最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計課件

現(xiàn)代控制理論

第四章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計

現(xiàn)代控制理論

第四章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計

§4.1最優(yōu)控制的基本概念§4.2無約束最優(yōu)控制的變分方法§4.3線性調(diào)節(jié)器問題*§4.4受約束最優(yōu)控制的極小值原理*§4.5最小時間系統(tǒng)的控制問題§4.1最優(yōu)控制的基本概念§4.1最優(yōu)控制的基本概念

在古典控制理論中，反饋控制系統(tǒng)的傳統(tǒng)設(shè)計方法有很多局限性，其中最重要的缺點(diǎn)是:*方法不嚴(yán)密，大量地依靠試探法。這種設(shè)計方法對于多輸入-多輸出系統(tǒng)以及復(fù)雜系統(tǒng)，不能得到令人滿意的設(shè)計結(jié)果。*

另一方面，近年來，由于對系統(tǒng)控制質(zhì)量的要求越來越高，和計算機(jī)在控制領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，所以最優(yōu)控制系統(tǒng)受到很大重視。§4.1最優(yōu)控制的基本概念*最優(yōu)控制的目的是使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最佳，也就是說，利用控制作用可按照人們的愿望選擇一條達(dá)到目標(biāo)的最佳途徑（即最優(yōu)軌線），至于哪一條軌線為最優(yōu)，對于不同的系統(tǒng)有不同的要求。而且對于同一系統(tǒng)，也可能有不同的要求。*最優(yōu)控制的目的是使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最佳，也就是說，例如在機(jī)床加工中可要求加工成本最低為最優(yōu)；在導(dǎo)彈飛行控制中可要求燃料消耗最少為最優(yōu)；在截?fù)魡栴}中可選時間最短為最優(yōu)等等。因此，最優(yōu)是以選定的性能指標(biāo)最優(yōu)為依據(jù)的。*一般來講，達(dá)到一個目標(biāo)的控制方式很多，但實際上的經(jīng)濟(jì)、時間、環(huán)境、制造等方面有各種限制，因此可實行的控制方式是有限的。例如在機(jī)床加工中可要求加工成本最低為最優(yōu)；

當(dāng)需要實行具體控制時，有必要選擇某一控制方式?？紤]這些情況，引入控制的性能指標(biāo)概念，使這種指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值（指標(biāo)可以是極大值或極小值）就是一種選擇方法。這樣的問題就是最優(yōu)控制。

但一般來講不是把經(jīng)濟(jì)、時間等方面的要求全部表示為這種性能指標(biāo)，而是把其中一部分用這種指標(biāo)來表示，其余部分用系統(tǒng)工作范圍中的約束來表示。

當(dāng)需要實行具體控制時，有必要選擇某一控制方式。將上面的思想用數(shù)學(xué)形式表達(dá)如下：

已知：控制系統(tǒng)的最優(yōu)性能指標(biāo)為

附加約束為系統(tǒng)方程

以及對應(yīng)的邊界條件（如給定初始條件），求控制作用u(t)，使性能指標(biāo)J極小。將上面的思想用數(shù)學(xué)形式表達(dá)如下：已知：控制系統(tǒng)的最

*求解：對這種問題應(yīng)用古典變分法，作為其擴(kuò)展的極大（或極?。┲翟?，或者用動態(tài)規(guī)劃方法來解決。性能指標(biāo)J在數(shù)學(xué)上稱為泛函，而在控制系統(tǒng)術(shù)語中稱為損失函數(shù)。通常，在實際系統(tǒng)中，特別是在工程項目中，損失函數(shù)的確定很不容易，需要多次反復(fù)。

性能指標(biāo)的選擇:性能指標(biāo)J是一個標(biāo)量，在最優(yōu)控制中它代替了傳統(tǒng)的設(shè)計指標(biāo)，如最大超調(diào)量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度。適當(dāng)選擇性能指標(biāo)，使系統(tǒng)設(shè)計符合物理上的標(biāo)準(zhǔn)。////即性能指標(biāo)既要能對系統(tǒng)作有意義的估價，又要使數(shù)學(xué)處理簡單，這就是對于給定的系統(tǒng)很難選擇一個最合適的性能指標(biāo)的原因，尤其是對于復(fù)雜系統(tǒng)，更是這樣。性能指標(biāo)的選擇:

性能指標(biāo)已有了如下幾種公式化的形式:①最短時間問題：在最優(yōu)控制中，一個最常遇到的問題是設(shè)計一個系統(tǒng)，使該系統(tǒng)能在最短時間內(nèi)從某初始狀態(tài)過渡到最終狀態(tài)。此最短時間問題可表示為極小值問題。

②線性調(diào)節(jié)器問題：

給定一個線性系統(tǒng)，設(shè)計目標(biāo)為保持平衡狀態(tài)，而且系統(tǒng)能夠從任何初始狀態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)。

式中Q為對稱的正定矩陣。②線性調(diào)節(jié)器問題：

或者:

式中，u為控制作用，矩陣R，Q

稱為權(quán)矩陣，在最優(yōu)化過程中，它們的組成將對X和u施加不同的影響。

③線性伺服器問題：

如果要求給定的系統(tǒng)狀態(tài)X跟蹤或者盡可能地接近目標(biāo)軌跡，則問題可公式化為:J為極小值。除此之外，還有最小能量問題、最小燃料問題等等。③線性伺服器問題：除特殊情況外，最優(yōu)控制問題的解析解都是較復(fù)雜的，以至必須求其數(shù)值解。但必須指出，當(dāng)線性系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)時，其解就可以用整齊的解析形式表示。除特殊情況外，最優(yōu)控制問題的解析解都是較復(fù)雜的，以至*必須注意，控制作用u(t)不像通常在傳統(tǒng)設(shè)計中那樣被稱為參考輸入。當(dāng)設(shè)計完成時，最優(yōu)控制u(t)將具有依靠輸出量或狀態(tài)變量的性質(zhì)，所以一個閉環(huán)系統(tǒng)是自然形成的。*必須注意，控制作用u(t)不像通常在傳統(tǒng)設(shè)計中那樣被稱為最優(yōu)控制的實現(xiàn)問題:

*如果系統(tǒng)不可控，則系統(tǒng)最優(yōu)控制問題是不能實現(xiàn)的。

*如果提出的性能指標(biāo)超出給定系統(tǒng)所能達(dá)到的程度，則系統(tǒng)最優(yōu)控制問題同樣是不能實現(xiàn)的.最優(yōu)控制的實現(xiàn)問題:例4.1電樞控制的他激直流電動機(jī)動態(tài)方程為:式中，為恒定負(fù)載轉(zhuǎn)矩，J為轉(zhuǎn)動慣量；為電樞電流；為電機(jī)的角速度；為轉(zhuǎn)矩系數(shù)。要求電動機(jī)在時間內(nèi)，從靜止?fàn)顟B(tài)起動，轉(zhuǎn)過一定的角度θ后停止，即有:例4.1電樞控制的他激直流電動機(jī)動態(tài)方程為:要求電動在時間[0，]內(nèi)，使電樞繞組上的損耗為最小，即最優(yōu)控制問題表示為：式中為最小電樞電流；R為繞組電阻。將上述最優(yōu)控制問題，寫為典型形式：設(shè)狀態(tài)變量（轉(zhuǎn)角），（角速度），令：在時間[0，]內(nèi)，使電樞繞組上的損耗為最小，即最優(yōu)控制問題則狀態(tài)方程為：式中：初始狀態(tài)給定為：終點(diǎn)狀態(tài)給定為：性能指標(biāo)函數(shù)為最小，即：為最小。則狀態(tài)方程為：

§4.2無約束最優(yōu)控制的變分方法

所謂無約束，是指控制作用u(t)不受不等式的約束，可以在整個r維向量空間中任意取值.

一、古典變分法

無約束最優(yōu)控制的提法：已知受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程是:在范圍內(nèi)有效，式中，X為n維狀態(tài)向量，u為r維控制向量。這是等式約束。

給定：始點(diǎn)與終點(diǎn)的時間固定，狀態(tài)自由。要求確定控制作用u(t)，使性能指標(biāo):達(dá)到極小值。由上述最優(yōu)控制的提法知，約束方程為狀態(tài)方程，所以現(xiàn)在的問題成為有約束條件的泛函極值問題，即在狀態(tài)空間中，在曲面上找出極值曲線。第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件

求解的一種方法是:先解狀態(tài)方程，求出再將其代入J中求解，此種方法非常繁瑣。

另一種方法是:組成新的泛函J，求考慮約束的極值問題，即拉格朗日乘子法。它的具體步驟如下：求解的一種方法是:先解狀態(tài)方程，求出

①用一個向量拉格朗日乘子

，將約束即系統(tǒng)的狀態(tài)方程加到原來的性能指標(biāo)J中去，得到新的性能指標(biāo)為:

①用一個向量拉格朗日乘子，將約束即系統(tǒng)的狀態(tài)方②定義一個標(biāo)量函數(shù)稱它為哈密爾頓函數(shù)。所以新的性能指標(biāo)為:②定義一個標(biāo)量函數(shù)③對的最后一項進(jìn)行分部積分∵

∴

④求對控制向量及狀態(tài)向量的一次變分，并利用內(nèi)積可換位性質(zhì)（為方便，以下用J代）,有：③對的最后一項進(jìn)行分部積分得

⑤因為極小值存在的必要條件是J對的一次變分為0，所以令從而得到以下一組方程:第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件(4.1)以上四個方程叫作——控制作用不受約束的龐德亞金方程。

第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件⑥極小值存在的充分條件是：沿著滿足的一切軌線，J的二次變分必須非負(fù)。取的臺勞級數(shù)展開式的二次項為J的二次變分，有：

一次變分

⑥極小值存在的充分條件是：沿著滿足的一切二次變分：二次變分：

如果

半正定，及半正定，則為非負(fù)值，即上述兩個半正定條件為J極小的充分條件。由龐德亞金方程可知，初端與終端的各種不同情況都將影響貫截方程，即貫截條件，這一點(diǎn)是較難掌握的。

如果

二、貫截條件的分析

①

始點(diǎn)時間、狀態(tài)固定及終點(diǎn)時間固定、狀態(tài)自由時，相應(yīng)的新泛函指標(biāo)為：

因為固定，所以有，而是完全任意的，則由前面推出的貫截方程:

得到貫截條件為：

二、貫截條件的分析②系統(tǒng)的始點(diǎn)時間與狀態(tài)都固定，終點(diǎn)狀態(tài)固定，時間不固定：因為和都為0，即始點(diǎn)與終點(diǎn)的狀態(tài)固定，沒有選擇的余地，所以始點(diǎn)與終點(diǎn)的狀態(tài)對性能指標(biāo)極小化不產(chǎn)生影響，于是J中便沒有末值項了。即:

由于可得貫截條件方程為(4.3)為待定常數(shù)乘子。②系統(tǒng)的始點(diǎn)時間與狀態(tài)都固定，§4.3線性調(diào)節(jié)器問題

一、二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制

在現(xiàn)代控制理論中，基于二次型性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計的問題已成為最優(yōu)控制理論中的一個重要問題。而利用變分法建立起來的無約束最優(yōu)控制原理，對于尋求二次型性能指標(biāo)線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制是適用的。

下面介紹什么是二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件給定一個n階線性控制對象，其狀態(tài)方程是(4.4)尋求最優(yōu)控制u(t)，使性能指標(biāo)

(4.5)達(dá)到極小值。這是二次型指標(biāo)泛函，要求S、Q(t)、R(t)是對稱矩陣，并且S和Q(t)應(yīng)是非負(fù)定的或正定的，R(t)應(yīng)是正定的。給定一個n階線性控制對象，其狀態(tài)方程是

對性能指標(biāo)的意義加以了解與討論是非常必要的。式(4.5）右端第一項是末值項，實際上它是對終端狀態(tài)提出一個符合需要的要求，表示在給定的控制終端時刻到來時，系統(tǒng)的終態(tài)接近預(yù)定終態(tài)的程度.這一項對于控制大氣層外導(dǎo)彈的攔截、飛船的會合等問題是很重要的。

對性能指標(biāo)的意義加以了解與討論是非常必要的。

式(4.5）右側(cè)的積分項是一項綜合指標(biāo)。積分中的第一項表示對于一切的對狀態(tài)的要求，用它來衡量整個控制期間系統(tǒng)的實際狀態(tài)與給定狀態(tài)之間的綜合誤差，類似于古典控制理論中給定參考輸入與被控制量之間的誤差的平方積分，這一積分項愈小，說明控制的性能愈好。積分的第二項是對控制總能量的限制，如果僅要求控制誤差盡量小，則可能造成求得的控制向量u(t)過大，控制能量消耗過大，甚至在實際上難以實現(xiàn)。式(4.5）右側(cè)的積分項是一項綜合指標(biāo)。實際上，上述兩個積分項是相互制約的：要求控制狀態(tài)的誤差平方積分減小，必然導(dǎo)致控制能量的消耗增大；反之，為了節(jié)省控制能量，就不得不降低對控制性能的要求。求兩者之和的極小值，實質(zhì)上是求取在某種最優(yōu)意義下的折衷，這種折衷側(cè)重哪一方面，取決于加權(quán)矩陣Q(t)及R(t)的選取。如果重視控制的準(zhǔn)確性,則應(yīng)增大加權(quán)矩陣Q(t)的各元，反之則應(yīng)增大加權(quán)矩陣R(t)的各元。實際上，上述兩個積分項是相互制約的：

Q(t)中的各元體現(xiàn)了對X(t)中各分量的重視程度，如果Q(t)中有些元素等于零，則說明對X(t)中對應(yīng)的狀態(tài)分量沒有任何要求，這些狀態(tài)分量往往對整個系統(tǒng)的控制性能影響較微小，由此也能說明加權(quán)矩陣Q(t)為什么可以是正定或非負(fù)定對稱矩陣。因為對任一控制分量所消耗的能量都應(yīng)限制，又因為計算中需要用到矩陣R(t)的逆矩陣，所以

R(t)必須是正定對稱矩陣。Q(t)中的各元體現(xiàn)了對X(t)中各分量的重視程常見的二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制分兩類:

①線性調(diào)節(jié)器 ②線性伺服器——它們已在實際中得到了廣泛應(yīng)用。由于二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制的突出特點(diǎn)是其線性的控制規(guī)律，即其反饋控制作用可以做到與系統(tǒng)狀態(tài)的變化成比例，即u(t)=-KX(t)（實際上，它是采用狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)），因此這類控制易于實現(xiàn)，也易于駕馭，是很引人注意的一個課題.常見的二次型性能指標(biāo)最優(yōu)控制分兩類:1.線性調(diào)節(jié)器問題

如果施加于控制系統(tǒng)的參考輸入不變，當(dāng)被控對象的狀態(tài)受到外界干擾或受到其他因素影響而偏離給定的平衡狀態(tài)時，就要對它加以控制，使其恢復(fù)到平衡狀態(tài)，這類問題稱為調(diào)節(jié)器問題。\\\\5,281.線性調(diào)節(jié)器問題

2.線性伺服器問題對被控對象施加控制，使其狀態(tài)按照參考輸入的變化而變化，這就是伺服器問題。從控制性質(zhì)看以上兩類問題，雖然有差異，但在尋求最優(yōu)控制的問題上，它們有許多一致的地方。這兩類問題，又可根據(jù)要求的性能指標(biāo)不同，分為兩種情況：2.線性伺服器問題①終端時間有限的最優(yōu)控制：因為所給控制時間是有限的，這就限制了終端狀態(tài)，所以終端狀態(tài)可以是自由的，也可以是受限制的，往往不可能要求完全固定。此外，該問題中性能指標(biāo)應(yīng)該有末值項，因為積分項上限是有限的。②終端時間無限的最優(yōu)控制：

當(dāng)終端時間時，終端狀態(tài)進(jìn)入到給定的終端穩(wěn)定狀態(tài)，所以性能指標(biāo)中不應(yīng)有末值項，此時積分項上限為。①終端時間有限的最優(yōu)控制：二、終端時間有限()的線性調(diào)節(jié)器問題設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程由下式表示(4.6)給定初始條件，尋求最優(yōu)控制u(t)，使性能指標(biāo)達(dá)到極小值。根據(jù)上一節(jié)所述的變分法原理求解。二、終端時間有限()的線性調(diào)節(jié)器問題

1．建立龐德亞金方程

首先建立哈密爾頓函數(shù)

(4.7)

建立控制方程

(4.8)

建立伴隨方程(4.9)建立貫截方程(4.10)

1．建立龐德亞金方程2．建立閉環(huán)控制

使最優(yōu)控制u(t)作為狀態(tài)的函數(shù)，建立閉環(huán)控制。由式(4.8)得

(4.11)

假定上面這個控制作用u(t)可以用一個閉環(huán)控制來代替，而且能滿足伴隨方程式(4.9)的條件，設(shè):

(4.12)

將其代入式(4.11)，得:2．建立閉環(huán)控制式中

(4.13)為反饋增益矩陣。因為R(t)、B(t)均已知,所以求最優(yōu)控制u(t)便歸結(jié)為求解矩陣P(t)。第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件3.求解矩陣P(t)將式(4.13)代入式(4.6)后可得

(4.14)由式(4.9)和式(4.12)可得

(4.15)將式(4.14)代入式(4.15)可得:3.求解矩陣P(t)上式中，由于，所以必須有：

式中，P為一個×對稱正定矩陣，共有個不同類項。式(4.16)為里卡德(Ricatti)矩陣方程,它是一個非線性微分方程。//第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件

求它的解所需的個邊界條件，可根據(jù)式(4.10)和式(4.12)給出的終值條件求得:即:于是利用里卡德矩陣方程，可以由已知的時的P矩陣求出時的值。

從式(4.16)中解出滿足終端條件的P(t)后，代入式(4.13)就能將最優(yōu)控制u(t)通過X(t)的線性反饋關(guān)系表示出來。如圖4.1所示。

從式(4.16)中解出滿足終端條件的P(t由以上分析可見，構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的必要條件為：

①系統(tǒng)的狀態(tài)必須是完全能量測的。②反饋矩陣K確實能夠求得，并能夠?qū)嶋H實現(xiàn)。在通常情況下，短陣P由里卡德矩陣方程解出。由于里卡德矩陣方程是一個非線性微分方程，雖然有一些求解的方法，但是解法很繁，只是在方程形式很簡單的情況下，才能求得解析形式的解。由以上分析可見，構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的必要條件如果矩陣S太大，不易計算，有時可利用里卡德逆矩陣微分方程求解，求解方法如下：令微分得:由上式可得里卡德逆矩陣方程為:且:如果矩陣S太大，不易計算，有時可利用里卡德逆

為求得線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器得以實現(xiàn)的充分條件，必須使性能指標(biāo)J的二次變分大于零,即:

顯然，要使，Q、R、S等必須至少為半正定矩陣，同時由式(4.11)可見，R必須是可逆的。因此充分條件可歸納為：R是正定的，Q和S至少是半正定的。

4．線性調(diào)節(jié)器的穩(wěn)定性既然線性調(diào)節(jié)器構(gòu)成了一個閉環(huán)回路，那么它的穩(wěn)定性如何也必然是人們所關(guān)心的問題。巳知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為顯然，要使，Q、R、S等必須至少為半正定矩按二次型性能指標(biāo)達(dá)到最小，得到的控制規(guī)律為

則有按二次型性能指標(biāo)由式里卡德(Ricatti)矩陣方程(4.16)可得令，于是可得

(4.17)

已知R是正定矩陣,Q是半正定矩陣．因此式(4.17)右端必永遠(yuǎn)為負(fù)?？捎糜衫锟ǖ路匠糖蟮玫木仃嘝所構(gòu)成的函數(shù)作為線性調(diào)節(jié)器的李亞普諾夫函數(shù)。由李亞普諾夫第二法知，P是一個正定矩陣，永遠(yuǎn)為負(fù)，可見由線性調(diào)節(jié)器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是一個漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。由式里卡德(Ricatti)矩陣方程(4.16)可得例4.2設(shè)系統(tǒng)方程為其性能指標(biāo)為于是可得里卡德矩陣微分方程為例4.2設(shè)系統(tǒng)方程為其終值條件為解上述方程可得或:其終值條件為調(diào)整和

可使。例如，假定①S=0,,即P(1)=0，則得這時②

S=10，,即P(10)=10,求得由可得這時的放大系數(shù)K=10。

上述線性調(diào)節(jié)器是參數(shù)可調(diào)的，當(dāng)滿足上述要求時，就可以實現(xiàn)最優(yōu)控制規(guī)律。調(diào)整和可使。例如，假定

*

例4.3設(shè)被控對象的狀態(tài)方程是這是一個標(biāo)量狀態(tài)方程，試求最優(yōu)控制u(t)，使性能指標(biāo)為極小值。

*例4.3設(shè)被控對象的狀態(tài)方程是解根據(jù)式(4.16)得里卡德矩陣微分方程它是非線性標(biāo)量微分方程。將里卡德方程中的變量t用代換，分離變量后，對等式兩側(cè)積分，積分的下限用t及P(t)，上限取終端時間及，則有解根據(jù)式(4.16)得里卡德矩陣微分方程

考慮到終端貫截條件所以又可寫成將等式左側(cè)被積函數(shù)的分母分解因式，再寫成部分分式，則可得出考慮到終端貫截條件式中或?qū)懗?/p>

經(jīng)整理得出第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件將求得的P(t)代人下式，得最優(yōu)控制于是系統(tǒng)的最優(yōu)軌跡X(t)是下面標(biāo)量時變微分方程的解，既或?qū)懗蔀閷锟ǖ路匠趟獾腜(t)進(jìn)行分析，得將求得的P(t)代人下式，得最優(yōu)控制

當(dāng)a=-1,b=,S=0時

當(dāng)a=-1,b=，S=1時在圖4.2中畫出了當(dāng)時，對應(yīng)于S=0與S=1的P(t)的幾何圖形。由圖4.2可見：當(dāng)a=-1,b=,S=0時①當(dāng)，即當(dāng)終端時間有限時，由里卡德方程的終端條件決定。事實上②當(dāng)，即終端時間無限時，趨于穩(wěn)態(tài)值，因為第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件這一點(diǎn)很重要，它說明了里卡德方程的解P(t)的一個重要性質(zhì)，即:當(dāng)時里卡德矩陣微分方程退化為里卡德矩陣代數(shù)方程:(4.18)////6,4三、終端時間無限()的線性調(diào)節(jié)器問題

實際上，這類問題就是考慮使系統(tǒng)的終態(tài)達(dá)到給定的某一個衡狀態(tài)，因此，在性能指標(biāo)中應(yīng)不包含末值項。第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件給定被控對象的狀態(tài)方程為:尋求最優(yōu)控制u(t)，使下述性能指標(biāo)

(4.19)為極小值。

第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件和終端時間相比較，雖然僅僅是將性能指標(biāo)中的積分上限由改為

,但是由此帶來的問題卻是復(fù)雜的，問題的核心是必須使式(4.19)所示的積分型性能指標(biāo)存在．因為它是由在無窮大區(qū)間上的積分表示的，為此需要做如下假設(shè)：和終端時間相比較，雖然僅僅是將性能指標(biāo)

①在區(qū)間上分段連續(xù)，一致有界，并絕對可積；

②在上分段連續(xù)，且為有界對稱的正定矩陣；

③系統(tǒng)的狀態(tài)是完全能控的。在以上假設(shè)條件下，終端時間無限()的調(diào)節(jié)器問題的解存在且唯一。此外，系統(tǒng)還必須是可觀測的。因為反饋系統(tǒng)必須是漸近穩(wěn)定的，否則無窮大上限積分型性能指標(biāo)不可能存在。①在區(qū)例4.4

設(shè)被控對象的狀態(tài)方程為求最優(yōu)控制，使下述性能指標(biāo)取為極小值。第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件解直接寫出里卡德代數(shù)方程，設(shè)其解為

則由式(4.18)可得解直接寫出里卡德代數(shù)方程，設(shè)其解為

寫成方程組

從第二個方程中可解得，但從第三個方程中解得兩組解相矛盾,說明方程組不相容，無解。無解的原因是被控系統(tǒng)不是完全能控的，即因故導(dǎo)致里卡德代數(shù)方程無解。

寫成方程組*例4.5設(shè)控制系統(tǒng)如圖4.3所示。假定控制信號為，試設(shè)計最佳反饋增益矩陣K，使下列性能指標(biāo)為極小值，并求最優(yōu)控制u(t)。解先由圖4.3得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其次檢驗系統(tǒng)的能控性*例4.5設(shè)控制系統(tǒng)如圖4.3所示。故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。最后由式(4.18)寫出里卡德代數(shù)方程為經(jīng)過整理得到下列方程組解得于是故系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。根據(jù)式(4.13)可得出反饋增益矩陣K為故////////第4章最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計-課件§4.4受約束最優(yōu)控制的極小值原理

一、問題的提法和解決途徑

希望控制向量在下列條件約束下，使性能指標(biāo)極小。系統(tǒng)方程的等式約束為系統(tǒng)的始點(diǎn)時間、狀態(tài)固定，終點(diǎn)狀態(tài)固定，時間不固定。r個容許控制不等式約束為

容許空間

§4.4受約束最優(yōu)控制的極小值原理首先不考慮不等式約束，即只考慮控制作用u不受約束的最優(yōu)控制問題，故可用古典變分法解決。在此基礎(chǔ)上，再分析實際情況，即考慮控制作用受不等式約束的最優(yōu)控制問題。實際上，很多控制系統(tǒng)的控制作用u(t)都會受到各種限制，最常見的有u(t)的幅值受到某些環(huán)節(jié)輸出飽和的影響、電源容量的限制等等。首先不考慮不等式約束，即只考慮控制作用u不受約