電氣基礎(chǔ)講義-材料力學(xué)2

材料力學(xué)電氣工程師執(zhí)業(yè)資格考試主講人：重要知識點回顧材料力學(xué)的一些基本概念一、4種變形形式：拉伸壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。二、變形固體的基本假設(shè)：連續(xù)性、均勻性、各向同性性、小變形原理三、應(yīng)力與應(yīng)變：正應(yīng)力與切應(yīng)力，線應(yīng)變與角應(yīng)變；四、確定內(nèi)力的方法：截面法轉(zhuǎn)化到理論力學(xué)靜力學(xué)平衡條件五、材料力學(xué)中基本變形的一般公式：1、強度、剛度、穩(wěn)定性與“載”、“幾”的公式：2、材料力學(xué)性質(zhì)與“載”、“幾”的公式：l

FNlEAmax

Mmax

FN

F

M

,

A

A

I

W

E

G

'

d

T

180

°d

x

GI

p

2、截面尺寸設(shè)計：計算最小截面尺寸。最大力幾何性質(zhì)3、確定 荷載：計算最大荷載允許強度、剛度載荷

允許強度、剛度最小幾何性質(zhì)重要的知識點回顧強度條件的重要應(yīng)用1、強度校核——驗證不等式是否成立。Amax

FN

？Amax

F

？bsbs

maxAFN

？'

d

d

xT

180°

'

GI

p

W

max

Mmax

解材料力學(xué)計算題一般步驟1、確定變形形式2、列方程本構(gòu)方程，強度、剛度、穩(wěn)定性與載幾；如需要變形，則可以列廣義

定律；3若涉及載荷，則使用靜力學(xué)方程，截面法轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問題；畫力的效應(yīng)圖，扭矩圖等4如涉及幾何性質(zhì)，如面積、變形，可嘗試列幾何學(xué)方程；（5）根據(jù)強度條件，列不等式。3、解不等式并求解所有集合的最優(yōu)解。（1）幾何求最小值；（2）載荷或應(yīng)力最大值。5.2剪切5.3扭轉(zhuǎn)5.4截面圖形的幾何性質(zhì)5.5彎曲應(yīng)力狀態(tài)分析和強度理論組合變形8.

壓桿穩(wěn)定5.1軸向拉伸與壓縮材

料

力學(xué)靜矩與形心慣性矩與慣性積慣性半徑平行移軸公式形心主軸和形心主慣矩常用簡單圖形的慣矩靜矩與形心慣性矩與慣性積慣性半徑平行移軸公式形心主軸和形心主慣矩常用簡單圖形的慣矩本次課程本節(jié)課程考點歸納：A、了解靜矩和形心（5.4.1）、軸慣性矩和慣性積的概念（5.4.2），熟悉簡單圖形靜矩、形心慣性矩和慣性積的計算（5.4.2）B、掌握軸慣性矩和慣性積的平行移軸公式及其應(yīng)用（5.4.4）C、準確掌握形心主軸和形心主慣性矩的概念（5.4.5），熟悉常見有一對稱軸的組合截面形心主慣性矩的計算（5.4.6）第421頁第四章截面的幾何性質(zhì)首先，看一個實例：第421頁第四章截面的幾何性質(zhì)首先，看一個實例：一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.第421頁第四章截面的幾何性質(zhì)首先，看一個實例：一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀），這時紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆,也不彎曲。第421頁第四章截面的幾何性質(zhì)首先，看一個實例：一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀），這時紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆,也不彎曲。在實際工程中發(fā)現(xiàn)，同樣的材料，同截面積，由于橫截面的形狀不同，構(gòu)件的強度、剛度有明顯不同。第四章截面的幾何性質(zhì)首先，看一個實例：一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀），這時紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆,也不彎曲。在實際工程中發(fā)現(xiàn)，同樣的材料，同截面積，由于橫截面的形狀不同，構(gòu)件的強度、剛度有明顯不同?？梢?材料截面的幾何形狀對強度、剛度是有一定影響的，研究截面幾何性質(zhì)的目的解決如何用最少的材料，制造出能承擔(dān)較大荷載的桿件的問題的.第421頁第421頁5.4.1

靜矩與形心一、靜矩的定義設(shè)平面圖形，第421頁5.4.1

靜矩與形心一、靜矩的定義設(shè)平面圖形，取zoy坐標系，取面積元dA，dAyzo第421頁5.4.1

靜矩與形心一、靜矩的定義設(shè)平面圖形，取zoy坐標系，取面積元dA，坐標為（z,y），dAyyzzo第421頁5.4.1

靜矩與形心一、靜矩的定義設(shè)平面圖形，取zoy坐標系，取面積元dA，坐標為（z,y），整個截面對z、y軸的靜矩為：——整個截面對z軸的靜矩；——整個截面對y軸的靜矩；dAyyzzosz

A

ydAAyzdAs

則為對z軸的合力矩，故稱為面積矩。若將

dA

理解為垂直于紙面的力，ydA

便是對z軸的力矩，szdAyyzzo則為對z軸的合力矩，故稱為面積矩。若將

dA

理解為垂直于紙面的力，ydA

便是對z軸的力矩，sz若形心坐標為

zc

,

yc

，靜矩也可寫成：cAzydA

A

ys

cyzdA

A

zAs

dAzcyycyzzo則為對z軸的合力矩，故稱為面積矩。若將

dA

理解為垂直于紙面的力，ydA

便是對z軸的力矩，sz若形心坐標為

zc

,

yc

，靜矩也可寫成：AAccz

Sy

,

y

SzcAzydA

A

ys

cyzdA

A

zAs

dAczyycyzzo則為對z軸的合力矩，故稱為面積矩。性質(zhì)：若將

dA

理解為垂直于紙面的力，ydA

便是對z軸的力矩，sz若形心坐標為

zc

,

yc

，靜矩也可寫成：A

Accz

Sy

,

y

SzcAzydA

A

ys

cyzdA

A

zAs

1、同一截面對不同軸的靜矩亦不同；靜矩可以是正、可以是負或零；2、單位：mm3

,cm3

；3、當(dāng)坐標軸原點過形心，zc

yc

0,sz

sy

0

；反之，若

sx

sy

0

，坐標軸原點必過截面形心。dAczyyyczzo二、形心位置的計算形心位置：對面積連續(xù)分布的（非組合圖形）圖形：A

y

sz

cAAA

A

ydAsz

c

A

zdAySzc

y

A,

yc

Sz

A對組合圖形：iic

Aiiyci

Ai

yc

i

z

A

Ai

i

zciy

ci

iS

z

AiSz

yci

Aiizci、yci

第i個分圖形的形心坐標Ai

第i個分圖形的面積；例1，求四分之一圓截面對z,y軸的形心位置?Rzzoyy例1，求四分之一圓截面對z,y軸的形心位置解：取如圖示的坐標系,先求sx

,

sysz

A

ydA

y

z

dy

0

2

R3

sin

cos2

d

3R34R3A

R2

3cy

sz

3

4RdyRyzozysz

A

zdA

z

y

dzdzyzy

Ro

zz

R

cosy

R

sin

dy

R

cosd

R

cos

R

sin

R

sin

d

o23

2

R

cos

sin

dA

3cz

sy

4R2

R3

1sin3

3

o例2：如圖由兩個矩形截面組的T形截面，y軸為對稱軸，z，y軸的靜矩。

27050mm

,21

2A

300

30mm

,

A250yzo30030270例2：如圖由兩個矩形截面組的T形截面，y軸為對稱軸，z，y軸的靜矩。解：因為是組合圖形,又關(guān)于軸對稱，故有：2

27050mm

,Sy

zci

Ai

0，（iz1

z2

0）22705

2

30

270

50

23.625

10 (

mm

)

,i

15

300

30

21

2A

300

30mm

,

A50ysz

yci

Ai

y1

A1

y2

A2zo30030270例3

試計算圖示T型截面的形心位置。yCyCzCCzzCzCyC602060y20zyCyCzCCCzzCyyC60206020例3

試計算圖示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需計算yC將截面分為I、II兩個矩形，建立坐標系。各矩形的面積和形心坐標如下：A

A

20mm

60mm=1200mm2

yC

10mmyC

50mmCi

CA

y

A

yCy

i

30mmA

A1200mm2

10mm1200mm2mm2

50mmmm2

Ai

yC

A于是：第422頁——平面圖形對z,y軸的慣性積;而5.4.2慣性矩和慣性積一、慣性矩的定義------面積對坐標軸的二次矩.設(shè)一平面圖形，取一元面積dA，坐標為(z,y)，距原點的距離為

，方位角，定義：Iy

A

z2dA

;Iz

A

y2dA

;AA2I

I

z

y2

dA

2dAz

y定義：I

A

2dA

極慣性矩.dAyyzIzy

A

zydAzo對y軸的慣性矩.對z軸的慣性矩.二、性質(zhì)正負值與坐標軸的位置有關(guān)。可以看成是轉(zhuǎn)動慣量。2、單位：(長度)4；例4

：計算直徑為d的圓截面對形心軸z,y的慣性矩和慣性積。yz1、Iz、Iy恒為正，Izy

可正、可負、也可以為零，其二、性質(zhì)1、I

z、Iy

恒為正，Izy

可正、可負、也可以為零，其正負值與坐標軸的位置有關(guān)?？梢钥闯墒寝D(zhuǎn)動慣量。2、單位：(長度)4；例4

：計算直徑為d的圓截面對形心軸z,y的慣性矩I

y2dAz

Ado

o

2

2

2

sin

2

d

dodo23

22d

d

sin

zd(z、y）（z、y）d

1214

2

0d20

4解一：用平面極坐標(r,

).

dA

d

dy

sin;z

cos.和慣性積。ydAd

4

4

2

64

d

41

cos

2

d

解二：取yoz坐標系。取微面積dA=2zdy,則：4

64RAAR2

y2-

R2

y2Iz=

y2dA=

y2dydz=

dy-Ry2dz=πD464I

y

I

z

z2

I

y

.

z2

)dA

IZIP

A

dA

2

(

y2ARR

2

R4

D4=

2

y

R2

y2

dy

由對稱性：由幾何關(guān)系：ρ2＝y(tǒng)2ydAdyyzRcz對過形心的一對軸的慣性積64

1：由于對稱：Iz

I

y

d

41極慣性矩：I

I

z4

I

y

2I

z

2I

y

32

d22

cos

sin

dd

0I

zydA

dzy

o

o因坐標軸是對稱軸，如對左右的dA（如上圖），zydA

zydA

0結(jié)論：截面 一根對稱軸，則截面對這根軸與另一根與之垂直的軸的

I

zy

0

.例5

求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。12y2bdy

bh3h

/

2zI

y2

dA

A

h

/

212hb3Ayb

/

22I

z

dA

z

2hdz

b

/

2取微面積dA=hdz,則：取微面積dA=dzdy，則：I

zy

0dzcyzdyhyZZ

b

例5

求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。解：取yoz坐標系。取微面積dA=bdy,則：面積對z軸的慣性矩求和，因質(zhì)量連續(xù)分布，求和則為積分。12zI

1

bh312yI

1

hb3對矩形截面，過形心軸的慣性矩：yb若為組合圖形，對z軸，y軸的慣性矩：zohiI

z

Izii，Iy

I

yiz因

I

y2

dA,

元面積對z軸的慣性矩就等于將各元應(yīng)用于圓環(huán)的情形,可看成兩個圓形截面，I

I

I

Iz

Iy

2Iz

2Iy1

2432

642

32I

z

I

y

2

1

D4

d

4

D4I

式中的

d

.D

（1

）第423頁5.4.3慣性半徑例5 中的矩形截面：z

zr

A

I2

I

rz

yyr

2

A

IAzAI

yyr

hIz2

312bh3

0.289hb

h

z

12

hAr

Azr如以r表示某一截面對某軸的慣性半徑，定義yyrzoybzoh例子6：試計算圓弧右上方陰影部分面積的慣性積I

zy

.ryzBACD例子6：試計算圓弧右上方陰影部分面積的慣性積解：因為慣性矩與慣性積微元面積的慣性矩或慣性積之和所以I

zy

.zyzyzyI

I

r

I

ABCDryzBACDr

4

r

4

r

44

8

8I

zy

.122zdz

10200

0020rr

y2

2r

2

y2r

ydyrr

2

y2A

0rzyI

rr4dyyzyzdydzyzdA

2y（r

y

）dy

;840

0

ArrI

ABCDr

4zydydz

;zydA

zy第423頁dAycbyzzo'z'z',

y'y'a由圖知：z

b

zy

a

y22z

b

dAI

z dA

y

A

A

A

z2dA

2zbdA

A

b2dAA

I

y

0

b2

AI

y

I

y

b2

A5.4.4平行移軸公式一、公式如圖示：任一平面過形心c的坐標系zoy

，截面對該軸的為Iz

,I

y

,I

zy

,與zoy

平行的坐標系為zoy

，截面對該軸的為I

z、Iy、Izy.結(jié)論：截面對與形心軸平行的任意y

軸的慣性矩等于截面對過形心軸y

的慣性矩加上

b2

A

.

a2

A同理可得：Iz

IzIzy

A

zydA

z

by

adA

A

zydA

A

zadA

A

bydA

A

ab

dA

I

z

y

0

0

a

b

Ac

cI

zy

I

z

y

ab

Ac

c平行移軸定理：截面對平行于形心軸的其它任意軸的慣性矩等于該截面對形心軸的慣性矩加上其面積乘以兩軸之間距離的平方。性矩和截面對z軸的慣性半徑.意義:提供了計算平面圖形對平行于形心軸的其它軸的I

z

,I

y

,I

zy

的方法;也可反算對形心軸的慣性矩及慣性積例子:求矩形截面對邊界軸z

軸的慣

bh3Iz12解：zz2

h

b

h

2

bh3

h3

b

1

bh312

4

3ybzhcz'I

Iy'31

bh33I

zhrz

3

132

h

0.577h

rz

0.289h.Ab

h二、組合截面的慣性矩及慣性積公式:I

I

,

I

z

zi

y

I

,

I

yi

zy

Iziyii

ii例子7:求下平面圖形的

I

z

?2a

10040yzc2d40d

80zc3二、組合截面的慣性矩及慣性積公式:半圓對過形心軸的慣性矩,I

zi

y

yi

zyz

I

,

I

I

,

I

Iziyii

i

i1例子7:求下平面圖形的

I

z

?解：圖由一個矩形和兩個半圓組成,設(shè)矩形的慣性矩為Iz3121d2aIz1

7125.3310

mm8021003

cz4

2

c2I

z

729

2

64

d

2，每個半圓的為Iz,2a

10040ycd

8040zc2d3z所以8I

z

I

z

2

c2

3.47

107

mm42d

2

a

3

d

2Iz

Iz

2Iz

(兩個半圓的

）1.22710

8

mm

4125.4.5形心主軸和形心主慣矩：一、主慣性軸與主慣性矩定義：截面對一對坐標軸的慣性積為零，則這一對坐標軸稱為主慣性軸，截面對主慣性軸的慣性矩即為主慣性矩。二、形心主慣性軸和主慣性矩定義：截面對過形心的一對坐標軸（互相垂直）的慣性積為零，則這一對軸稱為形心主慣性軸，平面對形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。由上知要確定形心慣性軸，必須先求I

zy

,再令其為零為方便，先求平面對z、y軸的Iz

,I

y

,Izy

,它轉(zhuǎn)過一個角度

的Iz1

,

I

y1

,

I

z1y1。由此計算相對第423頁面元dA的坐標（z、y）與轉(zhuǎn)軸公式的推導(dǎo)：設(shè)平面對zoy坐標系的為I

z

,I

y

,Izy

平面對z1o1

y1坐標系的I

z1

,I

y1

,I

z1y1

z1,

y1二者之間的關(guān)系為：z1

OC

OE

BD

z

cos

y

sin

y1

y

cos

x

sin

AD

CDEB22A

1

Az1I

y dA

y

cos

z

sin

dA

A

y2

cos2

dA

z2

sin2

dA

2

zy

cos

sin

dAA

A

cos2

y2dA

sin

2

z2dA

2sin

cos

zydAA

AA

cos2

I

sin

2

I

2

sin

cosIz

yzyI

z2dA

cos2

I

sin

2

I

2sin

cosIy1

A

1

y

z

zyIz1y1

A

z1

y1dA

cos2

I

zy

sin2

I

zy

sin

cos

Iz

sin

cos

I

y利用221212cos

1

cos

2

sin

1

cos

2

2

sin

cos

sin

2cos

222

2sin

2

zy

z1y1zyy1

z1

I

y

sin

2

I

I

zI2zyI

y

cos

2

Isin

2

公式轉(zhuǎn)軸I

I

y

cos

2

I

I

z

I

y

I

zzy2I

I

IzI結(jié)論：平面對同一原點的不同的一組互相垂直的坐標軸的慣性矩之和是一常數(shù)。三、主慣性軸及主慣性矩的求解將Iz1與I

y1相加得：I

z1

I

y1

I

z

I

y

常數(shù)由

I

z1

y1

0

求解：即2

I

zy

cos

20

00

z

y

sin

2I

Iz

y

2I

zyI

I0tg2因

在0

~

2

內(nèi)變化，

不同對應(yīng)不同的坐標系，從而有不同的Iz

,I

y

，其中必有一對值最大,對慣性軸的慣性矩最大。?且因

,其中1個極大，1個為極小。

1d可由dIz1

0

確定.

1d

0

及dI

y1I

z1

I

y1

c在0

~

2

內(nèi)有兩個0

值滿足上式，0

的具體確定：（1）先設(shè)一角度1

01

0Iz

I

y

2Izy即tg

（2）再由分子

2I

及Izy

z一個象限;

I

y的正負，判斷

20

在哪如:2Izy

0,Iz

I

y

0,20在第一象限,20

;

;?（極大）2Izy

0,Iz

I

y

0,20在第二象限,20

180

;2Izy

0,Iz

I

y

0,20在第三象限,20180

;2Izy

0,Iz

I

y

0,20在第四象限,20

確定了0

后，再將0

代入式4—11中求得對主慣性2zyzoI

I

22

軸的主慣性矩I

I

I

I

z y

z y

222

zyI

z

I

y

I

z

I

y

2I

yo

I

2極小

說明：主軸的慣性矩是圖形對一點的所有坐標軸慣性矩中的極大值和極小值。證明：利用00tg201

tg2

2sin

2

0011

tg2

2，

cos

2

002zyzoI

I

y

cos

2

I

sin

2

I

y

I

y

Iz22zy

tg2

1

tg2

21

tg2

22

I

z

I

y

I

z

I

y

1

I122zyz

yzyzy4I

2（Iz

I

y）24I

2（Iz

I

y）21I

I

2Izy

I1I

z

I

yI

z

I

y2222zyzyzyz

yyzI

2

z y

I

2

I

I

2

z y

I

2

I

I

2I

I

I

I22222z

yz

y

zyzyz

yzyz

yI

I

I

I

4I

2I

z

I

y

2IzyI

I

2I

I

4I

2

I

z

I

y

I

z

I

y

1

I222zyzy2zyz

yyz2I

I

4II

I

I

Iz

y

z y

I

I

I

I（I

I

）2

4I

2z

y

zy222zyz

y

I2zy

z

y2

I

I

21I

I

IIz

Iy

42zyzoII

I

2Iz

Iyz

y

I

222zyyzI

I

4I

12

22

Iz

Iy00cos

22zy

I

z

I

y

I

z

I

yyoI

I

sin

200122tg20zy1

tg2

2

I1

tg2

22

I

z

I

y

I

z

I

y222122zyz

yzyz

yzy4I

2I

z

I

y1

I

I

2Izy

II

I

2I1

I

z

I

y

I

z

I

y22211222zyyzzy2zyz

yz

yyzI

I

4I2I

2I

I

4II

I

I

I

22142zyzyzyy2zyzI

2

I

2z y

2

I

I

I

2zy

2

I

II

I

I

I2zyyoI

I

22I

I

I z

I yz y

2實際上，求出了Izo，Iyo

Iz

Iy

Izo組合圖形截面的形心主慣性軸及形心主慣性矩的計算1、求形心位置，定初始參考軸z、y，將圖形拆開，求各自的形心坐標，再在形心c處作兩根平行于z、y的zc

,yc

軸，不一定為主軸；ci

ciy2、求各圖形對自己形心軸的

Izci、Iyci、Iz

進而求組合圖形的。求0

，即確定主軸；3、由Izcyc

04、求對主軸的Izo

,Iyo

。例8：求形心主慣性矩zoy1、求組合圖形的形心坐標cA1

A2z

A1z1

A2z2例8：求形心主慣性矩解：圖分成兩塊，取參考坐標系

zoy

，Ⅰ、Ⅱ兩塊的形心如圖示；o

zy1201080101012010120

80101010

2

2

40mm?2

212010

801010

1201010

80

101080

10

10cA1

A2y

A1y1

A2y2

20mm2、取形心坐標系zccyc

，利用平行軸定理求Izc

,Iyc

,Izcyc

,a1

yc

102

205

15mm22

a

10

70

20

4520

25mm21

cb

120

z

6040

20mm2

c2

b

z

10

40

5

35mmIzc

Iz1

Iz22

2

A

a2

I

Aa2

Izc1

1

1zc21212310

80108010

252

1

10

120103100.4104

mm42

2yc2yc

y1

y2

yc1 1

122I

I

I

I

Ab

I

Ab1781.093

297.3104

194.6100.4

278.4104

47.54Iz

Iy

2Izytg

12

12801010352

278.4104

mm4

1

101203

1

8010103

0

a

b

A

0

a

b

A

97.3104

mm41

1

1

2

2

23、求形心主慣性軸的位置

A1a1b1

Iz

y

A2a2b2c

2

c

2Iz

yc

Iz

yc c1

c1因分子分母均為負，故20

180

227.54（在第三象限）

113.84、求對形心主慣性軸的慣性矩?22

22zcycyczcIzoI

yo4

4

32110

mm57.6104

mm3I

I

4I

Izc

I

yc

1第424頁5.4.6

簡單常用圖形的慣矩小結(jié)1.靜矩ASz

A

ydA,

S

y

zdA2.形心AACC

S

yy

Sz,

z3.慣性矩AAI

z

22y

dA,

I

y

z

dA4.慣性積

A

zydAI

zy5.平行移軸公式I

I

abAzC

yCxyyCyzCzI

I

a

2

AI

I

b2

A6.轉(zhuǎn)軸公式22

2sin

2

2y1zyz1y1zyzyz1

I

y

sin

2

I

cos

2

I

z

I

y

cos

2

I

sin

2

2

I

z

I

y

I

zII

I

y

cos

2

I

I

z

I

y

I

zI學(xué)的怎么樣？靜矩與形心慣性矩與慣性積慣性半徑平行移軸公式形心主軸和形心主慣矩常用簡單圖形的慣矩本節(jié)要點：A、了解靜矩和形心（5.4.1）、軸慣性矩和慣性積的概念（5.4.2），熟悉簡單圖形靜矩、形心慣性矩和慣性積的計算（5.4.2）B、掌握軸慣性矩和慣性積的平行移軸公式及其應(yīng)用（5.4.4）C、準確掌握形心主軸和形心主慣性矩的概念（5.4.5），熟悉常見有一對稱軸的組合截面形心主慣性矩的計算（5.4.6）?本節(jié)知識點較多，掌