方法并存話“千秋”

方法并存話“千秋”從必修二到選修2-1,我們學習了求解立體幾何問題的綜合法、向量法和坐標法，這三種方法就像解決立體幾何問題的三架馬車，各具千秋、各有特色，使得立體幾何解答題多數(shù)呈現(xiàn)出了“解法多軌”的格局.可隨之而來的是，當面對一個具體的立體幾何問題時，同學們會有“無所適從”的困惑吧——解題時，要選用哪一種方法呢？是用綜合法求解，還是用向量法或坐標法求解呢？下面就三種方法的特點進行比較，并剖析在什么樣的情景下選擇哪種方法.一、三種方法的特點比較綜合法以邏輯推理作為工具解決問題，有利于培養(yǎng)邏輯推理能力，且適用于每個立體幾何問題，但其邏輯思維量大，常要構(gòu)建空間輔助線、面，經(jīng)過嚴密的邏輯推理論證，對于空間角、距離的計算一般也要轉(zhuǎn)化到三角形中，有時讓人難以駕馭向量法是通過構(gòu)設(shè)基向量，利用向量的概念及其基本運算解決問題。利用向量法解決立體幾何問題，可以避開紛繁復(fù)雜的邏輯推理，使解題過程變得明快但用向量法解題一般運算量較大，且未知向量有時難以用基向量表示或向量與向量之間難以尋找關(guān)系因此，向量法僅限于一些不便用坐標法求解的問題。比如，求簡單的空間角或求空間兩點之間的距離等.坐標法是通過構(gòu)建空間直角坐標系，將幾何問題代數(shù)化，利用數(shù)及其運算來解決問題。在解決立體幾何問題時，依據(jù)圖形的特點，通過建立適當?shù)目臻g直角坐標系，把“定性”問題轉(zhuǎn)化為“定量”問題來研究，可以避免綜合法中的一些紛繁復(fù)雜的幾何性質(zhì)的論證，也可以避開用向量法難尋向量之間的關(guān)系的弊端，其優(yōu)勢明顯.通常情況下，對于出現(xiàn)垂直關(guān)系的特殊幾何體，通過構(gòu)建空間直角坐標系，利用坐標法解決比較方便但是，坐標法也有其局限性，比如，有些問題不容易建立坐標系，空間點的坐標容易求錯，坐標運算量大，一著不慎，滿盤皆輸.二、三種方法的選擇應(yīng)用解決立體幾何問題，可用綜合法、向量法和坐標法.下面幾種情形的問題宜用綜合法：①較為簡單的線、面的平行、垂直關(guān)系的判定，尤其以選擇、填空題的形式出現(xiàn)的這類問題；②易轉(zhuǎn)化為三角形中的空間角、空間距離的計算問題；③較難用向量法和坐標法解答的問題.宜用向量法求解的問題：①共線、共面的判定問題；②空間線、面平行、垂直關(guān)系的判定；③不便添加輔助線、面進行推理，且又無法建立空間直角坐標系的求解的簡單的空間角、空間兩點間的距離等問題.坐標法的應(yīng)用坐標法充分體現(xiàn)了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，是我們掌握和應(yīng)用的重點。對于出現(xiàn)垂直關(guān)系(或容易構(gòu)造出垂直關(guān)系)的幾何體，如長方體、直棱柱、有一棱垂直于底面的棱錐等的問題，如求空間、空間距離，確定點的位置問題，立體幾何中的探索性問題等，都可以用坐標法來求解。對于求解立體幾何問題，坐標法是最主要的手段立體幾何解答題的特點是：分步設(shè)問、層層遞進.第(1)問往往是較簡單的空間線、面平行、垂直關(guān)系的論證，用綜合法解答較好.而第(2)、(3)問常涉及空間角、距離的計算，向量法和坐標法結(jié)合起來解答更為容易.因此，解答立體幾何問題，多數(shù)情況下是三種方法的并用.總之，解決立體幾何問題遵循的原則是：以綜合法為基礎(chǔ)、以向量法為主導(dǎo)、以坐標法為中心.

以上所述你理解的如何？現(xiàn)在就讓我們一起解答一道高考題來體驗一下唄例.(2011年高考山東卷理科的第19題)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，ZACB=90°,EA±平面ABCD,EF〃AB,FG〃BC,EG〃AC,AB=2EF.AA若M是線段AD的中點，求證：GM〃平面ABFE；若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小.解析：(1)因為EF〃AB，F(xiàn)G〃BC，EG〃AC，/ACB=90°，所以ZEGF=90°，AABC^AEFG.由于AB=2EF，因此BC=2FG.連接AF，由于FG〃BC，F(xiàn)G=：BC，在ABCD中，M是線段AD的中點，則AM〃BC，且AM〃:BC.這第(1)問證明線、面平行較簡單，用綜合法解答就行了.這第(1)問證明線、面平行較簡單，用綜合法解答就行了.所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM〃FA.由FAu平面ABFE,GM士平面ABFE,所以GM〃平面ABFE.(2)因為/ACB=90°，所以ZCAD=90°.又EA±平面ABCD，所以AC、AD、AE兩兩垂直.分別以AC、AD、AE所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系.不妨設(shè)AC=BC=2AE=2，則由題意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以.3=(2，-2,0)，云二(0，2,0).又EF〃:AB，所以F(0，-1,0),==(-1，1,1).設(shè)平面BFC的法向量三=（x1，y1，z1）,則m■BC=?ym■BC=?y1?電)m■BF=(x1?y1；電)?(一1,1,12,0)=2y-=0:/所以yi=o瓦=/取x1=1，所以Z1=-1,所以=（1,設(shè)平面ABF的法向量"=（x2,y2，z2），則ri■AB=(x2?z2)-(2?一2,0)=2x2-2y2=n■BF=(x2Jy2>z2)-(-!>L1)=—x1+y.+z.=0平面法向量的求解可是重中之重喲，這對有些同學是難點，務(wù)必要耐心、仔細進行計算.取y2=1，所以x2=1，所以--=(1,1,0).t、rrtE匚皿一二：土項：：1所以COS〈…，-->=云=一--=-因此二面角A-BF-C的大小為60°.感悟：本例題的第（1）小題運用綜合法證明的線、面垂直；第（2）小題是運用坐標（向量）法求解的.向量坐標法充分體現(xiàn)了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，是我們掌握和應(yīng)用的