結(jié)構(gòu)力學(xué)講義T2836

第六章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

§6－1概述

1、變形和位移變形——結(jié)構(gòu)（或其一部分）形狀的改變位移——結(jié)構(gòu)各處位置的移動(dòng)——桿件截面位置的改變

線位移——移動(dòng)△A——△Ax,△Ay

角位移——轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)角）φA

相對(duì)位移——相對(duì)線位移△CD＝△CH+△DH 相對(duì)角位移φAB＝φA+φB2、原因（1）荷載——內(nèi)力、變形——位移（2）非荷載因素——無內(nèi)力——位移 支座移動(dòng)、制造誤差——?jiǎng)傂晕灰? 溫度變化、材料收縮——變形yx習(xí)題6－18（MSSolver：ti06-18）3、目的（1）校核結(jié)構(gòu)剛度 ——?jiǎng)偠刃?，變形過大，即使不破壞也不能正常使用 位移最大值≤允許值 橋梁最大撓度：鋼板梁≤1/700；剛桁梁≤1/900 樓板主梁fmax≤1/400 吊車梁fmax≤1/600 高層頂部位移限制，否則不宜居?。?）結(jié)構(gòu)施工——計(jì)算位移：如吊裝 （尺寸偏差過大，吊機(jī)易溜車，安裝不能按設(shè)計(jì)就位）（3）分析超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ) ——計(jì)算位移 ——建立變形條件（4）動(dòng)力、穩(wěn)定計(jì)算 ——位移計(jì)算4、方法

虛功原理為基礎(chǔ) ——計(jì)算位移 ——靜定、超靜定§6－2變形體系的虛功原理虛位移原理（虛功原理）——理論力學(xué) 具有理想約束質(zhì)點(diǎn)系 在某一位置處于平衡的必要和充分條件是， 對(duì)于任何虛位移， 作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所作的虛功總和為零。虛位移——為約束條件所允許的任意微小位移理想約束——其約束反力在虛位移上所做的功恒等于零 如：光滑鉸接、剛性鏈桿

剛體：任意兩點(diǎn)距離不變——具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系FPFXabΔPΔXFXΔX

－FPΔP＝0剛體系處于平衡——必要和充分條件是， 對(duì)于任何虛位移，所有外力所作虛功總和等于零【例】杠桿－力平衡：虛位移－虛功變形體系處于平衡的必要充分條件是，對(duì)于任何虛位移，

外力作虛功總和等于各微段內(nèi)力在其變形所做虛功總和 即，外力虛功＝變形虛功位移及變形狀態(tài)兩個(gè)彼此無關(guān)的狀態(tài)：（圖6-4a）力狀態(tài)（圖6-4b）位移－變形狀態(tài)a．微段ds外力q→內(nèi)力M，F(xiàn)S，F(xiàn)N（微段的外力）b．微段dsABCD→A'B'C'D（1）按外力虛功與內(nèi)力虛功計(jì)算 W總=W外+W內(nèi)W內(nèi)=0：相鄰截面內(nèi)力所做的功大小相等正負(fù)號(hào)相反， 即內(nèi)力所做的功總和等于“0”）

——相鄰截面內(nèi)力互為作用力與反作用力，大小相等方向相反； ——相鄰截面具有相同的位移，虛位移是協(xié)調(diào)的，變形連續(xù)，

W總=W外 （a）（2）對(duì)按剛體虛功原理與變形體虛功計(jì)算 虛位移分解二步： 剛體位移：ABCD→ABC”D” 變形體位移：AB—C”D”→C’D’ W總=W剛+W變（W剛=0剛體虛功原理）

W總=W變 （b） ∴W外=W變

（d） 即，W=WV

（6-1）

——變形體虛功方程

變形功（WV）計(jì)算（圖6-4b）變形分為：軸向變形du→線位移 →對(duì)應(yīng)軸力FN彎曲變形dφ→角位移 →對(duì)應(yīng)力矩M剪切變形γds(dη)線位移 →對(duì)應(yīng)剪力FS*僅考慮微段變形，而不考慮剛體位移時(shí)，外力不做功，只有截面內(nèi)力做功*dFN、dM、dFS作功為髙階微量

dWV＝FNdu＋Mdφ＋FSγds∴WV＝∑∫∫FNdu＋∑∫∫Mdφφ＋∑∫∫FSγds虛功功方方程程W=∑∑∫∫FNdu+∑∑∫∫Mdφφ+∑∑∫∫FSγds（6－3）———適用用于于彈彈性性、、非非彈彈性性、、線線性性、、非非線線性性對(duì)于于剛剛體體系系：：WV=0，即即W=0虛功功原原理理應(yīng)應(yīng)用用二二種種方方式式虛位位移移原原理理———真實(shí)實(shí)力力狀狀態(tài)態(tài)，，虛虛設(shè)設(shè)位位移移———求解解未未知知力力虛力力原原理理———真實(shí)實(shí)位位移移狀狀態(tài)態(tài)，，虛虛設(shè)設(shè)力力———求解解未未知知位位移移§6－3位移移計(jì)計(jì)算算的的一一般般公公式式單單位位荷荷載載法法求：：任任一一指指定定點(diǎn)點(diǎn)K，沿沿指指定定方方向向k——k的位位移移△K兩個(gè)狀態(tài)態(tài)：結(jié)構(gòu)位移移狀態(tài)——荷載、溫溫度變化化及支座座移動(dòng)等等——實(shí)際狀態(tài)態(tài)（圖a）結(jié)構(gòu)力狀狀態(tài)——虛設(shè)單位位荷載FK＝1——虛擬狀態(tài)態(tài)（圖b）外力虛功功：內(nèi)力虛功功：外力虛功功：變形虛功功：W=WV∴位移計(jì)算算一般公公式——單位荷載載法①△K——代數(shù)值＋、－表示與所所設(shè)FK指向相同同或相反反②廣義位移移——廣義力：：相對(duì)應(yīng)——指力與位位移在作功的關(guān)關(guān)系上的對(duì)應(yīng)（a）線位移移△AH——F＝1（b）角位移移φA——m＝1（c）相對(duì)線線位移△AB——一對(duì)單位位集中力力（d）相對(duì)角角位移φAB——一對(duì)單位位集中力力偶要點(diǎn)：只在所求求位移的的位置和和方向上上設(shè)單位力——荷載虛功功即所求求位移——單位荷載載法相對(duì)位移移：1·△A+１·△B=1··（△A+△B）=△AB【例】廣義力－－廣義位位移：求桁架某某桿的角角位移單位力偶偶→等效一對(duì)對(duì)結(jié)點(diǎn)集集中力角位移：：外力功MSSolvertu06－07§6－4靜定結(jié)構(gòu)構(gòu)在荷載載作用下下的位移移計(jì)算線彈性結(jié)結(jié)構(gòu)——結(jié)構(gòu)的位位移與荷荷載成正正比，——荷載的影影響可以以疊加。。位移是微微小的——應(yīng)力應(yīng)變變關(guān)系須須符合胡胡克定律律（圖6-８）荷載載作用，，求K點(diǎn)指定方方向位移移ΔKP材料力學(xué)κ—切應(yīng)力沿沿截面分分布不均均勻而引用的的改正系系數(shù)，其值只與與截面形形狀有關(guān)關(guān):矩形κ=6/5，圓形κ=10/9梁、剛架架桁架組合結(jié)構(gòu)構(gòu)荷載作用用下的位位移計(jì)算算公式：：M?MP——同側(cè)受拉拉乘積為為正直桿，曲曲桿－小小曲率桿桿，忽略略曲率對(duì)對(duì)變形的的影響梁式桿鏈鏈桿桿【例6－1】解：M、FN、FS影響比較較：（1）實(shí)際狀狀況——M、FN、FS荷載F=1AB:MP=-qx2/2M=-xFNP=0FN=0FSP=qxFS=1BC:MP=-ql2/2M=-lFNP=-qlFN=-1FSP=0FS=0（2）討論：：FN、FS影響可忽忽略設(shè)：截面面矩形，，A＝b×h，I＝bh3/12，κ=1.2h/l越大，，軸力力、剪剪力影影響越越大若：h/l=1/10，G＝0.4E軸力、、剪力力影響可可忽略略【例6－2】曲桿【解】荷載F→→MP＝－FRsinθF＝1→M＝R（1－cosθ）【例6－3】桁架①F→FN圖②F＝1→FN圖③④量綱§6－5圖乘乘法法條件：：（1）桿軸軸為直直線（2）EI＝常數(shù)數(shù)（3）至少少一個(gè)個(gè)直線線圖積分式式（6－10）①符合上上述前前提條條件②yc取自直直線型型圖③Aω、yc同側(cè)乘乘積為為正（圖6－14）常用用簡(jiǎn)單單圖形形面積、、形心心位置置頂點(diǎn)——切線平平行底底邊標(biāo)準(zhǔn)拋拋物線線：中中點(diǎn)、、端點(diǎn)點(diǎn)為頂頂點(diǎn)物理意意義？？【例6－1】圖乘法法解【解】MP圖、M圖圖乘法法應(yīng)用用：ql2/2F=1l（MP）（M）【例1】簡(jiǎn)支梁梁，作作用端端點(diǎn)集集中力力矩，，求中中點(diǎn)豎豎向位位移ΔF=1l/4MMyc取自直線形形：兩個(gè)直線形形圖，任取一個(gè)求求面積，另一個(gè)取對(duì)對(duì)應(yīng)面積形形心的標(biāo)距距復(fù)雜圖形——分解——疊加疊加部分：：ydx相等拋物線圖——標(biāo)準(zhǔn)型圖乘：（1）拋物線圖圖（2）梯形梯形相乘：：c、d與a、b相對(duì)應(yīng)：大頭*2/3、小頭*1/3不在同側(cè)，，取負(fù)值值圖形——折線——應(yīng)分段EI——不相等——應(yīng)分段【例2】簡(jiǎn)支梁，中中點(diǎn)集中力力，求中點(diǎn)點(diǎn)豎向位移移FPΔFPF=1FPl/4l/4【例3】簡(jiǎn)支梁，均均布荷載，，求中點(diǎn)豎豎向位移F=1ql2/8l/4Δ【例6—4】相對(duì)位移MP圖設(shè)：一對(duì)相相對(duì)單位集集中力→M圖變形曲線M＝0→反彎點(diǎn)，受拉面→彎曲方向MSSolver：tu06－21【例6－5】圖乘法【例6－6】M→疊加【例6－7】組合結(jié)構(gòu)鏈桿梁式桿§7－6溫度變化時(shí)時(shí)位移計(jì)算算溫度變化——變形——位移單位荷載法法一般公式式如圖伸長(zhǎng)：：——軸線處溫度度變化轉(zhuǎn)角溫度變化引引起剪切變變形γ=0若截面對(duì)稱稱于形心軸軸，如矩形：等截面桿：：注意：①正、負(fù)號(hào)確確定t0升溫為正，，F(xiàn)N拉為正彎曲變形一一致乘積為為正：溫度變形－－－△t產(chǎn)生彎曲單位力作用用－－M圖確定彎曲曲或：溫度髙——M受拉同側(cè)②梁和剛架，，軸向變形形不能略去去。桁架只有軸向變變形③桿件長(zhǎng)度因因制造誤差差引起位移【例7—8】§7－7靜定結(jié)構(gòu)支支座移動(dòng)時(shí)時(shí)位移計(jì)算算靜定結(jié)構(gòu)、、支座移動(dòng)動(dòng)時(shí)——不引起內(nèi)力力——無變形，——產(chǎn)生剛體位位移求任意點(diǎn)的的任意位移移，虛功原原理：——W外=0單位荷載載法FR與c方向一致乘積為正

[例6—9]求A端轉(zhuǎn)角φA解：§6－8互等定理理線彈性結(jié)結(jié)構(gòu)一（1）功的互互等定理理兩組外力力F1、F2作用→兩種狀態(tài)態(tài)：I1：F1——M1，F(xiàn)N1，F(xiàn)S1I2：F2——M2，F(xiàn)N2，F(xiàn)S2I2在I1作功W21=W內(nèi)21即W12=W21——功的互等等定理第一狀態(tài)態(tài)的外力力在第二狀態(tài)態(tài)的位移移上所作的的虛功，等于第二狀態(tài)態(tài)的外力力在第一狀態(tài)態(tài)的位移移上所作的的虛功。I1在I2作功W12=W內(nèi)12（2）位移互互等定理理功的互等等定理中中令F1=F2=1，△12=△21表示單位位力Fj＝1引起的對(duì)應(yīng)Fi＝1方向的位位移△ij即位移影影響系數(shù)數(shù)：位移互等等定理：：δ12=δ21即第二個(gè)單單位力所引起的的對(duì)應(yīng)第一一個(gè)單位位力作用點(diǎn)及及方向的的位移等于第一個(gè)單單位力所引起的的對(duì)應(yīng)第二二個(gè)單位位力作用點(diǎn)及及方向的的位移單位力——廣義力或δ12=δ21_——廣義位移移fc*=φA*（無量綱綱）fc*=φA*數(shù)值相同同量綱相同同量綱分析析（3）反力互互等定理理支座位移移引起內(nèi)內(nèi)力——超靜定結(jié)結(jié)構(gòu)FRij=rij△j－反力與與支座移移動(dòng)成正正比rij——反力影響響系數(shù)功的互等等定理FR12·△1＝FR21·△2r12△2·△1＝r21△1·△2∴反力互