材料力學(xué)講義1128T8

材料力學(xué)講授:顧志榮同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院

顧志榮第八章彎曲變形

材料力學(xué)回顧：彎曲內(nèi)力——在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力——在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。

本章:

彎曲變形——在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。第八章彎曲變形

研究彎曲變形的目的（1）剛度計算；（2）解簡單的超靜定梁。本章的基本內(nèi)容：一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定；二、撓曲線及其近似微分方程三、計算彎曲變形的兩種方法

(1)積分法(2)疊加法四、剛度條件提高梁彎曲剛度的措施五、用變形比較法解簡單的超靜定梁。第八章彎曲變形

一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定第八章彎曲變形

梁的撓度和轉(zhuǎn)角ypxcw1、度量彎曲變形的兩個量：（1）撓度：梁軸線上的點在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移ω稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）（2）轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對于原來橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過的角位移θ稱為轉(zhuǎn)角。第八章彎曲變形/一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定

梁的撓度和轉(zhuǎn)角ypxcw（2）撓度的符號規(guī)定：向上為正，向下為負。2、符號規(guī)定：（1）坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。（3）轉(zhuǎn)角的符號規(guī)定：逆時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；順時針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負。W（-）θ（-）第八章彎曲變形/一、彎曲變形的量度及符號規(guī)定

第八章彎曲變形

二、撓曲線及其近似微分方程1、撓曲線：在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。軸線縱向?qū)ΨQ面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）第八章彎曲變形/二、撓曲線及其近似微分方程

MAB＝MCD＝0MBC＝const答案D2、撓曲線的特征：光滑連續(xù)曲線(1)2、撓曲曲線的的特征征：光光滑連連續(xù)曲曲線(2)FA＝0FB＝0MCD＝const答案DABCD2、撓曲曲線的的特征征：光光滑連連續(xù)曲曲線(3)pplpplpplpplFA＝0pplABCDMBD＝constFB＝P答案C力學(xué)公式數(shù)學(xué)公式1＝MEI純彎曲橫力彎曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－3、撓曲線的的近似微分分方程(1)曲率與彎矩矩、抗彎剛度度的關(guān)系小撓度情形形下此即彈性曲線的的小撓度微微分方程橫力彎曲1（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)2<<1＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）2owxMM選取如圖坐標(biāo)系，則彎矩M與恒為同號(2)撓曲線近似似微分方程程符號及近近似解釋MEI＝d2dx2（x）近似解釋：：（1）忽略了剪剪力的影響響；（2）由于小變變形，略去去了了曲線方程程中的高次次項。22(3)選用不同坐坐標(biāo)系下的的撓曲線近近似微分方方程＝d2dx2M(x)EIM(x)EI＝d2dx2第八章彎彎曲變形三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法1、積分法——基本方法利用積分法法求梁變形形的一般步步驟：（1）建立坐標(biāo)標(biāo)系（一般般：坐標(biāo)原原點設(shè)在梁梁的左端）），求支座座反力，分分段列彎矩矩方程；分段的原則則:①凡載荷有突突變處（包包括中間支支座），應(yīng)應(yīng)作為分段段點；②凡截面有變變化處，或或材料有變變化處，應(yīng)應(yīng)作為分段段點；③中間鉸視為為兩個梁段段間的聯(lián)系系，此種聯(lián)聯(lián)系體現(xiàn)為為兩部分之之間的相互作用用力，故應(yīng)應(yīng)作為分段段點；第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法(2)分段列出梁梁的撓曲線線近似微分分方程，并并對其積分分兩兩次對撓曲線近近似微分方方程積分一一次，得轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角方程：：再積分一次次，得撓曲曲線方程：：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法(3)利用邊界條條件、連續(xù)條件確確定積分常常數(shù)①積分常數(shù)數(shù)的數(shù)目——取決于的分分段數(shù)M(x)——n段積分常數(shù)——2n個舉例：分2段，則積分分常數(shù)2x2=4個第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法②積分常數(shù)數(shù)的確定——邊界條件和和連續(xù)條件件：邊界條件：梁在其支承承處的撓度度或轉(zhuǎn)角是是已知的，，這樣的已已知條件稱稱為邊界條條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線線是一條連連續(xù)、光滑滑、平坦的的曲線。因因此，在梁梁的同一截截面上不可可能有兩個個不同的撓撓度值或轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角值，這這樣的已知知條件稱為為連續(xù)條件件。邊界條件積分常數(shù)2n個=2n個連續(xù)條件第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法邊界條件：：連續(xù)條件：：例題：列出出圖示結(jié)構(gòu)構(gòu)的邊界條條件和連續(xù)續(xù)條件。第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法例題：列出出圖示結(jié)構(gòu)構(gòu)的邊界條條件和連續(xù)續(xù)條件。解：邊界條條件：連續(xù)條件：：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法④積分常數(shù)數(shù)的物理意意義和幾何何意義物理意義：：將x=0代入轉(zhuǎn)角方方程和撓曲曲線方程，，得即坐標(biāo)原點點處梁的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角，它的的EI倍就是積分分常數(shù)C；即坐標(biāo)原點點處梁的撓撓度的EI倍就是積分分常數(shù)D。幾何意義：：C——轉(zhuǎn)角D——撓度(4)建立轉(zhuǎn)角方方程和撓曲曲線方程；；(5)計算指定截截面的轉(zhuǎn)角角和撓度值值，特別注注意和和及及其所在截截面。第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法AqBL例題懸臂梁受力如圖所示。求和。X``yx取參考坐標(biāo)系系A(chǔ)xy。解：1、列出梁的的彎矩方程程2、積分一次：：積分二次：：（1）（2）第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法3、確定常數(shù)數(shù)C、D.由邊界條件件：代入（1）得：代入（2）得：代入（1）（2）得：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法代入得：將（與C比較知：）（與D比較知：）常數(shù)C表示起始截截面的轉(zhuǎn)角角×剛度(EI)因此常數(shù)D表示起始截截面的撓度度×剛度(EI)第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法例題一簡支梁受受力如圖所所示。試求求和和。。ALFCabyx解：1、求支座反反力x2、分段列出出梁的彎矩矩方程BC段xAC段B第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法BC段AC段3、確定常數(shù)數(shù)由邊界條件件：（1）（2）由光滑連續(xù)續(xù)條件：（3）（4）可解得：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法則簡支梁的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角方程和和撓度方程程為BC段AC段4、求轉(zhuǎn)角代入得：代入得：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法5、求。求得的位置值x。則由解得：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法代入得：若則：在簡支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過3%。第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法積分法求梁梁變形舉例例：用積分分法求圖示示梁的、、、、、：第八章彎彎曲變形/三、計算彎彎曲變形的的兩種方法法分段建立彎彎矩方程：：AB段：（0<x1≤)BC段：（）第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法二、分段建立立近似微微分方程程，并對對其積分分兩次：：AB段：即：………………（1）……（2）第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法BC段：………（3）…（4）第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法三、利用邊界條條件、連連續(xù)條件件確定積積分常數(shù)數(shù)由邊界條條件確定定C1、D1：當(dāng)當(dāng)時，,由（1）式得C1=0；時，,由（2）式得D1=0。由連續(xù)條條件確定定C2、D2：第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法當(dāng)時，,即聯(lián)立(1)、(3)式子：，當(dāng)時，，即聯(lián)立立(2)、(4)式：即得：D2=0第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法四、分段建立立轉(zhuǎn)角方方程、撓撓曲線方方程：AB段：……………………………（5）…………………………（6）BC段：……………（7）……（8）第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法五．求梁梁指定截截面上的的轉(zhuǎn)角和和撓度當(dāng)時，由（（5）式得，，由（6）式得，，當(dāng)時，由（（7）式得，，由（8）式得，，第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法疊加法前前提小變形力與位移移之間的的線性關(guān)關(guān)系撓度、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角與載載荷（如如P、q、M）均為一次次線性關(guān)關(guān)系軸向位移移忽略不不計。2、疊加法法——簡捷方法法須記住梁梁在簡單單荷載作作用下的的變形——撓曲線方方程、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角、撓撓度計算算公式。。第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法疊加法的的兩種處處理方法法：（1）荷載疊疊加：疊加原理理：在小變形形和線彈彈性范圍圍內(nèi)，由由幾個載載荷共同同作用下下梁的任任一截面面的撓度度和轉(zhuǎn)角角，應(yīng)等等于每個個載荷單單獨作用用下同一一截面產(chǎn)產(chǎn)生的撓撓度和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角的代代數(shù)和。。第八章彎彎曲變變形/三、計算算彎曲變變形的兩兩種方法法www已知：q、l、EI求：wC,B例題www例題怎樣用疊加法確確定C和wC?wwwwwwww（2）逐段剛化法法：例題:試用疊加法求求圖示階梯形形變截面懸臂臂梁自由端C的撓度由于梁的抗彎彎剛度EI在B處不連續(xù)，若若由撓曲線微微分方程積分分求解，須分分段進行，工工作量較大。?？捎茂B加法法求解。假定AB段剛化，研究自由端C對截面B的相對撓度;2.解除AB段的剛化，并令BC段剛化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1)(243)2(331-=-=EIPlEIlPwcwBPMB=Pl/2ABCwc2wB懸臂梁BC由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因AB段的彎曲變形而移位到的位置，使C點有相應(yīng)的撓度將圖（b）和（c）兩種情況的變變形疊加后，，即可求得自自由端C的撓度這種分析方法法叫做梁的逐逐段剛化法。。APMB=Pl/2BCwc2wBpcBwc1p

例題:用疊加法求AB梁上E處的撓度wE=wE1+wE2=wE1+wB/2wE1pwE2pwB=?wB=wB1PPpl+wB2+wB3WB2=CC'WB3=C‘C''第八章彎曲曲變形四、剛度條件提提高梁彎曲剛剛度的措施剛度條件：[w]——許用撓度，[]——許用轉(zhuǎn)角工程中，[w]常用梁的計算算跨度l的若干分之一一表示，例如如：對于橋式起重重機梁：對于一般用途途的軸：在安裝齒輪或或滑動軸承處處，許用轉(zhuǎn)角角為：第八章彎曲曲變形/四、剛度條件件提高梁彎彎曲剛度的措措施梁的變形除了與載載荷與梁的約約束有關(guān)外，，還取決于以以下因素：材料——梁的變形與彈彈性模量E成反比；截面——梁的變形與截面的慣性矩成反比；跨長——梁的變形與跨跨長l的n次冪成正比第八章彎曲曲變形/四、剛度條件件提高梁彎彎曲剛度的措措施(1)減小跨度，增增加支座，或或加固支座。。例如受q作用的簡支梁梁：方法：增加支座：LABqLABq第八章彎曲曲變形/四、剛度條件件提高梁彎彎曲剛度的措措施加固支座：LABqLABq(2)選用合理截面，。常采用工字形形、箱形截面面，以提高慣慣性矩。與強強度不同的是是要提高全梁或大大部分梁的慣慣性矩，才能能使梁的變形形有明顯改善善。(3)合理安排載荷作用點，以降低。方法：使載荷盡量靠靠近支座，載載荷大多數(shù)由由支座承擔(dān)。。例如：AlFCa(4)其它：因鋼的E基本相同，所所以材料的楊楊氏模量對變形影響不大大。第八章彎曲曲變形五、用變形比比較法解簡單單超靜定梁1、超靜定的概概念2、用變形比較較法解簡單超超靜定梁的基基本思想：(1)解除多余約束束，變超靜定定梁為靜定梁梁；(2)用靜定梁與超超靜定梁在解解除約束處的的變形比較，，建立協(xié)調(diào)方方程；(3)通過協(xié)調(diào)方程程（即補充方方程），求出出多余的約束束反力。3、簡單超靜定定梁求解舉列列。第八章彎曲曲變形/五、用變形比比較法解簡單單超靜定梁超靜梁—未知力的數(shù)目目多于能列出出的獨立平衡衡方程的數(shù)目目，僅利用平衡方方程不能解出出全部未知力力，則稱為超超靜定問題（（或靜不定問題））。超靜次數(shù)=未知力的數(shù)目目-獨立平衡方程程數(shù)BqL4個約束反力，，3個平衡方程，，靜不定次數(shù)=11、超靜定的概概念第八章彎曲曲變形/五、用變形比比較法解簡單單超靜定梁2、用變形比較較法解簡單超超靜定梁的基基本思想：(1)確定超超靜定定次數(shù)數(shù)。(2)選擇基基本靜靜定梁梁。靜定梁梁(基本靜靜定基基)——將超靜靜定梁梁的多多余約約束解解除，，得到到相應(yīng)應(yīng)的靜定定系統(tǒng)統(tǒng)，該該系統(tǒng)統(tǒng)僅用用靜力力平衡衡方程程就可可解出出所有有反力力以及內(nèi)力力。多余約約束—桿系在在維持持平衡衡的必必要約約束外外所存存在的的多余余約束束或多多余余桿桿件件。。多余余約約束束的的數(shù)數(shù)目目=超靜靜定定次次數(shù)數(shù)BqL多余余約約束束的的數(shù)數(shù)目目=1第八八章章彎彎曲曲變變形形/五、用變變形比較較法解簡簡單超靜靜定梁靜定梁(基本靜定定基)選取(2)解除A端阻止轉(zhuǎn)動的支座反力矩作為多余約束,即選擇兩端簡支的梁作為基本靜定梁。BqLA(1)解除B支座的約束,以代替，即選擇A端固定B端自由的懸臂梁作為基本靜定梁。BqLA第八章彎彎曲變變形/五、用變變形比較較法解簡簡單超靜靜定梁(2)基本靜定定基要便便于計算算，即要要有利于于建立變變形協(xié)調(diào)調(diào)條件。一般般來說，，求解變變形時，，懸臂梁最最為簡單單，其次次是簡支梁梁，最后后為外伸伸梁?；眷o定定基選取取可遵循循的原則則：(1)基本靜定定基必須須能維持持靜力平平衡，且且為幾何何不變系系統(tǒng)；第八章彎彎曲變變形/五、用變變形比較較法解簡簡單超靜靜定梁ABqLBqLABqLA3、列出變變形協(xié)調(diào)調(diào)條件。。比較原靜靜不定梁梁和靜定定基在解解除約束處的變變形，根根據(jù)基本本靜定梁梁的一切情況要要與原超超靜定梁梁完全相相同的要求，得得到變形形協(xié)調(diào)條條件。第八章彎彎曲變變形/五、用變變形比較較法解簡簡單超靜靜定梁本例：(1)4、用積分分法或疊疊加法求求變形，，并求出出多余未未知力。。僅有q作用，B點撓度為為：僅有作用，B點撓度為：因此解得:BqlA第八章彎彎曲變變形/五、用變變形比較較法解簡簡單超靜靜定梁5、根據(jù)靜靜力平衡衡條件在在基本靜靜定梁上上求出其其余的約約束反力力。本例：(1)BqLA（）第八章彎彎曲變變形/五、用變變形比較較法解簡簡單超靜靜定梁BqLA(+)(-)BqL因此6、在基本本靜定梁梁上按照照靜定梁梁的方法法求解內(nèi)內(nèi)力、應(yīng)應(yīng)力和變