中考數(shù)學專題復習 圓壓軸八大模型題(6)-圓外一點引圓的切線和直徑的垂線

中考數(shù)學專題復習圓壓軸八大模型題(6)-圓外一點引圓的切線和直徑的垂線中考數(shù)學專題復習圓壓軸八大模型題(6)-圓外一點引圓的切線和直徑的垂線中考數(shù)學專題復習圓壓軸八大模型題(6)-圓外一點引圓的切線和直徑的垂線中考數(shù)學專題復習圓壓軸八大模型題(6)-圓外一點引圓的切線和直徑的垂線編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:圓壓軸題八大模型題（六）瀘州市七中佳德學校易建洪 引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型5圓外一點引圓的切線和直徑的垂線如圖，點P是⊙O外的一點，過點P作PA與⊙O相切于點A，PO⊥BO于點O，交AB于點C.(1)求證：CP＝AP；(2)延長BO交⊙O于點D，連結AD，過點P作PE⊥AB于點E，找出與△BOC相似的三角形.圖2圖1(3)若⊙O的半徑為，OC＝1，求PA的長.圖2圖1圖圖3【分析】(1)如圖3連接OA得OA＝OB,∴∠OAB＝∠B,由等角的余角相等得∠PCA＝∠PAC,∴PC＝PA.(2)由∠APE＝∠CPE＝∠B得：△BOC∽△BAD∽△PCE≌△PAE.(3)在Rt△OPA中，設PC＝PA＝x，則有（x＋1）2＝1＋x2.解得PA＝x＝2.基本圖形及其變式圖圖(2)圖(1)如圖1~6，PA與圓O相切于點A，PD⊥BO（或BO的延長線）于點D，直線AB與PD相交于點C，求證：PA＝PC.圖(2)圖(1)圖(3)圖(3)圖(6)圖(5)圖(4)圖(6)圖(5)圖(4)【典例】（2018湖北隨州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CN為⊙O的切線，OM⊥AB于點O，分別交AC、CN于D、M兩點．（1）求證：MD＝MC；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝4，求MC的長．【分析】（1）連接OC，利用切線的性質(zhì)證明即可；圖6圖6-1解：（1）連接OC，∵CN為⊙O的切線，∴OC⊥CM，∠OCA＋∠ACM＝90°，∵OM⊥AB，∴∠OAC＋∠ODA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ACM＝∠ODA＝∠CDM，圖a∴MD＝MC圖a（2）由題意可知AB＝5×2＝10，AC＝4，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝，∵∠AOD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，可得：OD＝2.5，設MC＝MD＝x，在Rt△OCM中，由勾股定理得：（x＋2.5）2＝x2＋52，解得：x＝，即MC＝．【點撥】連半徑，造等腰三角形，借等角的余角相等再證邊等。由切線的性質(zhì)、直徑所對的圓周角是直角以及等腰三角形三線合一找直角三角形、等腰三角形、相似三角形，運用比例線段、勾股定理和相似三角形面積關系解決問題.【變式運用】1．(2018江蘇連云港)如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P，已知∠OAB＝22°，則∠OCB＝___44°___．圖6-2圖6-2圖6-32.（2016?蘭州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE＝DC．圖6-3（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝，求DE的長．證明：連接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OD⊥AB，∴∠A＋∠AEO＝90°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠AEO＝∠DEC，∴∠AEO＝∠DCE，∴∠OCE＋∠DCE＝90°，∴∠OCF＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O切線．（2）作DH⊥AC于H，則∠EDH＝∠A，∵DE＝DC，∴EH＝HC＝EC，∵⊙O的半徑為5，BC＝，∴AB＝10，AC＝3，圖b∵△AEO∽△ABC，∴，圖b∴AE＝，∴EC＝AC﹣AE＝，∴EH＝EC＝，∵∠EDH＝∠A，∴sin∠A＝sin∠EDH，∴，∴DE＝＝3.如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，OA＝5，OA與⊙A相交于點P，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C.（1）試判斷線段AB與AC的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若PC＝2，求⊙O的半徑和線段PB的長；（3）若⊙O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求⊙O的半徑r的取值范圍.解：（1）AB＝AC．理由如下：如圖c，連接OB，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°，圖6-4∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋圖6-4∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB．∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC．（2）如圖d，延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則由OA＝5得，OP＝OB＝r，PA＝5－r．又∵PC＝2，∴AB2＝OA2－OB2＝52－r2，圖cAC2＝PC2－PA2＝（2）2－（5－r）2，圖c∵由（1）知AC＝AB，∴52－r2＝（2）2－（5－r）2，解得：r＝3，即⊙O的半徑是3；∴AB＝AC＝4.∵PD是直徑，∴∠PBD＝90°＝∠PAC.∵∠DPB＝∠CPA,∴△DPB∽△CPA.∴,即,解得PB＝.圖d（3）作線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN圖d則OE＝AC＝AB＝．又∵圓O要與直線MN有唯一交點，∴OE＝≤r，∴r≥，又∵圓O與直線l相離，∴r＜5.∴⊙O的半徑r的取值范圍為≤r＜5.圖圖e4