極值點偏移問題地兩種常見解法

極值點偏移問題的兩種常見解法之比較淺談部分導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中，不斷出現(xiàn)極值點偏移問題，那么，什么是極值點偏移問題？參考陳寬宏、邢友寶、賴淑明等老師的文章，極值點偏移問題的表述是：已知函數(shù)yf(x)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(攙卞2)內(nèi)有且只有一個極值點xo，且f(X「f(X2)，若極值點左右的“增減速度”相同，常常有極值點xo乞L2我們稱這種狀態(tài)為極值點不偏移；若極值點左右的“增減速度”不同，函數(shù)的圖象不具有對稱性，常常有極值點Xox'的情況，我們稱這種狀態(tài)為“極值點2偏移”.極值點偏移問題常用兩種方法證明：一是函數(shù)的單調(diào)性，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則對區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個變量x、x?，f(xjf(x2)X.X2；若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，則對區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意兩個變量X、x2，f(xjf(x2)xx2.二是利用“對數(shù)平均不等式”證明，什么是“對數(shù)平均”？什么又是“對數(shù)平均不等式”？ab,,ab,InaInb兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均數(shù)定義：L(a,b)a,ab,對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是：?abL(a,b)(此式記為對數(shù)平均不等式)F面給出對數(shù)平均不等式的證明：i)當(dāng)ab0時，顯然等號成立ii)當(dāng)ab0時，不妨設(shè)ab0，

①先證'、ab-_bInaIn,要證’、abb4只須證：聽InaInb1,2lnxx,xB0，所以f(x)xxx①先證'、ab-_bInaIn,要證’、abb4只須證：聽InaInb1,2lnxx,xB0，所以f(x)xxx2在(1,)內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)f⑴0，即口2Inx故.ababInaInb②再abab證：InaInb2a?a1In要abab只須證：bb證：InaInb2a12b令-x1,則只須證：罟，只須證1設(shè)g(x))1占乎，x1,則g(x)21設(shè)貝Uf(X)(x1)22xx1f(x)2Inxx,x1,Inx(x1)222x(x1)2所以g(x)在區(qū)間(1,)內(nèi)單調(diào)遞減，所以g(x)g⑴0,即12Inx1x2綜上述，當(dāng)a0,b0時，、一abL(a,b)例1(2016年高考數(shù)學(xué)全國I理科第21題)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點I八、、?(I)求a的取值范圍；(n)設(shè)X],X2是f(x)的兩個零點，證明：為X22.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域為R,當(dāng)a0時，f(x)(x2)ex0,得x2,只有一個零點，不合題意;當(dāng)a0時，f(x)(x1)[ex2a]

當(dāng)a0時，由f(x)0得，x1,由f(x)0得，x1,由f(x)0得，x1,所以f(x)minf⑴故，x1是f(x)所以f(x)minf⑴又f(2)a0，故在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在一個零點乂2，即1x22由lim(x2)ex由lim(x2)exxlimL2xelimX0,又a(x1)20,所以,f(x)在區(qū)間(,1)存在唯一零點X]，即X]1，故a0時，f(x)存在兩個零點;當(dāng)a0時，由f(x)得，x1或xln(2a)，若In(2a)1f(x)0,故f(x)在R上單調(diào)遞增，與題意不符若ln(2a)1，a當(dāng)a0時，由f(x)得，x1或xln(2a)，若In(2a)1f(x)0,故f(x)在R上單調(diào)遞增，與題意不符若ln(2a)1，a0時，易證f(x)極大值=f(1)e0故f(x)在R上只有一個零點，若ln(2a)e即a—時，易證2f(x)極大值二f(ln(2a)a(ln2(2a)4ln(2a)5)a00,故f(x)在R上只有一個零點綜上述，(n)解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由(i)知，a且x11x2令h(x)f(x)(2x)(x2)exe2x,x1則h(x)(X1)(e2(X1)1)ex2因為x1，所以2(x1)10,e0，所以h(x)0，所以h(x)在(1,)內(nèi)單調(diào)遞增所以h(x)h⑴0,即f(x)f(2x)，所以f(X2)2(2X2)，所以f(X1)f(2X2)，因為x1,2X21,f(x)在區(qū)間(解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由(i)知，,1)內(nèi)單調(diào)遞減a0，又f(0)a所以X12X2，即X]X22所以，當(dāng)0a2時，X10且1X22，故％x?2即(2邏(1XJ2所以ln(2X1)(2X2)e1)221n(1X1)1n(2即(2邏(1XJ2所以ln(2X1)(2X2)e1)221n(1X1)1n(2X2)X221n(X21)所以1n(2%)?n(X)2(1(1X])/1nX1))X2X(2%)122n1(2211(2X2)所以1°1n(1X1)1n(x21)(2X1)(2x2)4X]x2所以12InX1)1n(2X2)1n(2X1)1n(2x2)221n(1X1)1n(x21)1n(2X1)1n(2X2)①F面用反證法證明不等式①成立因為0x1X22所以2X12X20,所以1n(2所以&X22假設(shè)%X22,當(dāng)XX22,X1x2220且21n(11n(2x1)1n(xJ1n(x2x「1n(2X)0,與①矛1)=0盾；X)當(dāng)X1X22時X所以％X22X口，與①矛攵假設(shè)220且21n(1X1)1n(x21)<0盾，故不成立21n(2X1)1n(2x2)°當(dāng)a2時，0X|1x22,又因為體2心(X22)eX2體1)2(X21)2例2(2011年高考數(shù)學(xué)遼寧卷理科第221題)已知函數(shù)f(x)Inxax(2a)x(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(n)若曲線yf(x)與x軸交于AB兩點，AB中點的橫坐標(biāo)為滄，證明:f(X)0o解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(0,)…、1c“、(12X)(1ax)f(x)2ax(2a)xx當(dāng)a0時，f(x)0在區(qū)間(0,)內(nèi)恒成立，即f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)單調(diào)遞增1當(dāng)a0時，由f(x)>0，得函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間(0,—),a

1由f(x)<0，得函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間(一，)a(n)解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解設(shè)點A、x2B的橫坐標(biāo)分別為熱X2則X。△勺且0x1由(I)知，當(dāng)a0時，1由f(x)<0，得函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間(一，)a(n)解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解設(shè)點A、x2B的橫坐標(biāo)分別為熱X2則X?！魃浊?x1由(I)知，當(dāng)a0時，［f(x)］極大值=［f(x)max因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，所以[f(x)]max，所以要證f(x)(12xMOax°L0,只須證ax1,即證x1x—2a令h(x)f(x)f(ax)InxIn(-ax)2ax2,0x2(ax1)2

x(2ax)1、，所以h(x)在(0,—)內(nèi)單調(diào)遞增所以h(x)h(-)a1—x2a因為0x]0,即f(x)f(-x)a2所以f(xjf(—x.)1a1，且f(x)在區(qū)間(一，aa所以f(x)2)內(nèi)單調(diào)遞減f0x1)所以x2a解法二、利用對數(shù)平均不等式求解2%，即x1x2，故f(X。TOC\o"1-5"\h\z設(shè)點AB的坐標(biāo)分別為A(x1，0)、B(x2，0)，則x0-22111由⑴知，當(dāng)a0時，[f(X)]極大值=[f(x)]maxf(-)ln1aaa因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，所以[f(x)]max0,所以0a12Inxax因為22Inx2ax2(2a)x10，所以InX2In為[a(X2xj(2a)](x?xj(2a)x20所以1a(x1X2)(2a)所以a(x1X)Inx2In

x(a2)(X1X2)210「，即」2a(x1x2)(2a)所以[a(x1x?)2][(治x?)1]所以1a勺x20,所以f(x0)2f(X1X2)2(1x「(1ay例3(2014年高考數(shù)學(xué)湖南卷文科第21題)已知函數(shù)f(x)x221X*X—eX(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng)f(xjf(X2),*X2時，求證:解:(I)函數(shù)f(x)的定義域為R2(1x)2x(1x)x1xxf(x)(1X毛)2e1x由f(x)0，得x0，由f(X)2e0，2[(x1)22(1X)2]得函數(shù)的遞增區(qū)間,0)f(x)0得函數(shù)的遞減區(qū)間(0,)，所以f(X)maxf(0)(n)解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解1xf(x)f(x)L令h(x)xxx2e則h(x)(x22x3)e2x(x22x3)(1x2少e(x22x3)e2x(x22x+3),x2[(x2x2x/2)e(x1)],x0,H(x)2(31)40,故HH(x)(x)(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增0得，0,故H(x)在(0,xxH(x)2[(22x3)e2x1],x0(x)H(0))內(nèi)單調(diào)遞增(x)H(0)(x)0故h(x)在(0,)上單調(diào)遞減,所以，h(x)h(0)0,)及f(xjf(X2),X121f(X2)0所以f(X2)f(X2)，所以f(xjf(X2)，又f(x)在(，0)上單調(diào)遞增所以，X1X2，即X1x2X2知,由(1x10x21，故h(x2)f(x2)解法二、利用對數(shù)平均不等式求解1時，f(X)因為X時，f(x)0,f(xj所以為0x21X11f(X),X12XX2所以ln(1xj(1X2)所以(1X2)(1X1)1所以(1X2)所以因為x102X1X2，所以，1X22e211X2e21X11X21X1e21X2(1X)ln(1xf)ln(1X2)(1ln(1X2)ln(1x「ln(121ln(1Xj)ln(1x2)ln(1x2)ln(1xjln(1X2)ln(1N)x「ln(12X1)ln(11x21X1為x2ln(1Xj)2ln(1X1)x21，所以ln(1x1)ln(1ln(1xf)①ln(1X2)x2)『面用反證法證明x.X20，假設(shè)x.X222當(dāng)X.X20時，寧0,且?guī)В?帶汁0，與不等式①矛盾當(dāng)*X20時，&*0，所以寧0,且常；)陰0,與不等式①矛盾所以假設(shè)不成立，所以X.x2例4(2014年江蘇省南通市二模第例4(2014年江蘇省南通市二模第20題)設(shè)函數(shù)f(x)exaxa(aR),其圖象與x軸交于A(X],0),BgO)兩點，且X]X2.(I)求實數(shù)a的取值范圍;(n)證明：f(、，蕊)0(f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù));(川)略.0在R上恒成立，不合題意解：(I)f(x)exa,xR，當(dāng)a0時，f(x)當(dāng)a0時，易知,x0在R上恒成立，不合題意當(dāng)a0時，易知,故，f(x)minf(lna)a(2Ina)當(dāng)f(X)min0,即0ae2時f(x)至多有一個零點，不合題意，故舍去;當(dāng)f(x)min0，即ae時，

2由f(l)e0，且f(x)在(

,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)22在(1,lna)有且只有一個零點；由f(Ina)a2alnaaa(a12Ina),222222令ya12Ina,ae，則y10，故a12Inae14e3a所以f(Ina2)0，即在(Ina,2Ina)有且只有一個零點.(n)解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解由⑴知，f(x)在(，Ina)內(nèi)遞減，在(Ina,)內(nèi)遞增，且f(1)e0所以1擢InaX22Ina要證f(Jx")0,只須證e"a,即證JX1X2Ina又xR空x2，故只須證x2x22Ina令h(x)f(x)f(2Inax)exaxae2Inaxa(2Inax)a,x2xeae2ax2aIn1xIn則h(x)exa2ex2aexa2ex2a0，所以h(x)在區(qū)間(1,Ina)內(nèi)遞增所以h(x)eInaa?eIna2aIna2aIna0,即f(x)f(2Inax)所以f(xjf(2Inaxj，所以f(X2)所以1擢InaX22Ina要證f(Jx")0,只須證e"a,即證JX1X2Ina又xR空x2，故只須證x2x22Ina令h(x)f(x)f(2Inax)exaxae2Inaxa(2Inax)a,x2xeae2ax2aIn1xIn則h(x)exa2ex2aexa2ex2a0，所以h(x)在區(qū)間(1,Ina)內(nèi)遞增所以h(x)eInaa?eIna2aIna2aIna0,即f(x)f(2Inax)所以1X1Inax22Ina因為f(X1)e5iax1a0,f(x2)ex2ax2a0eXiaX11ex2x21X.1門e勺即X1ex2X21-所以1所以X1X2(x1X2)故，?%xxln(%210,要證：f(；X1X2)1),..xrx2ln(x21)也〃區(qū)〃(X1——-.(X1In"1)In(x21)1)(x21)所以2xrIn(為1)(x21),所以In(X*(xix2)1)為x22.因為x”(人X2)0,所以In(X1X2健X2)1)In10,而％x22x"0X],X2是函數(shù)f(x)的兩個所以Inlx-!%(為x2)1)x1x22.nx2成立，所以f(、x/2)0從以上四個例題可以看出，兩種方法解決的問題相同，即若零點，而XX。是函數(shù)f(X)的極值點，證明X1X22X0(或X|X22X0)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解的步驟是：一、構(gòu)建函數(shù)h