幾何與代數(shù)：習(xí)題解析第五章1

教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配第五章特征值與特征向量教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§5.1矩陣的特征值與特征向量2§5.2相似矩陣2§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化2§5.5用Matlab解題

1

特征值

和

特征向量

|E–A|=|E–(P1AP)|

i=tr(A),i=|A|A可逆A的特征值≠0,1/是A1的特征值;|A|/是A*的特征值.

|E–A|=|E–AT|A=

f(A)=f()

對應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)AT=AR,對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交

性質(zhì)

應(yīng)用

計(jì)算

定義相似對角化

用A=PP

1

計(jì)算f(A)=Pf()P1化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

|E–A|=0

(E–A)x=0

A=

其中P–1AP=diag(1,…,n)A有n個(gè)l.i.的特征向量A(復(fù))r(iEA)=nni

A有n個(gè)不同特征值A(chǔ)A的化零多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.§5.3實(shí)對稱矩陣的相似對角化實(shí)對稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).實(shí)對稱陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交.Th5.7任意n階實(shí)對稱陣總可以正交相似對角化,存在正交陣Q,使得Q–1AQ==diag(1,2,…,n),其中Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的對應(yīng)于特征值1,2,…,n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.正交特征向量1.l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交2.由1個(gè)特量及正交方程組解其他正交特量實(shí)對稱矩陣對角化的反問題：Q–1AQ=QTAQ=

A=QQT=QQ–1P–1AP=

A=PP–1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化,但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化,但不需求逆f,f(A)

=Qf()QT關(guān)于相似對角化與正交相似對角化實(shí)對稱矩陣對角化的反問題：Q–1AQ=QTAQ=

A=QQT=QQ–1不是任一個(gè)方陣A都可以相似對角化，只有當(dāng)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對角化；實(shí)對稱矩陣必可正交相似對角化，也可以相似對角化.若實(shí)方陣A可以正交相似對角化，則A必是實(shí)對稱矩陣.

AT=(QQT)T=QTQT=QQT=A一般方陣若能相似對角化，不一定能正交相似對角化.只有要求正交相似對角化時(shí)才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化.P–1AP=

A=PP–1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化,但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化,但不需求逆f,f(A)

=Qf()QT等價(jià)關(guān)系匯總等價(jià)關(guān)系定義矩陣定義等價(jià)類代表不變量

RnnRmn相抵相似正交相似Rnn,實(shí)對稱相抵標(biāo)準(zhǔn)形為初等陣i為特征值

①秩

②特征值,跡,行列式

①②

①秩

若A可相似對角化

第五章特征值與特征向量證明：5.設(shè)n階方陣A的任一行中n個(gè)元素之和都是0,證明：0是A的一個(gè)特征值,并求出其對應(yīng)的一個(gè)特征向量.所以0是A的一個(gè)特征值.對應(yīng)0的一個(gè)特征向量為設(shè)n階方陣A可逆，且A每行元素之和都等于a，證明：a0.證明:a0.

A每行元素之和都等于aa是A的特征值，(1,…,1)T是A對應(yīng)于a的特征向量方陣A可逆A的特征值都不等于0A1每行元素之和等于?解：因此，對于A的任意的特征值都有因?yàn)锳滿足A23A+2E=O

是A的一個(gè)化零多項(xiàng)式，

所以A的特征值只能取1,2。(2)當(dāng)A=E時(shí)，

2不是A的特征值.

1不是A的特征值.

6.設(shè)矩陣A滿足A23A+2E=O,證明：A的特征值只能取1或2，舉例說明1和2未必一定是A的特征值.A滿足A23A+2E=O當(dāng)A=2E時(shí)，

A滿足A23A+2E=O解：對于A的任意的特征值都有因?yàn)锳滿足A2=

E

是A的一個(gè)化零多項(xiàng)式，

所以A的特征值只能取1,1。(2)若1不是A的特征值，7.設(shè)矩陣A滿足A2

=

E,證明：A的特征值只能取1或1;若1不是A的特征值，則A

=

E.是方陣A的一個(gè)特征值

(EA)不可逆.

不是方陣A的特征值(EA)可逆.則(1EA)可逆.由A2=

E可得(A+

E)

(A

E)=O則A

=

E.解：即存在非零向量x,y,z,

使得有非零解所以A的三個(gè)特征值為1,3,1.8.設(shè)A為3階矩陣，如果EA,3EA,E+A均不可逆，求A的跡和行列式.因?yàn)镋A,3EA,E+A均不可逆是方陣A的一個(gè)特征值

(EA)不可逆.

不是方陣A的特征值(EA)可逆.證明：14.設(shè)1,2為方陣A的屬于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,證明k11+k22不是A的特征向量.若k11+k22是A的特征向量,則存在使得因?yàn)?,2線性無關(guān)產(chǎn)生矛盾.因此，k11+k22不是A的特征向量.證明2：因?yàn)?,2為對應(yīng)于12的特征向量，所以1,2線性無關(guān),

設(shè)k11+k22為對應(yīng)的特征向量.矛盾.

當(dāng)，線性無關(guān),矛盾.當(dāng)14.設(shè)1,2為方陣A的屬于不同特征值1,2的特征向量，若k1k20,證明k11+k22不是A的特征向量.k11+k22

k11+k22,1,2因此，k11+k22不是A的特征向量15.(6)解：當(dāng)a=0時(shí)，A=O可以相似對角化.當(dāng)a0時(shí)，A的特征值為0(n1重),

na.(過程略)111注意：要有中間過程，不能直接寫結(jié)果！16.設(shè)的一個(gè)特征向量.(1)求a,b及對應(yīng)的特征值.

(2)A能否相似對角化？解：(2)trA=3=1+2+32+3=4|A|=4=2323=42=3=2所以A不能相似對角化.16.設(shè)的一個(gè)特征向量.(1)求a,b及對應(yīng)的特征值.

(2)A能否相似對角化？解：(2)法2：2=3=2所以A不能相似對角化.A的特征值可由特征方程求得.若A能與對角陣相似.則19.設(shè)相似.求x,y,并求可逆陣P,使得P1AP=.(1)A與B相似，則有相同的特征值.解：21.若二階實(shí)方陣A滿足|A|<0,證明：A與對角陣相似.trA=x1=y+1證明：設(shè)y=2.x=0.二階實(shí)方陣A有兩個(gè)不同的特征值，所以與對角陣相似.因

A有一個(gè)特征值2，因?yàn)閨A|

<0，20.若任意n維列向量都是n階方陣A的特征向量,證明：A是數(shù)量矩陣.證明1：顯然e1,e2,…,en都是A的特征向量，所以Aei

=iei

=Ai

20.若任意n維列向量都是n階方陣A的特征向量,證明：A是數(shù)量矩陣.證明2：顯然e1,e2,…,en都是A的特征向量，所以存在可逆陣P=(e1,e2,…,en)=E使得20.若任意n維列向量都是n階方陣A的特征向量,證明：A是數(shù)量矩陣.證明3：任意n維列向量都是A的特征向量，所以A

=，.

所以(EA)

=的非零解為任意非零向量顯然e1,e2,…,en都是(EA)

=的解，所以e1,e2,…,en是(EA)

=的基礎(chǔ)解系.所以

nr(EA)

=n

.r(EA)

=0

.A=O也成立，故A不可逆.不是方陣，不存在逆矩陣和行列式！22.設(shè)求A=T的特征值,并證明：A可以相似對角化T

0.證明：A的特征值為0(n1重),

T

(過程略)若T

=0,

則0是n重根。

所以

r(0EA)

=

r(A)=

1

n

n

=

0.從而A不可以相似對角化.矛盾.必要性：充分性：若T

0,設(shè)T對應(yīng)的特征向量為0對應(yīng)的n1線性無關(guān)的特征向量為1,…,n-1則,1,…,n-1線性無關(guān).所以A可相似對角化.§5.5用Matlab解題

§5.5用Matlab解題

一.求矩陣的特征值和特征向量

>>

A=[1,2,3;0,1,2;0,0,2];[P,D]=eig(A)>>P=1.0000-1.00000.9526000.2722000.1361100010002D=第五章特征值與特征向量注:這里P不可逆.2重根1只有1個(gè)l.i.特征向量，故A不相似于對角陣.但由此可得A的特征值和特征向量.%返回A所有特征值組成的矩陣D和特征向量組成的矩陣P.特征值從小到大§5.5用Matlab解題

§5.5用Matlab解題

一.求矩陣的特征值和特征向量

>>A=[1,2,3;0,1,2;0,0,2];[P,D]=eigs(A)>>P=0.9526-1.0000

1.00000.2722

0

00.13610

0200010001D=第五章特征值與特征向量注:這里P不可逆.2重根1只有1個(gè)l.i.特征向量，故A不相似于對角陣.但由此可得A的特征值和特征向量.%返回A所有特征值組成的矩陣D和特征向量組成的矩陣P.特征值從大到小>>§5.5用Matlab解題

A=[1,2,3,4;4,1,2,3;3,4,1,2;2,3,4,1];[P,D]=eig(A)>>P=-0.50000.5000

0.5000

-0.5000-0.5000-0.0000-0.5000i

0.0000+0.5000i

0.5000-0.5000-0.5000

-0.5000

-0.5000-0.50000.0000+0.5000i

-0.0000-0.5000i

0.5000D=10.00000000-2.0000+2.0000i0000-2.0000-2.0000i0000-2.0000第五章特征值與特征向量>>§5.5用Matlab解題

A=[0,1,1,1;1,0,1,1;1,1,0,1;1,1,1,0];[P,D]=eig(A)%若A為對稱陣,則P為正交陣>>P=0.7887-0.21130.28870.5000-0.2113