高數(shù)-5-3換、分部積分

第三節(jié)

定積分的換元法和分部積分法換元公式分部積分公式小結(jié)1/24根據(jù)微積分基本公式定積分法，不定積分法且使用方法與相應(yīng)的不定積分法類似。1/25一、定積分換元法設(shè)（1）

f

C[a

,b],（2）

C

1[

,

],f

(

(

x))

(

x)dx則有(1)（3）在[

,

]上單調(diào)且

([,

])

[a,b].

(

)

(

)f

(u)du

u

(

x

)baf

(u)du

或f

((

x))d(

x)abf

(u)du

;ba(2)x

(

t

)f

(

x)dx

1

(

a

)

1

(

b

)f

(

(

t

))d

(

t

)f

(

(t

))

(t

)dt

或f

(

(t

))

(t

)

dt

.定理3/25ba證

設(shè)F(

x)是

f

(

x)的一個(gè)原函數(shù)，則f

(x

)dx

F

(b

)

F

(a

);令(t

)

F[

(t

)],dx

dt則

(t

)

dF

dx

f

(

x)

(t

)

f

[

(t

)](t

),f

[

(t

)]

(t

)dt

(

)

(

)(t

)是f

[

(t

)]

(t

)的一個(gè)原函數(shù).))

F

(baf

(

x)dx或

F

(a

)

F

(b)

F

((

(

))

F

(b)

F

(a

)abf

(x

)dx

.證畢4/25例1025cos

xsinxdxu

cos

x

061u66

1

.015u du

02或以cos

x為積分變量052cos

xd

cos

x6cos5

x

sin

xdx

1

cos6

x

|2

1

.60注意:（1）換元前后，上限對(duì)上限、下限對(duì)下限；（2）不引入新的變量記號(hào)，積分限不變；引入新的變量記號(hào)，積分限跟著變。5/25例20sin

3

x

sin

5

xdx23sin

x

dx0cos

x變形232cos

x

sin

x

dx0232去絕對(duì)值湊分d

sin

x

sin

x232sin

x

d

sin

x05

225sin

x225

25sin

x2.45032

2dxsin

x

cos

x

6/25例33e

4edx湊分eed

(ln

x)34

2ee1

( ln

x

)2d

ln

xln

x

(1

ln

x)34ee

2

arcsin( ln

x

)6

.343e

4eln

x(1

ln

x)x

ln

x(1

ln

x)d

(ln

x)7/25例4

13

(2

x2

1) 1

x20dx6],

dx

sec2

tdt.解[0,

1

]

xtant

[0,3

10dx3

(2

x2

1) 1

x206

dt(2

tan

2

t

1)sec

tsec2

t0202661

sin

td

sin

tdt

1

sin

tcos

t.120

arctan

arctan(sin

t

)

6例52x2

12

x2 x

1

dx解法1

令x

sec

t,

dx

sec

t

tan

tdt,x

2

t

,

x

2

t

.2222343sec

t

tan

tdtsec

t

tan

tsec

t

14dx

x

x2

1x

14343(1

cos

t

)dt

t

sin

t3

2

).3

2

1

(

3

2

4

2

12

2解法22dxx2

12

x2x

1x

1t

dt21211

t

21

t

1212

2

1

t

221211d

(1

t

2

)dt

1

t

2221

12121

1

t

2

arcsin

t22

1

( 3

2

).3

1

(

)

6

4

2

12①若f

(x)為偶函數(shù)，則例6

證明：設(shè)f

(x)在[a,a]上連續(xù)，aaa0f

(

x)dx

2f

(

x)dx

；aaf

(

x)dx

0.00②若f

(x)為奇函數(shù)，則a

aa

af

(

x

)dx

f

(

x

)dx

,f

(

x

)dx

0a證x

tf

(

t

)(

dt

)a0f

(

x

)dxa0f

(

x

)dx

a0f

(

x

)dxa0x

)

f

(

x

))

dx(

f

(

{20f

(x

)dx

,

f

(x

)為偶函數(shù)；a0,

f

(x

)為奇函數(shù)。證畢。9/25奇函數(shù)例7

計(jì)算112

x2

x

cos

x

dx.1解

原式

1

1

1

1

x22

x21

x2

dx1

11

dx1

x2x

cos

x偶函數(shù)10

4x210dx

41

(1

x2

)x2

(1

1

x2

)dx1021

1

x(1

41041

x2

)dx

4

1

x2

dx

4

.單位圓的面積10/252200f

(sin

x)dx

（2）

0f

(cos

x)dx

;2f

(sin

x)dxf

(sin

x)dx

2例

8

若

f

(

x)在[0,1]上連續(xù)，證明（1）（3）0002xf

(sin

x)dx

f

(sin

x)dx

.由此計(jì)算0

1

cos2

xx

sin

xdx

.11/250xf

(sin

x)dxx

t（3）00(

t

)

f

[sin(

t

)]dt(

t

)

f

(sin

t

)dt

0f

(sin

t

)dt

0

tf

(sin

t

)dt002f

(sin

x)dx.xf

(sin

x)dx

證（1）20

t

dt0222

f

sin

x

t20f

(cos

t

)dt20f

(sin

x

)dxf

(cos

x

)dx

;（2）000

222f

(sin

x)dxf

(sin

x)dx

f

(sin

x)dxf

(sin

x)dx

2

x

tf

(sin

t

)(

dt

)12/2502021

cos

xx

sin

x0dx2 1

cos

2

xdxsin

x

1d

(cos

x

)

02arctan(cos

x

)2

0

1

cos

2

x.4

2注2002由(1)得cos

xdx.sin

xdx

nn例9ax

0

x

2(a

0)

1

dx去根式20dtcostsint

cost.422x

a

sin

t

,

t[0,

]

0a

2

dta

sin

t

a

cos

t001222dtdt

cos

t

sin

tsin

t

cos

t8/2520a2

(1

sin2

t

)

dtcost

sintsint例10

計(jì)算1020112dx.I

1

tan

x1021u

x2解

I

1

cot2011

u(du)

2011

cot

2011

udu202011dx

1

1

/

tan

x02011dx1

tan

x

tan2011

x202

1

tan2011

x(tan2011

x

1)

1

I

.4

Idx2413/2510201120110201122dx

.cos

x

sin

xcos2011

xdx

1

tan

x或例11

計(jì)算04解04ln(1

tan

x)dxln[1

tan(04ln(1

tan

x)dxx

t44

t

)](dt

)002lnln(1

44dt1

tan

t)dt

1

tan

t1

tan

t0440ln

2

4[ln

2

ln(1

tan

t

)]dtln(1

tan

x)dxln

2.804ln(1

tan

x)dx

例12若f

(x)是周期為T

的連續(xù)函數(shù)，試證：a

R,有a

a

T

T0f

(

x)dx

f

(

x)dx證aa

Taa

T0f

(

x)dxf

(

x)dx

f

(

x)dx

0ax

t

Tf

(

x)dx

＝0a

TTaTf

(t

T

)dt

Tf

(t

)dta

TTf

(

x)dxa

Ta

TaTaf

(

x)dx

0f

(

x)dxTf

(

x)dxT0f

(

x)dx二、分部積分公式設(shè)u(x)、v(x)

C

1[a

,b]，則ba微積分基本公式bau(

x)

v(

x)

dx

[

u(

x)

v(

x)

dx]不定積分的分部積分法a[u(

x)

v(

x)

u(x)

v(

x)

dx]

baa

[u(

x)

v(

x)]

b

[

u(

x)

v(

x)

dx]

b微積分基本公式aab[u(

x)

v(

x)]

b

u(

x)

v(

x)

dx

.得分部積分公式設(shè)u(x)、v(x)

C

1

[a

,b]，則au(

x)

v

(

x)

dxba[u(

x)

v(

x)]

b

bau

(

x)

v(

x)

dx

.14/25例13定積分的分部積分公式的用法與不定積分的分部積分公式的用法類似。40e

x

dx求解40

e

x

dx2020tt2tde2te

dt

xt

2200220

22e

dt

4e

2et

2e2

2

2tette1ln

x

dx例14解e

e1e11e(

ln

x)dx

eln

xdx

xln

x

011

ee1ln

x

dx

11e11dx

xlnx

e

e1dx

2

2例14

計(jì)算120arcsin

xdx.20arcsin

xdx120

x

arcsin

x

1201

x2xdx2

61

換元：以1

x

2

為積分變量112012d

(1

x2

)

1202

1

x

12

2

3

1

x21.解

消反三角函數(shù)，可用分部積分法。1另解15/2512120arcsin

xdx06t

d

sin

t則x

sin

t換元：

t

arcsin

x6分部積分

t

sin

t

0

6

sin

tdt

"0解10201dxx

22 1

x

arctan

x

1

x

2例15

計(jì)算10x

arctan

xdx.10)2102x

arctan

xdx

xarctan

xd

(011(1

)dx2

18

2

1

x2

1

(1

)

2

.8

2

4

416/25例1604

xdx

1

cos 2

x

x2d

tan

x

04分部積分x

tan

xtan

xdx

1

204044012

18

2

lnsec

x

ln

2

.8

40半角公式

422

cos

xxdx17/25例1710dxln(1

x)(2

x)2

1012

xln(1

x)d02

x

ln(1

x)1

1012

xd

ln(1

x)dx

ln

2

10

2

x

1

x1

11

11

x

2

x1033ln

2

ln(1

x)

ln(2

x)

53ln2

ln3.18/25例18

求2

e2

x

cos

xdx.0022

xe

cos

xdx

02

e2

xd

sin

x20

[e2

x

sin

x]

02

sin

xde2

x0

002

cos

xde2

x

)

2

4

2

e2

x

cos

xdx15200

2([e2

x

cos

x]2

e

2

2

e2

x

sin

xdx

e

2

2

e2

xd

cos

x

e

e(e

2).0e

cos

xdx

2

x解19/2502求

I

n

sin

n解20例19n∵02

cos

n

xdx~xdx及I

nsin

x

dx

2x

t02cosn

t

dt

cos

tdt2

n0~

In

I

n

.20又

I

，1I

1;分部積分In

0n

1

sin2

20xdcosx2

cos

xd

sinn

1

x0

[sinn

1

x

cos

x]n

2

時(shí)020/2502

(n

1)sinn

2

x

cos2

xdxIn

2nn

1得遞推公式

In

~n

I

(

I

n

)

{n為偶數(shù)；(n

1)!!

,,

n為奇數(shù)。n!!

2(n

1)!!n!!

"

)n

4(

n

1

n

3

In n

21

sin2

x

In

(n

1)In

2

(n

1)In21/25072cos

xdx解207例20

求cos

xdx

6

4

2

167

5

3

35

.例21

求04

2dxxsin6

x2064dxsin

xx解xt

2206202sin

tdtsin

6

t066

2sin

tdtsin

tdt

4206t

8tdt

2sin

tdt

8

5

3

1

5

.6

4

2

2

4例21

設(shè)解dt,求t