浙江寧波市北侖區(qū)2022年數(shù)學(xué)高一上期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．已知向量，，，則A. B.C. D.2．要得到的圖象，需要將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位3．角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么（）A. B.C. D.4．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，那么可以取的值為（）A. B.C. D.5．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.C. D.或36．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價(jià)不超過(guò)12m3的部分3元/m3超過(guò)12m3但不超過(guò)18m3的部分6元/m3超過(guò)18m3的部分9元/m3若某戶居民本月繳納的水費(fèi)為90元，則此戶居民本月的用水量為（）A.17 B.18C.19 D.207．若函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（）A.1 B.C.2 D.38．已知向量，，，若，，則（）A. B.C. D.9．與終邊相同的角是A. B.C. D.10．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A.(，1) B.(1，2)C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，則直線的方程為_(kāi)_________12．能說(shuō)明命題“如果函數(shù)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域都相同，那么函數(shù)和是同一函數(shù)”為假命題的一組函數(shù)可以是________________，________________13．已知滿足任意都有成立，那么的取值范圍是___________.14．已知，，則________.（用m，n表示）15．已知函數(shù)，若，，則的取值范圍是________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16．已知關(guān)于的函數(shù).（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，記的最小值為，的最大值為，且，求實(shí)數(shù)的值.17．（1）寫(xiě)出下列兩組誘導(dǎo)公式：①關(guān)于與的誘導(dǎo)公式；②關(guān)于與的誘導(dǎo)公式.（2）從上述①②兩組誘導(dǎo)公式中任選一組，用任意角的三角函數(shù)定義給出證明.18．現(xiàn)有銀川二中高一年級(jí)某班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來(lái)的歷次數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），具體考試成績(jī)?nèi)缦拢杭祝?、、、、、、、、、、、、；乙：、、、、、、、、、、、、?）請(qǐng)你畫(huà)出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖；（2）根據(jù)莖葉圖，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較.（最少寫(xiě)出兩條統(tǒng)計(jì)結(jié)論）19．已知函數(shù)的周期是.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在上的最值及其對(duì)應(yīng)的的值.20．從某小學(xué)隨機(jī)抽取100多學(xué)生，將他們的身高（單位：）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.（1）求直方圖中的值；（2）試估計(jì)該小學(xué)學(xué)生的平均身高；（3）若要從身高在三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取24人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為多少人？21．如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、D【解析】A項(xiàng)：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量共線的等價(jià)條件即可判斷.B項(xiàng)：利用向量模的公式即可判斷.C項(xiàng)：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積即可比較大小.D項(xiàng)：利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以與不共線.B選項(xiàng)：，，顯然，不正確.C選項(xiàng)：因?yàn)椋?，不正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，正確；答案為D.【點(diǎn)睛】主要考查向量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，還有向量模的公式以及向量共線的等價(jià)條件的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】由“左加右減上加下減”的原則可確定函數(shù)到的路線，進(jìn)行平移變換，推出結(jié)果【詳解】解：將函數(shù)向右平移個(gè)單位，即可得到的圖象，即的圖象；故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移．三角函數(shù)的平移原則為“左加右減上加下減”．注意的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題3、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得和的值，可得的值【詳解】解：角終邊上一點(diǎn)，，，則，故選：4、B【解析】寫(xiě)出平移變換后的函數(shù)解析式，將函數(shù)的解析式利用二倍角公式降冪，化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而可得出的表達(dá)式，利用賦特殊值可得出結(jié)果.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式為，，，解得，當(dāng)時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)圖象變換求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合圖象變換求出變換后所得函數(shù)的解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、A【解析】先求的坐標(biāo)，再由向量垂直數(shù)量積為0，利用坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.【詳解】由向量，，知.若，則，解得或-3.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)給定條件求出水費(fèi)與水價(jià)的函數(shù)關(guān)系，再由給定函數(shù)值計(jì)算作答.【詳解】依題意，設(shè)此戶居民月用水量為，月繳納的水費(fèi)為y元，則，整理得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，由得：，解得，所以此戶居民本月的用水量為.故選：D7、B【解析】根據(jù)以及周期性求得.【詳解】依題意函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，解得.故選：B8、C【解析】計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出即可.【詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】與終邊相同的角是.當(dāng)1時(shí)，故選D10、D【解析】為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，計(jì)算選項(xiàng)中各個(gè)變量的函數(shù)值，判斷在正負(fù)，即可求出零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】解：在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】設(shè)與直線平行的直線，將點(diǎn)代入得.即所求方程為12、①.②.（答案不唯一）；【解析】根據(jù)所學(xué)函數(shù)，取特例即可.【詳解】根據(jù)所學(xué)過(guò)過(guò)的函數(shù)，可取，，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則相同，值域都為，但函數(shù)定義域不同，是不同的函數(shù)，故命題為假.故答案為：；13、【解析】由題意可知，分段函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此分段函數(shù)的每一段都是單調(diào)遞減，且左邊一段的最小值不小于右邊的最大值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由任意都有成立，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因，所以，解得.故答案為：.14、【解析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，可?故答案為：15、【解析】先利用已知條件，結(jié)合圖象確定的取值范圍，設(shè)，即得到是關(guān)于t的二次函數(shù)，再求二次函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】先作函數(shù)圖象如下：由圖可知，若，，設(shè)，則，，由知，；由知，；故，，故時(shí)，最小值為，時(shí)，最大值為，故的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，通過(guò)圖象判斷的取值范圍，才能分別找到與相等函數(shù)值t的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)求值域來(lái)突破難點(diǎn).三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16、(1)(2)【解析】（1）利用偶函數(shù)定義求出實(shí)數(shù)的值；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，明確函數(shù)的最值，得到實(shí)數(shù)的方程，解出實(shí)數(shù)的值.試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，又，所以，即，解得（舍），所以.17、（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）按要求寫(xiě)出對(duì)應(yīng)公式即可.（2）利用任意角定義以及對(duì)稱性即可證明對(duì)應(yīng)公式.【詳解】（1）①，，.②，，.（2）①證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.由于角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，因此角的終邊與單位圓的交點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.由任意角的三角函數(shù)定義得，，，；，，.所以，，.②證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.由于角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，因此角的終邊與單位圓的交點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.由任意角的三角函數(shù)定義得，，，；，，.所以，，.【點(diǎn)睛】主要考查對(duì)誘導(dǎo)公式的掌握以及推導(dǎo)過(guò)程，熟練運(yùn)用任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）圖見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）直接按照莖葉圖定義畫(huà)出即可；（2）通過(guò)中位數(shù)、平均數(shù)、方差依次比較.【小問(wèn)1詳解】甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示：【小問(wèn)2詳解】①?gòu)恼w分析：乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱的，中位數(shù)是；甲同學(xué)的得分情況，也大致對(duì)稱，中位數(shù)是；②平均分的角度分析：甲同學(xué)的平均分為，乙同學(xué)的平均分為，乙同學(xué)的平均成績(jī)比甲同學(xué)高；③方差（穩(wěn)定性）的角度：乙同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，總體情況比甲同學(xué)好.19、（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）先由周期為求出,再根據(jù),進(jìn)行求解即可；（2）先求出,可得,進(jìn)而求解即可【詳解】（1）解：∵,∴,又∵,∴,∴,∵,,∴,,∴,,∴的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）解：∵∴,∴,∴,∴,∴,當(dāng)時(shí),,當(dāng),即時(shí),【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查正弦型函數(shù)的最值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）（3）4人【解析】（1）根據(jù)頻率和為1，求出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算平均數(shù)即可（3）根據(jù)分層抽樣方法特點(diǎn)，計(jì)算出總?cè)藬?shù)以及應(yīng)抽取的人數(shù)比即可；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橹狈綀D中的各個(gè)矩形的面積之和為1，所以有，解得；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算平均數(shù)為【小問(wèn)3詳解】解：由直方圖知，三個(gè)區(qū)域內(nèi)的學(xué)生總數(shù)為人，其中身高在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為人，所以從身高在范圍內(nèi)抽取的學(xué)生人數(shù)為人；21、（1）證明略（2）【解析】（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過(guò)計(jì)算得，而是中點(diǎn)，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個(gè)角相等，可得，同樣在直角梯形中可計(jì)算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點(diǎn)的坐標(biāo)，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，是的中點(diǎn)，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE