù)字的相對大小關(guān)系4.能了解運(yùn)算對數(shù)字的影響5.能發(fā)展參考物參考物來測量一般的物體2000年的《數(shù)學(xué)課程與評價標(biāo)準(zhǔn)》1.能了解數(shù)字及其表征的方法、數(shù)字之間的關(guān)系和數(shù)字系統(tǒng)2.了解運(yùn)算的意義以及運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)性3。流利的計算并做合理的估計

數(shù)意識形成與進(jìn)展

數(shù)意識的解釋，目前并不統(tǒng)一，幾種代表性的說法

湯普森和瑞特梅爾（數(shù)意識分成四種成分）1.能了解數(shù)字的意義與關(guān)系2.能了解數(shù)字的相對大小3能了解運(yùn)算對數(shù)字的影響4.能了解如何使用參考點于日常生活情景麥克英特（數(shù)意識包涵的六種能力）1.了解數(shù)字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數(shù)字能力3.了解運(yùn)算的意義和影響的能力4.了解并善用等值形式解題的能力5.發(fā)展計算和數(shù)數(shù)策略的能力6.運(yùn)用參考點的能力肖德恩數(shù)意識包含九種成分1.數(shù)字的分解與組合2.辨認(rèn)數(shù)字相對大小的能力3.處理數(shù)字絕對大小的能力4.使用參考點的能力5.以有意義的方式連接數(shù)字、運(yùn)算及相關(guān)符號的能力6.了解運(yùn)算對數(shù)字的影響7.以創(chuàng)新的方式進(jìn)行心算，使運(yùn)算更為方便的能力8.發(fā)展估算的能力，并指導(dǎo)何時估算是適當(dāng)?shù)?.使數(shù)字意義化的能力9.2運(yùn)算、估算技能與算法思想的形成9.2.1整數(shù)加減法的爭論運(yùn)算技能的形成乘除法的爭論分?jǐn)?shù)與小數(shù)的運(yùn)算加減法的爭論斯塔奇和格爾曼學(xué)前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應(yīng)有關(guān)加減運(yùn)算問題的基礎(chǔ)知識是所謂的部總知識1.部分和總體之間的運(yùn)算關(guān)系知識2.加法交換律知識3.加法和減法互補(bǔ)關(guān)系知識格里爾的教學(xué)主張1.算術(shù)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該關(guān)聯(lián)到廣泛情景2.重視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個算術(shù)基本運(yùn)算，一般都結(jié)合著一個隱藏的潛意識的、原始的直觀模式。當(dāng)解一個含有兩項數(shù)值資料的應(yīng)用問題時，對運(yùn)算的選擇并非直接發(fā)生，通過一個中介模式發(fā)生，且這個模式會對選擇過程加以一些限制乘除法的爭論小數(shù)與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算塔特蘇特分?jǐn)?shù)加法錯誤類型1.帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換假分?jǐn)?shù)的錯誤2.整數(shù)轉(zhuǎn)換為等值分?jǐn)?shù)的錯誤3.通分時轉(zhuǎn)換等值分?jǐn)?shù)的錯誤4.求公分母的錯誤5.加法程序的錯誤6.不會化簡或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘估算技能的形成強(qiáng)調(diào)估算技能的緣由——與數(shù)學(xué)應(yīng)用有關(guān)、源于對數(shù)意識的重視一個好的估算著至少應(yīng)有的素養(yǎng)重組：轉(zhuǎn)變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以便利心算轉(zhuǎn)換：把原有的構(gòu)造轉(zhuǎn)成更易處理的形式調(diào)整：計算中及后，可調(diào)整估算值至接近的近似值估算技能與心算技能親密相關(guān)，重視心算技能培育的緣由1.心算是大多數(shù)人運(yùn)用的主要的計算方式2.在大多數(shù)狀況下，心算是最簡潔易行的3.做心算有利于對數(shù)的特性的理解4.心算過程本身就是一種制造性的問題解決活動算法思想的初步形成算法的一般要求可以歸納為：

——算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性在小學(xué)階段學(xué)習(xí)算法的思想1.在世界范圍內(nèi)，算法都是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)內(nèi)容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種經(jīng)過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動化的5.算法是目標(biāo)指向的6.算法可以為計算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對于教師來說，算法易于處理與評價算法程序過早教學(xué)有一些不利因素算法程序常常與人們的習(xí)慣思維不一致算法的運(yùn)算會誘使學(xué)生放棄他們自己的想法算法不利于數(shù)意識的形成算法使學(xué)生習(xí)慣于依賴數(shù)字的空間排列算法會使學(xué)生盲目接受運(yùn)算的結(jié)果在實際生活中，書面算法很少使用9.3算術(shù)中的問題解決在探討小學(xué)生解決算術(shù)問題方面三種爭論方法：——個別交談、反響潛伏期、用手指和客觀直接仿照，或直接回憶加法表算術(shù)問題的根本類型及其解題策略1.加減法應(yīng)用題的根本類型2.乘除法應(yīng)用題的根本類型⑴乘：大小轉(zhuǎn)變、穿插運(yùn)算、比例因子⑵除：求同單位量之間的比率、求異單位量之間的比率、除數(shù)為異單位量之間比率的除法、除數(shù)為大小轉(zhuǎn)變因子的乘法、求反因子⑶四則運(yùn)算的統(tǒng)一分類：如馬紹爾將算術(shù)文字題分為五個類型：轉(zhuǎn)變、重組、比較、重復(fù)、變化算術(shù)問題的難度分析影響算術(shù)問題難度的主要因素：1、未知數(shù)的位置：在“轉(zhuǎn)變”類型中，不管是添加型或拿走行，未知數(shù)所在的位置越在前面，難度越高。是由于語意構(gòu)造與兒童解題的策略產(chǎn)生沖突2、語言的表述：解題的難度受題目中的表達(dá)語的不全都性的影響3、數(shù)字的形式：對于乘法應(yīng)用題來說，問題類型對學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式才是關(guān)鍵4、問題的構(gòu)造：學(xué)生在解決除法問題時往往會形成“等分模式”的思維定勢5、單位的變化6、問題的表征9.4數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的認(rèn)知分析認(rèn)知層次基倫分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)5個連續(xù)層面1.把分?jǐn)?shù)作為整體的一部分2.對一個事先分成若干的整體，通過數(shù)其中一部分的份數(shù)而得到分?jǐn)?shù)3.把整體平均分成若干，對整體的份數(shù)和部分的份數(shù)分別進(jìn)行計算4.通過數(shù)“份數(shù)”對兩個同分母分?jǐn)?shù)求和5.根據(jù)分?jǐn)?shù)加法原理，對兩個異分母分?jǐn)?shù)求和哈特從位值研究小數(shù)6個認(rèn)知層面1.千位數(shù)以內(nèi)的位值概念2.一位小數(shù)3.二三位小數(shù)4.與左邊的位值關(guān)系5.更復(fù)雜的位值關(guān)系6.從除的結(jié)果發(fā)展到小數(shù)之間的小數(shù)有無限多個德恩特蒙特小數(shù)學(xué)習(xí)的五個層面1.具體物的層次2.操作說明的層次3.程序的層次4.心智模式層次5抽象的層次難點解析小學(xué)的教學(xué)與有理數(shù)概念有關(guān)——多數(shù)進(jìn)展都產(chǎn)生于重要的認(rèn)知改組的初期——重要的質(zhì)變發(fā)生在那些用來描述這些構(gòu)造并使其模型化的表征系統(tǒng)中——表征系統(tǒng)的作用是迥異不同的