電磁場理論第2章：靜電場

第二章靜電場

2.1庫侖定律與電場強(qiáng)度

2.2高斯定理

2.3靜電場的旋度與靜電場的電位

2.4電偶極子

2.5電介質(zhì)中的場方程

2.6靜電場的邊界條件

2.7*導(dǎo)體系統(tǒng)的電容

2.8電場能量與能量密度

2.9*電場力2.1庫侖定律與電場強(qiáng)度2.1.1庫侖定律圖2–1庫侖定律用圖式中：R=r-r′表示從r′到r的矢量；R是r′到r的距離；R°是R的單位矢量；ε0是表征真空電性質(zhì)的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為庫侖定律表明，真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的作用力的大小與兩點(diǎn)電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號電荷之間是斥力，異號電荷之間是引力。點(diǎn)電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=-F，可見兩點(diǎn)電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。q電荷受力：庫侖定律只能直接用于點(diǎn)電荷。所謂點(diǎn)電荷，是指當(dāng)帶電體的尺度遠(yuǎn)小于它們之間的距離時(shí)，將其電荷集中于一點(diǎn)的理想化模型。對于實(shí)際的帶電體，一般應(yīng)該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，則電荷體密度為其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認(rèn)為電荷分布在一個(gè)幾何曲面上，用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為對于分布在一條細(xì)線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq，則線密度為庫/米2(C/m2)庫/米(C/m)2.1.2電場強(qiáng)度電荷q′對電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)生電場，電荷q在電場中受力。用電場強(qiáng)度來描述電場，空間一點(diǎn)的電場強(qiáng)度定義為該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷所受到的力。在點(diǎn)r處，試驗(yàn)電荷q受到的電場力為多個(gè)點(diǎn)電荷時(shí):對于體分布的電荷，可將其視為一系列點(diǎn)電荷的疊加，從而得出r點(diǎn)的電場強(qiáng)度為同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分別為(畫圖)例2-1

一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場強(qiáng)度。解：取坐標(biāo)系如圖2-2，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，設(shè)電荷線密度為ρl

。圖2-2

例2-1用圖所以

高斯定理描述通過一個(gè)閉合面電場強(qiáng)度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關(guān)系?？梢宰C明：2.2高斯定理Q:S面內(nèi)電量的代數(shù)和要分析一個(gè)點(diǎn)的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫為由于體積V是任意的，所以有例2-2

假設(shè)在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷，試求任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：當(dāng)r>a時(shí)，故當(dāng)r<a時(shí)，所以例2-3

已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度為求電荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標(biāo)中的散度公式可得(r>a)(r<a)2.3靜電場的旋度與靜電場的電位由于電場強(qiáng)度可表示為一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)的負(fù)梯度，所以有可用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示電場強(qiáng)度。這個(gè)標(biāo)量函數(shù)就是靜電場的位函數(shù)，簡稱為電位。電位φ的定義由下式確定電位的單位是伏(V)，因此電場強(qiáng)度的單位是伏/米(V/m)。體分布的電荷在場點(diǎn)r處的電位為:線電荷和面電荷的電位表示式與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應(yīng)的改變。對于位于源點(diǎn)r′處的點(diǎn)電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位為可見，靜電場在任意閉合回路的環(huán)量為零：

由斯托克斯公式：

通常，稱φ(P)-φ(P0)為P與P0兩點(diǎn)間的電位差(或電壓)。一般選取一個(gè)固定點(diǎn)，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點(diǎn)為參考點(diǎn)。當(dāng)取P0點(diǎn)為參考點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)處的電位為

當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域時(shí)，選取無窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)較為方便。此時(shí)，可以證明：將E=-▽φ代入高斯定理的微分形式，得到若討論的區(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)樯鲜龇匠虨槎A偏微分方程，稱為拉普拉斯方程。其中▽2在直角坐標(biāo)系中為泊松方程例2-5

求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。解：(r>a)(r<a)由此可求出電位。當(dāng)r>a時(shí)，當(dāng)r<a時(shí)，例2-6

若半徑為a的導(dǎo)體球面的電位為U0,球外無電荷，求空間的電位。解：

即再對其積分一次，得在導(dǎo)體球面上，電位為U0，無窮遠(yuǎn)處電位為零。分別將r=a、r=∞代入上式，得這樣解出兩個(gè)常數(shù)為所以總之，真空中靜電場的基本方程可歸納為：（微分方程）（積分方程）2.4電偶極子圖2-5電偶極子0用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l，即電偶極子在空間任意點(diǎn)P的電位為其中，r1和r2分別表示場點(diǎn)P與q和-q的距離，r表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離。經(jīng)推導(dǎo)圖2-6電偶極子的電場分布2.5電介質(zhì)中的場方程2.5.1介質(zhì)的極化極化強(qiáng)度的單位是C/m2。極化強(qiáng)度定義：極化現(xiàn)象…….擊穿強(qiáng)度…….2.5.2極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位圖2-7極化介質(zhì)的電位場點(diǎn)*設(shè)極化介質(zhì)的體積為V，表面積是S，極化強(qiáng)度是P，現(xiàn)在計(jì)算介質(zhì)外部任一點(diǎn)的電位。在介質(zhì)中r′處取一個(gè)體積元ΔV′，因|r-r′|遠(yuǎn)大于ΔV′的線度，故可將ΔV′中介質(zhì)當(dāng)成一偶極子，其偶極矩為p=PΔV′，它在r處產(chǎn)生的電位是整個(gè)極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分：極化體電荷密度極化面電荷密度比較電位公式，得：例2-7

一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是P=P0ez，求極化電荷分布。解：取球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。

極化電荷體密度為極化電荷面密度為

2.5.3介質(zhì)中的場方程在真空中高斯定理的微分形式為▽·E=ρ/ε0，其中的電荷是指自由電荷。在電介質(zhì)中，高斯定理的微分形式便可寫為將ρP=-▽·P代入，得這表明，矢量ε0E+P的散度為自由電荷密度。稱此矢量為電位移矢量，并記為D，即于是，介質(zhì)中高斯定理的微分形式變?yōu)榕c其相應(yīng)的積分形式為將介質(zhì)中靜電場的方程歸納如下：自由電荷2.5.4介電常數(shù)式中χe為極化率，是一個(gè)無量綱常數(shù)。從而有稱εr為介質(zhì)的相對介電常數(shù)，稱ε為介質(zhì)的介電常數(shù)。對于均勻介質(zhì)(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程：由實(shí)驗(yàn)得知例2-8

一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣，如圖2-8所示。求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛電荷密度。圖2-8例2-8用圖解：(r≥a)介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)：見附錄一A1.26式介質(zhì)外(b<r)：介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度：介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度：2.6靜電場的邊界條件圖2-9法向邊界條件（什么是邊界？）或如果界面上無自由電荷面電荷分布，即在ρS=0時(shí)，邊界條件變?yōu)榛驁D2-10切向邊界條件E2E1因?yàn)棣2=l°Δl，Δl1=-l°Δl,

l°是單位矢量，上式變?yōu)樽⒁獾絥⊥l°，故有*電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的，即由于法向分量的邊界條件用電位表示為*導(dǎo)體內(nèi)的靜電場在靜電平衡時(shí)為零。設(shè)導(dǎo)體外部的場為E、D，導(dǎo)體的外法向?yàn)閚，則導(dǎo)體表面的邊界條件簡化為2.8電場能量與能量密度電場能量能量密度例2-14

若一同軸線內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑