全國中考數(shù)學(xué)試卷解析分類匯編第38章動(dòng)態(tài)問題資料

優(yōu)選文檔優(yōu)選文檔蒆PAGE69蒅蟻肅薄蕿莄袇袇芇薁袂薁蚈袆羋蒆蚅蒂蟻螂螈膄蠆荿莇蒂蚄羃袈螆螆羈裊莂蒃芅袈羄膇薈薇節(jié)膂優(yōu)選文檔動(dòng)向問題

一.選擇題

1.（2015湖南邵陽第9題3分）如圖，在等腰△ABC中，直線l垂直底邊BC，現(xiàn)將直線l

沿線段BC從B點(diǎn)勻速平移至C點(diǎn)，直線l與△ABC的邊訂交于E、F兩點(diǎn)．設(shè)線段EF的

長度為y，平移時(shí)間為t，則以下列圖中能較好反響y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．.

專題：數(shù)形結(jié)合．

解析：作AD⊥BC于D，如圖，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的速度為1，BD=m，依照等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，BD=CD=m，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，如圖1，利用正切定義即可獲取y=tanB?t（0≤t≤m）；當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，如圖2，利用正切定義可得y=tanC?CF=﹣tanB?t+2mtanB（m≤t≤2m），即y與t的函數(shù)關(guān)系為兩個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式，于是可對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．

解答：解：作AD⊥BC于D，如圖，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的速度為1，BD=m，

∵△ABC為等腰三角形，∴∠B=∠C，BD=CD，當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，如圖1，在Rt△BEF中，∵tanB=，∴y=tanB?t（0≤t≤m）；當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，如圖2，在Rt△CEF中，∵tanC=，y=tanC?CF

=tanC?（2m﹣t）

=﹣tanB?t+2mtanB（m≤t≤2m）．

應(yīng)選B．

談?wù)摚捍祟}觀察了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象：利用三角函數(shù)關(guān)系獲取兩變量的函數(shù)關(guān)系，再利用

函數(shù)關(guān)系式畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象．注意自變量的取值范圍．

2.（2015湖北荊州第9題3分）如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以

3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；另一動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，

以1cm/s的速度沿著邊BA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（xs），△BPQ的面積為y（cm2），則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）

ABC．D．

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．

解析：第一依照正方形的邊長與動(dòng)點(diǎn)P、Q的速度可知?jiǎng)狱c(diǎn)Q向來在AB邊上，而動(dòng)點(diǎn)P可

以在BC邊、CD邊、AD邊上，再分三種狀況進(jìn)行談?wù)摚孩?≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；

分別求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，爾后依照函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．

解答：解：由題意可得BQ=x．

0≤x≤1時(shí)，P點(diǎn)在BC邊上，BP=3x，

則△BPQ的面積=BP?BQ，

解y=?3x?x=x2；故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；②1＜x≤2時(shí)，P點(diǎn)在CD邊上，

則△BPQ的面積=BQ?BC，

解y=?x?3=x；故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2＜x≤3時(shí)，P點(diǎn)在AD邊上，AP=9﹣3x，

則△BPQ的面積=AP?BQ，

解y=?（9﹣3x）?x=x﹣x2；故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．

應(yīng)選C．

談?wù)摚捍祟}觀察了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，利用數(shù)形結(jié)合、分

類談?wù)撌墙忸}的要點(diǎn)．

3．（2015?甘肅武威,第10題3分）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C都不重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；

過點(diǎn)P作∠BPF的角均分線交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x，BE=y，則以下列圖象中，能表示y與x

的函數(shù)關(guān)系的圖象大體是（）

A．B．

C．D．

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．

解析：證明△BPE∽△CDP，依照相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，依照函數(shù)的性質(zhì)即可作出判斷．

解答：解：∵∠CPD=∠FPD，∠BPE=∠FPE，

又∵∠CPD+∠FPD+∠BPE+∠FPE=180°，

∴∠CPD+∠BPE=90°，

又∵直角△BPE中，∠BPE+∠BEP=90°，

∴∠BEP=∠CPD，

又∵∠B=∠C，

∴△BPE∽△CDP，

∴，即，則y=﹣x2+，y是x的二次函數(shù)，且張口向下．

應(yīng)選C．

談?wù)摚捍祟}觀察了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，求函數(shù)的解析式，就是把自變量看作已知數(shù)值，

爾后求函數(shù)變量

y的值，即求線段長的問題，正確證明

△BPE∽△CDP

是要點(diǎn)．

4．（2015?四川資陽

,第

8題

3分）如圖

4，AD、BC

是⊙O

的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)

P從

點(diǎn)O出發(fā)，沿O→C→D→O的路線勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)∠APB=y（單位：度），那么y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（單位：秒）的關(guān)系圖是

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)

問題的函數(shù)

圖象．.

解析：依照圖示，分三種狀況：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿O→C運(yùn)動(dòng)時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)P沿C→D運(yùn)動(dòng)時(shí)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿D→O運(yùn)動(dòng)時(shí)；分別判斷出y的取值狀況，進(jìn)而判斷出y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（單位：秒）的關(guān)系圖是哪個(gè)即可．解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P沿O→C運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O的地址時(shí)，y=90°，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的地址時(shí)，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°45°逐漸減小到；（2）當(dāng)點(diǎn)P沿C→D運(yùn)動(dòng)時(shí)，

依照圓周角定理，可得

y≡90°÷2=45；°

3）當(dāng)點(diǎn)P沿D→O運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的地址時(shí)，y=45°，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)0的地址時(shí)，y=90°，∴y由45°逐漸增加到90°．

應(yīng)選：B．

談?wù)摚海?）此題主要觀察了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答此類問題的要點(diǎn)是經(jīng)過看圖獲守信息，

并能解決生活中的實(shí)責(zé)問題，用圖象解決問題時(shí)，要理清圖象的含義即學(xué)會(huì)識(shí)圖．

2）此題還觀察了圓周角定理的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的要點(diǎn)是要明確：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等．5.（2015?四川省內(nèi)江市，第

11題，3分）如圖，正方形

ABCD

的面積為

12，△ABE是等

邊三角形，點(diǎn)

E在正方形

ABCD

內(nèi)，在對角線

AC

上有一點(diǎn)

P，使

PD+PE最小，則這個(gè)最

小值為（

）

A．B．2C．2D．

考點(diǎn)：軸對稱－最短路線問題；正方形的性質(zhì)．.

解析：由于點(diǎn)

B與

D

關(guān)于

AC對稱，所以

BE與

AC

的交點(diǎn)即為

P點(diǎn)．此時(shí)

PD+PE=BE

最

小，而

BE是等邊△ABE

的邊，BE=AB，由正方形

ABCD

的面積為

12，可求出

AB

的長，從

而得出結(jié)果．解答：解：由題意，可得BE與AC交于點(diǎn)P．

∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對稱，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面積為12，

∴AB=2．

又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=2．

故所求最小值為2．

應(yīng)選B．

談?wù)摚捍祟}觀察了軸對稱﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問題，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到點(diǎn)P

的地址是解決問題的要點(diǎn)．

6.（2015?山東威海，第

11題

3分）如圖，已知△ABC

為等邊三角形，

AB=2，點(diǎn)

D為邊

AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)

D作

DE∥AC，交BC于E點(diǎn)；過

E點(diǎn)作EF⊥DE，交

AB

的延長線于

F

點(diǎn)．設(shè)AD=x，△DEF的面積為y，則能大體反響y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

A．B．C．D．

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象．.

解析：依照平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，依照三角形內(nèi)角和定理即可求得∠F=30°，

爾后證得△EDC是等邊三角形，進(jìn)而求得ED=DC=2﹣x，再依照直角三角形的性質(zhì)求得EF，

最后依照三角形的面積公式求得

y與

x函數(shù)關(guān)系式，依照函數(shù)關(guān)系式即可判斷．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠B=60°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°，

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；

∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，

∴△EDC是等邊三角形．

∴ED=DC=2﹣x，

∵∠DEF=90°，∠F=30°，

∴EF=ED=（2﹣x）．

y=ED?EF=（2﹣x）?（2﹣x），

即y=（x﹣2）2，（x＜2），

應(yīng)選A．

談?wù)摚捍祟}觀察了等邊三角形的判斷與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，特別角的三角函數(shù)、

三角形的面積等．

（2015山東省德州市，11，3分）如圖，AD是△ABC的角均分線，DE，DF分別是△ABD

和△ACD的高，獲取下面四個(gè)結(jié)論：

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③當(dāng)∠A=90°時(shí)，四邊形AEDF是正方形；

④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的選項(xiàng)是（）

A.②③B.②④C.①③④

.②③④

第11題圖

【答案】D

考點(diǎn)：角均分線的性質(zhì)；正方形的判斷方法；全等三角形的判斷、勾股定理

考點(diǎn)：幾何動(dòng)向問題函數(shù)圖象

二.填空題

1.2015?

16

3

rO

正方形和圓用同樣速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周，用時(shí)分別為

t1、t2、t3，則

t1、t2、t3的大小關(guān)系為

t2

＞t3＞t1

．

考點(diǎn)：軌跡．.

解析：依照面積，可得相應(yīng)的周長，依據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案．

解答：解：設(shè)面積相等的等邊三角形、正方形和圓的面積為，

等邊三角型的邊長為a≈2，

等邊三角形的周長為6；

正方形的邊長為b≈，

正方形的周長為×；

圓的周長為×2×，

＞＞6，

∴t2＞t3＞t1．

故答案為：t2＞t3＞t1．

談?wù)摚捍祟}觀察了軌跡，利用相等的面積求出相應(yīng)的周長是解題要點(diǎn)．三.解答題1.（2015?四川甘孜、阿壩，第

28題12分）如圖，已知拋物線

y=ax2﹣5ax+2（a≠0）與

y

軸交于點(diǎn)

C，與

x軸交于點(diǎn)

A（1，0）和點(diǎn)

B．

1）求拋物線的解析式；

2）求直線BC的解析式；

3）若點(diǎn)N是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為極點(diǎn)的三

角形可否能夠與△OBC相似？若能，央求出所有吻合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能夠，請說明

原由．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.

解析：（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得拋物線的解析式即可；

（2）求出拋物線的對稱軸，再求得點(diǎn)B、C坐標(biāo)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，再把B、

C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，求得k和b即可；

（3）設(shè)N（x，ax2﹣5ax+2），分兩種狀況談?wù)摚孩佟鱋BC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，

依照相似，得出比率式，再分別求得點(diǎn)N坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，

a﹣5a+2=0，

a=，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+2；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=，

∴點(diǎn)B（4，0），C（0，2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∴把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入線BC的解析式為y=kx+b，得

，

解得k=﹣，b=2，

∴直線BC的解析式y(tǒng)=﹣x+2；

3）設(shè)N（x，x2﹣x+2），分兩種狀況談?wù)摚?/p>

①當(dāng)△OBC∽△HNB時(shí)，如圖1，

，

即=，

解得x1=5，x2=4（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)N坐標(biāo)（5，2）；

②當(dāng)△OBC∽△HBN時(shí)，如圖2，

，

即=﹣，

解得x1=2，x2=4（不合題意舍去），

∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2，﹣1）；

綜上所述點(diǎn)N坐標(biāo)（5，2）或（2，﹣1）．

談?wù)摚捍祟}觀察了二次函數(shù)的綜合題，以及二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式的確定以及

三角形的相似，解答此題需要較強(qiáng)的綜合作答能力，特別是作答（3）問時(shí)需要進(jìn)行分類，

這是同學(xué)們簡單忽略的地方，此題難度較大．2.（2015?山東威海，第

25題

12分）已知：拋物線

l1：y=﹣x2+bx+3交

x軸于點(diǎn)

A，B，（點(diǎn)

A在點(diǎn)

B的左側(cè)），交

y軸于點(diǎn)

C，其對稱軸為

x=1，拋物線

l2經(jīng)過點(diǎn)

A，與

x軸的另一個(gè)交

點(diǎn)為

E（5，0），交

y軸于點(diǎn)

D（0，﹣

）．

（1）求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為直線x=1上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PC，當(dāng)PA=PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）M

為拋物線

l2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

M作直線

MN∥y軸，交拋物線

l1于點(diǎn)

N，求點(diǎn)

M自點(diǎn)

A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)

E的過程中，線段

MN

長度的最大值．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．.

解析：（1）由對稱軸可求得b，可求得l1的解析式，令y=0可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系

數(shù)法可求得l2的表達(dá)式；

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），由勾股定理可表示出PC2和PA2，由條件可獲取關(guān)于y的方程

可求得y，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）可分別設(shè)出M、N的坐標(biāo)，可表示出MN，再依照函數(shù)的性質(zhì)可求得MN的最大值．1∵拋物線l1：y=﹣x2解答：解：（）+bx+3的對稱軸為x=1，∴﹣=1，解得b=2，

∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∵拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A、E兩點(diǎn)，∴可設(shè)拋物線l2解析式為y=a（x+1）（x﹣5），

又∵拋物線l2交y軸于點(diǎn)D（0，﹣），

∴﹣=﹣5a，解得a=，

y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，

∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=x2﹣2x﹣；

2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，y），由（1）可得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，

∵PC=PA，

2﹣6y+10=y2，解得y=1，∴y+4∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；（3）由題意可設(shè)M（x，x2﹣2x﹣），∵M(jìn)N∥y軸，∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，①當(dāng)﹣1＜x≤時(shí)，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，顯然﹣1＜≤，∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值；②當(dāng)＜x≤5時(shí)，MN=（2222，x﹣2x﹣）﹣（﹣x+2x+3）=x﹣4x﹣=（x﹣）﹣顯然當(dāng)x＞時(shí)，MN隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=5時(shí)，MN有最大值，×52﹣=12；（﹣）綜上可知在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長度的最大值為12．談?wù)摚捍祟}主要觀察二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．在（1）中求得A點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的要點(diǎn)，在（2）中用P點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出PA、PC是解題的要點(diǎn)，在（3）中用M、N的坐標(biāo)分別表示出MN的長是解題的要點(diǎn)，注意分類談?wù)摚祟}觀察知識(shí)點(diǎn)較為基礎(chǔ)，難度適中．3.（2015?山東日照，第22題14分）如圖，拋物線y=2x+mx+n與直線y=﹣x+3交于A，B兩點(diǎn)，交x軸與D，C兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：

（1）P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，問：可否

存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為極點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，央求出所有吻合條件的

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原由．

（2）設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接DE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DE以

每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到

E點(diǎn)，再沿線段

EA以每秒

個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到

A后停止，當(dāng)

點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)

M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；矩形的判斷與性質(zhì)；軸對稱的性

質(zhì)；相似三角形的判斷與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．.

專題：壓軸題．

解析：（Ⅰ）只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n，即可獲取拋物線的解析式，爾后求

出直線AB與拋物線的交點(diǎn)∠BCH=∠ACO=45°，BC=即可求出tan∠BAC的值；

B的坐標(biāo)，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．易得，AC=3，進(jìn)而獲取∠ACB=90°，爾后依照三角函數(shù)的定義

（Ⅱ）（1）過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB

時(shí)，△PAQ∽△CAB．此時(shí)可證得△PGA∽△BCA，依照相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x．則有P（x，3﹣3x），爾后把P（x，3﹣3x）代入拋物線的解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，△PAQ∽△CBA，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，同理，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．易得AE=EN，則點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間可表示為+=DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，進(jìn)而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．依照兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最小．此時(shí)可證到四邊形OCD′N是矩形，進(jìn)而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．爾后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而獲取OD、ON、NE的值，即可獲取點(diǎn)E的坐標(biāo)．解答：解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得

，

解得：．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+3．

聯(lián)立，

解得：或，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．

過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，如圖1．

∵C（3，0），B（4，1），

∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1，

∴BH=CH=1．

∵∠

BHC=90°，

∴∠

BCH=45°，BC=

．

同理：∠ACO=45°，AC=3，

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴tan∠BAC===；

（Ⅱ）（1）存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為極點(diǎn)的三角形與△ACB相似．

過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G，則∠PGA=90°．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，由P在y軸右側(cè)可得x＞0，則PG=x．

∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，

∴∠APQ=∠ACB=90°．

若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，

①如圖2①，當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，

∴△PGA∽△BCA，

==．

AG=3PG=3x．

則P（x，3﹣3x）．

把P（x，3﹣3x）代入y=x2﹣x+3，得

x2﹣x+3=3﹣3x，

整理得：x2+x=0

解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）．

②如圖2②，當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．

同理可得：AG=PG=x，則P（x，3﹣x），

把P（x，3﹣x）代入y=x2﹣x+3，得

x2﹣x+3=3﹣x，

整理得：x2﹣x=0解得：x1=0（舍去），x2=，∴P（，）；若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí)，則△PAQ∽△CAB，同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）．②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí)，則△PAQ∽△CBA．同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，）．綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）、（，）、（，）；（2）過點(diǎn)E作EN⊥y軸于N，如圖3．在Rt△ANE中，EN=AE?sin45°=AE，即AE=EN，∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為+=DE+EN．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接D′E，則有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，

∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．

依照兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)D′、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=D′E+EN最?。藭r(shí)，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四邊形OCD′N是矩形，

∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．

關(guān)于y=x2﹣x+3，

當(dāng)y=0時(shí)，有x2﹣x+3=0，

解得：x1=2，x2=3．

∴D（2，0），OD=2，

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1，

∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1）．

談?wù)摚捍祟}主要觀察了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋

物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特色、三角函數(shù)的定義、相似三角形的判斷與性質(zhì)、解一元二次方程、兩點(diǎn)

之間線段最短、軸對稱的性質(zhì)、矩形的判斷與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，

正確分類是解決第（Ⅱ）（1）小題的要點(diǎn)，把點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間+轉(zhuǎn)變成DE+EN是解決第（Ⅱ）（2）小題的要點(diǎn)．4.（2015?山東聊城,第25題12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角極點(diǎn)A在x軸上，OA=4，AB=3．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度，沿OB向終點(diǎn)B搬動(dòng)．當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒（0＜x＜4）時(shí)，解答以下問題：（1）求點(diǎn)N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？最

大值是多少？

（3）在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，可否存在某一時(shí)辰，使△OMN是直角三角形？若存在，求出

的值；若不存在，請說明原由．

考點(diǎn)：相似形綜合題．.

解析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得

出比率式，求出OP、PN，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（2）由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，即可得出S的最大值；

3）分兩種狀況：①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比率式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比率式，求出x的值即可．解答：解：（1）依照題意得：MA=x，，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，

作NP⊥OA于P，如圖1所示：則NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴，即，解得：OP=x，PN=，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（x，）；（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM邊上的高PN=，∴S=OM?PN=（4﹣x）?=﹣x2+x，∴S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S=﹣x2+x（0＜x＜4），2，配方得：S=﹣（x﹣2）+∵﹣＜0，∴S有最大值，當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，最大值是；

3）存在某一時(shí)辰，使△OMN是直角三角形，原由以下：分兩種狀況：①若∠OMN=90°，如圖2所示：

則MN∥AB，

此時(shí)OM=4﹣x，，

∵M(jìn)N∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如圖3所示：

則∠ONM=∠OAB，

此時(shí)OM=4﹣x，，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴，

即，

解得：x=；

綜上所述：x的值是2秒或秒．

談?wù)摚捍祟}是相似形綜合題目，觀察了相似三角形的判斷與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形特

征、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、求二次函數(shù)的解析式以及最值等知識(shí)；此題難

度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類談?wù)?，?jīng)過證明三角形相似才能得出結(jié)

果．

5．(2015

·圳，第深

22題

分)如圖

1，水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器，三角板的邊

AB

和量角器的直徑DE在一條直線上，ABBC

三角板以2cm/s的速度向右搬動(dòng)。

6cm,OD

3cm,開始的時(shí)候BD=1cm,現(xiàn)在

1）當(dāng)B與O重合的時(shí)候，求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

2）如圖2，當(dāng)AC與半圓相切時(shí)，求AD；

（3）如圖3，當(dāng)AB和DE重合時(shí)，求證：CF2CGCE。

【解析】

6．

(2015

·河南，第

17題9分)如圖，AB是半圓

O的直徑，點(diǎn)

P是半圓上不與點(diǎn)

A、B重合

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長

BP到點(diǎn)

C，使

PC=PB，D

是

AC的中點(diǎn)，連接

PD，PO.

（1）求證：△CDP∽△POB；

（2）填空：

①若

AB=4，則四邊形

AOPD

的最大面積為

；

②連接

OD，當(dāng)∠PBA的度數(shù)為

時(shí)，四邊形

BPDO

是菱形

.

C

（1）【解析】要△CDP≌△POB，已知有一相等，合已知條件易得PDP是△ACB的中位，而可得出一角和一相等，依照DSAS即可得.解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，PC=PB，????????????????（3分）∴DP∥DB，DP1AB，∴∠CPD=∠PBO.OB2A∵OB第17題1AB,∴DP=OB，∴△CDP≌△POB（SAS）.????????????（5分）2C

P

D

A

O

B

第17解

(2)【解析】①易得四形AOPD是平行四形，由于AO

最大，就得使四形AOPD底AO上的高最大，即當(dāng)

是定，要使四形AOPD的面

OP⊥OA面最大；②易得四

形BPDO是平行四形，再依照菱形的判斷獲取△PBO是等三角形即可求解.

解：①4；??????????????????????????????（7分）

②60°.（注：若填60，不扣分）???????????????????（9分）

【解法提示】①當(dāng)OP⊥OA四形AOPD的面最大，∵由（1）得DP=AO，DP∥DB，

∴四形AOPD是平行四形，∵AB=4，∴AO=PO=2，∴四形AOPD的面最大,2×2=4；

②接OD,∵由（1）得DP=AO=OB，DP∥DB，∴四形BPDO是平行四形，∴當(dāng)OB=BP

四形BPDO是菱形，∵PO=BO，∴△PBO是等三角形，∴∠PBA=60°.

7.（2015?四川成都

,第

28

12分）

如，在平面直角坐系

xOy中，拋物

y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與

x交于

A、B

兩點(diǎn)

（點(diǎn)

A在點(diǎn)

B的左），點(diǎn)

A的直

l：y＝kx＋b與

y半交于點(diǎn)

C，與拋物的

另一個(gè)交點(diǎn)D，且CD＝4AC．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐，并求直l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）點(diǎn)E是直l上方的拋物上的點(diǎn)，若△ACE的面的最大5，求a的；4

（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為極點(diǎn)的四邊

形可否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能夠，請說明原由．

y

【答案】：（1）A（－1，0），y＝ax＋a；E

2（2）a＝－5；OxAB（3）P的坐標(biāo)為（267C1，－7）或（1，－4）【解析】：Dl（1）A（－1，0）∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A，∴0＝－k＋b，b＝ky＝kx＋k

令ax2－2ax－3a＝kx＋k，即ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0

∵CD＝4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4

k∴－3－a＝－1×4，∴k＝a

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a

（2）過點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F

設(shè)E（x，ax2－2ax－3a），則F（x，ax＋a）

EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4a

S△ACE＝S△AFE－S△CFE11＝2(ax2－3ax－4a)(x＋1)－2(ax2－3ax－4a)x1213225＝2(ax－3ax－4a)＝2a(x－2)－8a∴△ACE的面積的最大值為－258a∵△ACE的面積的最大值為542552∴－8a＝4，解得a＝－53）令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0

解得x1＝－1，x2＝4

∴D（4，5a）

∵y＝ax2－2ax－3a，∴拋物線的對稱軸為x＝1

y

OxABCDl

y

備用圖EOxACBFDl

y

OxACBDl

設(shè)P（1，m）

①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a）

m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a）

∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90°

∴AD2＋PD2＝AP2

52＋(5a)2＋(1－4)2＋(26a－5a)2＝(－1－1)2＋(26a)2

17即a2＝7，∵a＜0，∴a＝－7

∴P1（1，－2677）②若AD是矩形的一條對角線y35aQ則線段AD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），Q（2，－3a）m＝5a－(－3a)＝8a，則P（1，8a）OACBx∵四邊形APDQ為矩形，∴∠APD＝90°∴AP2＋PD2＝AD2Dl∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2P11即a2＝4，∵a＜0，∴a＝－2∴P2（1，－4）綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為極點(diǎn)的四邊形能成為矩形

267點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－7）或（1，－4）

8.（2015遼寧大連，26，12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的極點(diǎn)A，C分

別在x軸和y軸的正半軸上，極點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2m,m），翻折矩形OABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重

合，獲取折痕DE.設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為F,折痕DE所在直線與y軸訂交于點(diǎn)G，經(jīng)過點(diǎn)C、F、

D的拋物線為yax2bxc。

1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的式子表示）

2）若點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，－3），求該拋物線的解析式。

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為M，在線段CD上方的拋物線上可否存在點(diǎn)

1P,使PM=EA?若存在，直接寫出P的坐標(biāo)，若不存在，說明原由。2

【答案】(1)（5m，m）;（2）y5x225x2（3）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（）和4612（）?！窘馕觥拷猓海?）設(shè)D的坐標(biāo)為：（d,m)，依照題意得：CD=d,OC=m

（第26題圖）

由于CD∥EA,所以∠CDE=∠AED,又由于∠AED=∠CED，所以∠CDE=∠CED，所以CD=CE=EA=d,OE=2m－d,

在Rt△COE中，OC2OE2CE2,m22md2d2，解得：d5m。4所以D的坐標(biāo)為：（5m，m）4

作DH垂直于X軸，由題意得：OG=3，

OE=OA－EA=2m－5m=3m.EH=OH－OE=5m－3m=1m,DH=m.44442OEOG3m34△GOE∽△DHE,HEHD,1。所以m=2mm2

所以此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2）,CD=5,CF=2，F(xiàn)D=BD=4－5222由于CD×FI=CF×FD,FI=2×÷CI=CF2FI2222,所以F的坐標(biāo)為（，）

拋物線為yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)C、F、D，所以代入得：

c2c25c2解得：a2ac625b12所以拋物線解析式為y5x225x2。123）存在，由于PM=1EA，所以PM=1CD.以M為圓心，MC為半徑化圓，交拋物線于22

點(diǎn)F和點(diǎn)P.以以下列圖：

點(diǎn)P坐標(biāo)為（）和（）。

9.（2015?浙江省臺(tái)州市，第23題）如圖，在多邊形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，

AB=5，AE=2，ED=3，過點(diǎn)E作EF∥CB交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B=1，過AE上的點(diǎn)P作PQ∥AB交線段EF于點(diǎn)O，交折線BCD于點(diǎn)Q，設(shè)AP=x，PO.OQ=y

（1）①延長BC交ED于點(diǎn)M，則MD=，DC=②求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)1時(shí)，9ay6b，求ax(a0)，b的值；2（3）當(dāng)1y3時(shí)，請直接寫出x的取值范圍

10.（2015?浙江湖州，第

24題

12分）在直角坐標(biāo)系

xOy

中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段

AB的兩

個(gè)端點(diǎn)

A(0，2)，B(1，0)分別在

y軸和

x軸的正半軸上，點(diǎn)

C為線段

AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將線段

BA繞點(diǎn)

B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

90°獲取線段

BD，拋物線

y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)

D.

(1)如圖

1，若該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)

O，且

a=

.

①求點(diǎn)

D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式

.

②連接

CD，問：在拋物線上可否存在點(diǎn)

P，使得∠POB

與∠BCD

互余？若存在，央求出所

有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明原由.

(2)如圖2，若該拋物線2在拋物線上，且滿足∠QOBy=ax+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，點(diǎn)Q與∠BCD互余，若吻合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請直接寫出a的取值范圍.

【答案】(1)①D（3，1），；②在拋物線上存在點(diǎn),

使得∠POB與∠BCD互余.（2）a的取值范圍是.

【解析】

試題解析：(1)①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,可證△AOB≌△BFD，即可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，

把a(bǔ)=，點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線即可求拋物線的解析式.②由C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1

可知CD∥x軸，所以∠BCD=∠ABO,又因∠BAO與∠BCD互余，若要使得∠POB與∠BCD

互余，則需滿足∠POB=∠BAO,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，）.分兩種狀況：第一種

狀況，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G,由

tan∠POB=tan∠BAO=

可得

，解得

x的值后代入

求得

的值即可得點(diǎn)

P的坐標(biāo).

第一種狀況，當(dāng)點(diǎn)

P在x軸下

方時(shí)，利用同樣的方法可求點(diǎn)

P的坐標(biāo)

.（2）拋物線

y=ax2+bx+c過點(diǎn)

E、D，代入可得

，解得

，所以

，分兩種狀況：

①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c張口向下時(shí)，滿足∠QOB與∠BCD互余且吻合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)

是4個(gè)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)，點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)必定在x軸的正半軸上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜，當(dāng)a＜吻合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè),點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，吻合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè).所以當(dāng)a

＜，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD

互余，若吻合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)；②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c張口向上時(shí)，滿足∠QOB與∠BCD互余且吻合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線2Q有兩個(gè).當(dāng)OQ與拋物線y=ax+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，吻合條件的點(diǎn)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，直線OQ必定與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，吻合條件的點(diǎn)Q才有兩個(gè).由題意可求的直線OQ的解析式為，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c由兩個(gè)交點(diǎn)，所以，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以△=，即，畫出二次函數(shù)圖象并觀察可得的解集為或（不合題意舍去），所

以當(dāng)，在x軸的下方吻合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè).所以當(dāng)，拋物線

y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，若吻合

條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè).

綜上，當(dāng)a＜或時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)E(1，1)，點(diǎn)Q在拋物

線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余，吻合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè).試題解析：解：(1)①過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F,以下列圖.

∵∠DBF+∠ABO=90°,

∠BAO+∠ABO=90°,

∴∠DBF=∠BAO,

又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,

∴△AOB≌△BFD,

DF=BO=1,BF=AO=2,

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），

依照題意得，，

∴，∴該拋物線的解析式為.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，過點(diǎn)

則tan∠POB=tan∠BAO，即

∴，解得

P作

,

PG⊥x軸于點(diǎn)，

G,

∴

，

∴點(diǎn)

P的坐標(biāo)是

.

(2)a的取值范圍是.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

11.（2015?浙江金華，第23題10分）圖1，圖2為同一長方體房間的表示圖，圖2為該長

方體的表面張開圖.

（1）蜘蛛在極點(diǎn)A'處①蒼蠅在極點(diǎn)B處時(shí)，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行

的近來路線；②蒼蠅在極點(diǎn)C處時(shí)，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD

爬行的近來路線A'GC和往墻面BB'C'C爬行的近來路線A'HC，試經(jīng)過計(jì)算判斷哪條路線

更近？

（2）在圖3中，半徑為10dm的⊙M與D'C'相切，圓心M到邊CC'的距離為15dm，蜘蛛

P在線段

AB

上，蒼蠅

Q在⊙M

的圓周上，線段

PQ為蜘蛛爬行路線。若

PQ

與⊙M

相切，

試求

PQ

的長度的范圍

.

【答案】解：（1）①如答圖1，連接A'B，線段A'B就是所求作的近來路線.

②兩種爬行路線如答圖2所示，

由題意可得：

在Rt△A'C'C2中，A'HC2=A'C'2C'C227023025800(dm)；在Rt△A'B'C1中，A'GC1=A'B'2B'C124026025200(dm)5800＞，∴路線A'GC1更近.

（2）如答圖，連接MQ，

∵PQ為⊙M的切線，點(diǎn)Q為切點(diǎn)，

∴MQ⊥PQ.

2222∴在Rt△PQM中，有PQ=PM－QM=PM－100，

當(dāng)MP⊥AB時(shí),MP最短，PQ獲取最小值，如答圖3,

∴PQ=PM2QM2502102206(dm).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),MP最長，PQ獲取最大值，如答圖4,

過點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，

∵由題意可得PN=25，MN=50，

∴在Rt△PMN中，PM2AN2MN2252502.∴在Rt△PQM中，PQ=PM2QM225250210255(dm).

綜上所述，PQ長度的取值范圍是206dmPQ55dm.

【考點(diǎn)】長方體的表面張開圖；雙動(dòng)點(diǎn)問題；線段、垂直線段最短的性質(zhì)；直線與圓的地址

關(guān)系；勾股定理.

【解析】（1）①依照兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)作答.

②依照勾股定理，計(jì)算兩種爬行路線的長，比較即可獲取結(jié)論.（2）當(dāng)

MP⊥AB時(shí),MP

最短，

PQ

獲取最小值；當(dāng)點(diǎn)

P與點(diǎn)

A重合時(shí),MP最長，

PQ

獲取

最大值

.求出這兩種狀況時(shí)的

PQ長即可得出結(jié)論

.

12、（2015?四川自貢

,第23題12分）如圖，已知拋物線

yax2

bx

c(a

0)

的對稱軸為

x1，且拋物線經(jīng)過

A1,0,C0,3兩點(diǎn)，與

x軸交于點(diǎn)

B.

⑴.若直線

y

mx

n經(jīng)過

B、C兩點(diǎn)，求直線

BC所在直線的解析式；

⑵.

拋物線的對稱軸

x

1上找一點(diǎn)

M

,使點(diǎn)

M

到點(diǎn)

A的距離與到點(diǎn)

C的距離之和最小，求

出此點(diǎn)

M

的坐標(biāo)；

⑶.設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、軸對稱的性質(zhì)、三角形三邊之間關(guān)系、勾股定理及其逆定理、分類談?wù)摰乃枷?、解方程?

y

解析：

⑴.B、C兩點(diǎn)是拋物線yax2bxc(a0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，依照題中供應(yīng)的對稱軸和A1,0,C0,3能夠確定拋物線的解析式，再經(jīng)過拋物線的解析式可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步可求出直線BC所在直線的解析式

.要求點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，要點(diǎn)是作出A或C關(guān)于直線x1為對稱軸的對稱點(diǎn)，依照二次函

C

M

BOAx

數(shù)圖象及其性質(zhì)，A關(guān)于直線x1的對稱點(diǎn)恰好是B；依照

軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊之間的關(guān)系可知，此時(shí)M到點(diǎn)A的

距離與到點(diǎn)C的距離之和即CMAM的值最??；M是直線x1和直線BC的交點(diǎn)，所以

把x1代入⑴問中求出的BC所在直線的解析式即可求出M的坐標(biāo).

⑶.要使△BPC為直角三角形有三種狀況，即以點(diǎn)B為直角極點(diǎn)、以點(diǎn)C為直角極點(diǎn)、以

點(diǎn)P為直角極點(diǎn)的直角三角形；由于P為拋物線的對稱軸x1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以P的橫

坐標(biāo)為1，我們能夠設(shè)P的縱坐標(biāo)為一個(gè)未知數(shù)，利用勾股定理（也許是平面直角坐標(biāo)系

中的兩點(diǎn)間的距離公式）分別表示出△BPC的三邊，再以勾股定理的逆定理為依照，按上

面所說的三種狀況進(jìn)行談?wù)?，建立方程解方程后P的縱坐標(biāo)即可求出.y

略解：C

b1M2aa1⑴.依照題意：abc0解得：b2c3

c3

∴拋物線的解析式為yx22x3

BOAx

∵本拋物線的對稱軸為x1，且拋物線過點(diǎn)A1,0∴把B3,0、分別代入ymxn得:3mn0解得：m1n3n3

∴直線ymxn的解析式為yx3⑵.設(shè)直線BC與對稱軸x1的交點(diǎn)為M,則此時(shí)MAMC的值最小.把x1代入yx3得：y2∴M1,2，即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的.坐標(biāo)為1,2.⑶.設(shè)p1,t，又B3,0,C0,3∴BC218,PB2132t2,PC2232t26t101t①.若點(diǎn)B為直角極點(diǎn)，則BC2PB2PC2,即184t2t26t10解得：t2；②.若點(diǎn)C為直角極點(diǎn)，則BC2PC2PB2,即18t26t104t2解得：t4；③.若點(diǎn)P為直角極點(diǎn)，則PB2PC2BC2,即4t2t26t1018解得：317317t,t222綜上所述P點(diǎn)的坐標(biāo)為1,2或1,4或317或1,3171,2213、（2015?四川自貢,第24題14分）在△ABC中，ABAC5,cosABC3,將△ABC繞5點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，獲取△A1B1C.

.如圖①，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時(shí).①.求證：BB1PCA1；②.求△AB1C的面積；

⑵.如圖②，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1，求線段EF1長度的最大值與最小值的差.B1B1A1F1AA勾股定理、圓的基本性質(zhì)等.F解析：BCBC①E⑴.①.見圖①要使BB1PCA1依照此題的條件能夠經(jīng)過這兩線所截得內(nèi)錯(cuò)角②12來證得.如圖依照ABAC能夠得出BACB，依照旋轉(zhuǎn)的特色能夠得出B1CBC，所以1B，而2ACB(旋轉(zhuǎn)角相等)，所以12.②.求△AB1C的面積能夠把AB1作為底邊，其高在B1A的延長線上，恰好落在等腰三角形

ABC的AB上；在等腰ABCBBC和1依照等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理能夠求出AB、BB1、CE，而AB1BB1AB，△AB1C的面積能夠經(jīng)過1AB1CE求出.2⑵.見圖②.C作CFABF點(diǎn)C到AB的垂線段最短，過點(diǎn)于F；點(diǎn)F點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是1，若以點(diǎn)C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,EF1有最小值；依照⑴的CAAB5和求出的BC6，當(dāng)點(diǎn)F為線段AB上的移到端點(diǎn)A時(shí)CA最長，此時(shí)其對應(yīng)點(diǎn)F'搬動(dòng)到A1時(shí)CA1也就最長；如圖②，以點(diǎn)C為圓心BC為半徑畫圓交BC于的延長線F1',EF1有最大值.EF1

有最小值和最大值都能夠利用同圓的半徑相等在圓的同一條直徑上來獲取解決（見圖②）.

2.略解：

⑴.①.證明：

ABAC,B1CBC

∴BACB,1B

2ACB(旋轉(zhuǎn)角相等)

12

BB1PCA1

②.過A作AFBC于F,過C作CEAB于E

ABAC,AFBC

∴BFCF（三線合一）

∵在RtAFB中，cosABCBF3B1AB,又AB55A1∴BF3A1E∴BC62∴B1CBC6BCF①∴作CEAB后BEB1E（三線合一）∴B1B2BE∵在RtAFB中，cosBECBE3BC5∴BE185

C

36∴BB152∴CE62-18=24（注：也能夠用三角函數(shù)求出）5536511∴AB155∴△AB1C的面積為：1112413225525⑵.如圖過點(diǎn)C作CFAB于F,以點(diǎn)C為圓心CF為半徑畫圓交BC于F1,EF1有最小值.此時(shí)在Rt△BFC中，CF24.524CF15

∴EF1的最小值為CFCE249；35F1F1'5如圖，以點(diǎn)C為圓心BC為半徑畫圓交BC于的延長線

F1',EF1有最大值.

此時(shí)EF1'ECCF1'369

936∴線段EF1的最大值與最小值的差9.5514．（2015?廣東省,第25題，9分）如圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角板Rt△ABC

與Rt△ADC拼在一起，使斜邊AC完好重合，且極點(diǎn)B，D分別在AC的兩旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.

（1）填空：AD=▲(cm