《高等數(shù)學(xué)》曲線的凹凸性與拐點

曲線的凹凸性與拐點線的上升和下降，但曲線在上升或下降的過程中還有一個彎曲方向的問題。例如，圖性及其拐點。一、曲線凹凸性的定義從幾何上看，在有的曲線弧上，如果任取兩點，則聯(lián)結(jié)著兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方（圖34(a性及其拐點。一、曲線凹凸性的定義從幾何上看，在有的曲線弧上，如果任取兩點，則聯(lián)結(jié)著兩點間的弦總位于這兩點間的弧段的上方（圖34(a)，而有的曲線弧，則正好相反（圖342(b)。曲線的這種性 圖341質(zhì)就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線弧上任意兩點的弦的中點與曲線弧上相應(yīng)點（即具有相同橫坐標(biāo)的點）的位置關(guān)系來描述，下面給出曲線凹凸性的定義。(b)圖3421f(xI連續(xù)，若對于Ixx，恒有1 2xf( 1

x2)

f(x1

)f(x)22 2則稱f(x)在I上的圖形是（向上凹的（凹?。蝗艉阌衳f( 1

x2)

f(x1

)f(x)22 2f(xI上的圖形是（向上凸的（凸弧。一般情況下，在函數(shù)的整個定義域內(nèi)，其曲線的凹凸性并不一致。通常把連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點。二、曲線凹凸性的判定x34(a)，即導(dǎo)函數(shù)f(x)上每一點的切線斜率是逐漸減少的（如圖34b)，即導(dǎo)函數(shù)f(x)是單調(diào)減少函數(shù)。與此幾何特征相對應(yīng)，有下述判斷曲線凹凸性的定理。(b)圖3431f(xI內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，若在I內(nèi)f(x)0f(x)I上的圖形是凹的；f(x)0f(x)I上的圖形是凸的。*證明：x

I，在區(qū)間[x

x ,1,

xx2]及[ 1 2,

]上分別應(yīng)用拉格朗日中值1 2 1 2 2 2定理，則有

xx

x

xxf( 12

2)f(x1

)

) 21

1，x1

1 21 2f(x

)f(1x2)f) 2x ，xx2 xxx11xx12 2 2 2 2 2 2以上兩式相減，得

xx2

x xf(x2

)f(x1

)2f( 12

)[f

)f2

)] 2 1，1 2其中x 1 1

xx12

22

x。2（1）f(x)0f(xIf1有

)f(2

x1

x，因此2xxf 2

x x2(x)f(x2 1

)2f( 12

)[f

)f2

( )]1

1021即f(x1

x2)

f(x1

)f(x)2

f(xI上的圖形是凹的；2 2（2）f(x0f(xIf1有

)f(2

)，又x1

x，因此2xx2

x xf(x2

)f(x1

)2f( 12

)[f

)f2

)] 21

101即f(x1

x2)

f(x1

)f(x)2

f(xI上的圖形是凸的。2 2例1判斷曲線yx3的凹凸性。3xy3x2y6x，該函數(shù)的定義域為(,x0y0，所以曲線在(,0x0y0，所以曲線在(0,3x2y

的凹凸性。解：y

1 2x3，x

2 5yy

(,

x0

y0，3 9所以曲線在(,0x0y0，所以曲線在(0,內(nèi)為凸弧。3yx4的凹凸性。解：y4x312x2(,x0y0y0yx4在區(qū)間(,0及(0,內(nèi)均為凹弧，從而曲線在整個定義域(,內(nèi)為凹弧。f(x（或負(fù)時，f(x)在該區(qū)間上仍舊是凹的（或凸的。三、拐點的求法從定理1易知，由f(x)的符號可以判斷曲線的凹凸性，因此，如果f(x)在點x 的0左右兩側(cè)鄰近異號，則點(x0

,f(x0

))就是曲線的一個拐點，所以要尋找拐點，只要找出f(xIf(xf(x的符號由正變負(fù)或由負(fù)變正時，必定在分界點處有f(x)0（如例；此外，f(x)不存在的點也有可能是f(x)的符號發(fā)生變化的分界點（如例。Iyf(x的凹凸性并求其拐點：（1）f(x)；f(x)0IIf(x不存在的點；對步驟中求出的每一個點，檢查其左右兩側(cè)鄰近f(x的符號，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點。注：步驟（2）中的兩類點不一定是拐點，如例3，在x0處二階導(dǎo)數(shù)等于零，但x03x2并不是曲線yx4的拐點再如曲線y 在x0處二階導(dǎo)數(shù)不存在但x3x2曲線y

的拐點。點(x,f(xf(x是否異號，若異3x3x2號，則是拐點，否則不是拐點。5 5例4 求曲線y(x2)

x2的凹凸區(qū)間和拐點。9解：函數(shù)的定義域為（）y

5(x2)

10

y10(x2)1

1013x23x23， 3x23x23， 3 y0x3x2y的符號，從而確定曲線的凹凸性和拐點：xx（，2）2（2，3）3（3，）y-不存在+0-y（2，拐點209）拐點（3，-4）（（3，（2，20）9和（3，4）注：上表中“ ”及“ ”分別表示曲線的凸和凹。習(xí)題34判斷下列曲線的凹凸性：（1）yxx)； （2）yshx；1（3）yx

； （4）yxarctanx。x（1）y3x44x31；（3）y