2019-2020學年湖北省隨州市高二（上）期末數(shù)學試卷

第25頁（共25頁）2019-2020學年湖北省隨州市高二（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的）1．（5分）直線的傾斜角是A． B． C． D．2．（5分）數(shù)列2，，的一個通項公式等于A． B． C． D．3．（5分）拋物線的焦點到準線的距離為A．2 B． C． D．44．（5分）設為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，則對于下列結論，各選項說法正確的為①若，則；②若，則；③設與所成的角為，則．A．只有①正確 B．只有②③正確 C．只有①③正確 D．①②③都正確5．（5分）已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A． B． C． D．6．（5分）已知數(shù)列中，，，則等于A． B． C． D．7．（5分）若，則方程所表示的曲線一定不會是A．直線 B．焦點在軸上的橢圓 C．焦點在軸上的橢圓 D．雙曲線8．（5分）如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于A． B． C． D．9．（5分）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點、間的距離為2，動點滿足，則的最大值為A． B． C． D．10．（5分）有兩個等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的項數(shù)為A．15 B．16 C．17 D．1811．（5分）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B． C． D．12．（5分）棋盤上標有第0、1、2、100站，棋子開始位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時，游戲結束．設棋子位于第站的概率為，設．則下列結論正確的有①；；②數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共4小題，將答案填在答題卡中的橫線上）13．（5分）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為．14．（5分）若直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為．15．（5分）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第行第列的數(shù)為，則，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)次．2345673579111347101316195913172125611162126317131925313716．（5分）若橢圓與橢圓的焦距相等，給出如下四個結論：①和一定有交點；②若，則；③若，則；④設與在第一象限內相交于點，，若，則．其中，所有正確結論的序號是．三、解答題（本大題共6小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項．（2）設，求數(shù)列的前項和．18．（12分）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：（1）頂點的坐標；（2）直線的方程．19．（12分）某學習軟件以數(shù)學知識為題目設置了一項闖關游戲，共有15關，每過一關可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關者選擇．方案一：每闖過一關均可獲得40積分；方案二：闖過第一關可獲得5積分，后面每關的積分都比前一關多5；方案三：闖過第一關可獲得0.5積分，后面每關的積分都是前一關積分的2倍．若某關闖關失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關的積分之和，設三種方案闖過且關后的積分之和分別為，，，要求闖關者在開始前要選擇積分方案．（1）求出，，的表達式；（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個闖關者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關，則他應該選擇第幾種積分方案？20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且，．（1）在上是否存在一點，使得平面，若存在，找出的位置，若不存在，請說明理由；（2）求二面角的大小．21．（12分）在中，兩直角邊，的長分別為，（其中，以的中點為圓心，作半徑為的圓．（1）若圓與的三邊共有4個交點，求的取值范圍；（2）設圓與邊交于，兩點；當變化時，甲乙兩位同學均證明出為定值甲同學的方法為：連接，，，利用兩個小三角形中的余弦定理來推導；乙同學的方法為；以為原點建立合適的直角坐標系，利用坐標法來計算．請在甲乙兩位同學的方法中選擇一種來證明該結論，定值用含、的式子表示．（若用兩種方法，按第一種方法給分）22．（12分）橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，，設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點，設直線，的斜率分別為，，若，試證明為定值，并求出這個定值．

2019-2020學年湖北省隨州市高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符號題目要求的）1．（5分）直線的傾斜角是A． B． C． D．【分析】求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．【解答】解：因為直線的斜率為：，直線的傾斜角為：．所以，故選：．【點評】本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識的應用．2．（5分）數(shù)列2，，的一個通項公式等于A． B． C． D．【分析】分別判斷出分子和分母構成的數(shù)列特征，再求出此數(shù)列的通項公式．【解答】解：，4，8，16，32，是以2為首項和公比的等比數(shù)列，且1，3，5，7，9，是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，此數(shù)列的一個通項公式是，故選：．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式，以及等差、等比數(shù)列的通項公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．3．（5分）拋物線的焦點到準線的距離為A．2 B． C． D．4【分析】將拋物線轉化標準方程，根據拋物線的性質，求得焦點及準線方程，即可求得焦點到準線的距離．【解答】解：拋物線的標準方程，則焦點坐標為，準線方程為，焦點到準線的距離，故選：．【點評】本題考查拋物線的標準方程及簡單性質，考查焦點到準線的距離，屬于基礎題．4．（5分）設為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，則對于下列結論，各選項說法正確的為①若，則；②若，則；③設與所成的角為，則．A．只有①正確 B．只有②③正確 C．只有①③正確 D．①②③都正確【分析】利用直線的方向向量與平面的法向量的位置關系判斷命題的正誤即可．【解答】解：為平面外的一條直線，的方向向量為，的法向量為，①若，則；正確；（是判斷直線與平面平行的方法之一）．②若，則；正確；（這是判斷直線與平面垂直的方法之一）．③設與所成的角為，則．正確，（這是利用向量方法求解直線與平面所成角方法之一）．所以①②③都正確．故選：．【點評】本題考查命題的真假的判斷，空間想象能力的應用，是基本知識的考查，基礎題．5．（5分）已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為A． B． C． D．【分析】由離心率和的關系可得，而漸近線方程為，代入可得答案．【解答】解：由雙曲線，則離心率，即，故漸近線方程為，故選：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，涉及的漸近線方程，屬基礎題．6．（5分）已知數(shù)列中，，，則等于A． B． C． D．【分析】直接利用數(shù)列的遞推關系式的應用求出結果．【解答】解：數(shù)列中，，，所以，，，，所以，則：，所以．故選：．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．7．（5分）若，則方程所表示的曲線一定不會是A．直線 B．焦點在軸上的橢圓 C．焦點在軸上的橢圓 D．雙曲線【分析】對的取值進行討論，由曲線方程的特性可判斷方程所表示的曲線．【解答】解：根據，取，則曲線表示直線；當時，曲線表示雙曲線；當且時，曲線表示焦點在軸上的橢圓．故選：．【點評】題考查方程與曲線，考查分類討論的數(shù)學思想，熟練掌握與理解曲線標準方程的特征是關鍵，屬基礎題．8．（5分）如圖，空間四邊形中，，，，且，，則等于A． B． C． D．【分析】，可得．由，可得．可得．【解答】解：，，，．．故選：．【點評】本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形法則，屬于基礎題．9．（5分）古希臘幾何學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．若平面內兩定點、間的距離為2，動點滿足，則的最大值為A． B． C． D．【分析】求出點的軌跡方程，利用其幾何意義即可得解．【解答】解：以經過，兩點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，則，，設，則，化簡得，，即，點在以為圓心，為半徑的圓上，則有，而表示圓上的點與原點距離的平方，易知，故，故．故選：．【點評】本題考查圓軌跡方程的求法，考查兩點間的距離，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．10．（5分）有兩個等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的項數(shù)為A．15 B．16 C．17 D．18【分析】有兩個等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列為：2，14，26，．利用通項公式即可得出．【解答】解：有兩個等差數(shù)列2，6，10，，190和2，8，14，，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列為：2，14，26，．首項，公差．．令，解得．這個新數(shù)列的項數(shù)為16．故選：．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．11．（5分）橢圓與雙曲線共焦點，，它們的交點對兩公共焦點，的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B． C． D．【分析】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，到兩焦點的距離分別為，，焦距為，分別運用橢圓和雙曲線的定義，以及三角形的余弦定理和離心率公式，結合二倍角公式，即可得到結論．【解答】解：設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，到兩焦點的距離分別為，，焦距為，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，解得，，由余弦定理可得，則，化為，可得，由，，可得．故選：．【點評】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，主要是離心率，考查三角形的余弦定理和二倍角公式的運用，考查化簡變形能力，屬于中檔題．12．（5分）棋盤上標有第0、1、2、100站，棋子開始位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時，游戲結束．設棋子位于第站的概率為，設．則下列結論正確的有①；；②數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①結合分類和分步計數(shù)原理，即可逐一算出相應的概率；②棋子到第站分兩種情形：先到第站，再擲出反面，其概率為；先到第站，再擲出正面，其概率為，所以，進而得證；③由②可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，可求得，，，進而得證；④由③可知．【解答】解：①棋子從第0站到第1站，只能向前走一步，所以；棋子到第2站，有兩種方式：直接從第0站到第2站，分兩步到第2站，所以；棋子到第3站，有三種方式：先到第1站再到第3站，先到第2站再到第3站，分三步到第3站，所以，所以①正確；②棋子到第站分兩種情形：先到第站，再擲出反面，其概率為；先到第站，再擲出正面，其概率為，所以，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，即②正確；③由②知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，又，則，因為若跳到第99站時，游戲自動停止，故．所以，即③錯誤；④，即④正確．所以正確的有①②④，故選：．【點評】本題考查數(shù)列與概率的綜合，弄清楚，，之間的關系是題解的關鍵，考查學生的邏輯推理能力和運算能力，屬于難題．二、填空題（本大題共4小題，將答案填在答題卡中的橫線上）13．（5分）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為3．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式求和公式即可得出．【解答】解：設設等差數(shù)列的公差為，，，，，聯(lián)立解得：．故答案為：3．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．14．（5分）若直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為，．【分析】確定曲線的幾何意義，利用圖形求出兩個極端位置的值，即可求得實數(shù)的范圍．【解答】解：曲線表示以為圓心，2為半徑的圓在直線右側的部分如圖所示，當直線與圓相切時，；當直線過點時，，此時有兩個交點．實數(shù)的范圍是故答案為：，．【點評】本題考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，考查直線與圓的位置關系，正確利用曲線的幾何意義是關鍵．15．（5分）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第行第列的數(shù)為，則57，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)次．23456735791113471013161959131721256111621263171319253137【分析】根據表中的規(guī)律可得第行等差數(shù)列的公差為，由此算出第一行數(shù)組成的數(shù)列通項為，再根據第列等差數(shù)列的公差等于，算出．由此代入數(shù)據即可算出的值；求出的通項公式，可得即，算出、的情況有12種，由此可得表中數(shù)2021共出現(xiàn)12次．【解答】解：根據題意，第行的等差數(shù)列的公差為，第列的等差數(shù)列的公差等于，、，第一行數(shù)組成的數(shù)列，2，是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，可得，又第列數(shù)組成的數(shù)列，2，是以為首項，公差為的等差數(shù)列，．；由，得，因此表中20121總共出現(xiàn)12次．故答案為：57，12．【點評】本題給出“森德拉姆素數(shù)篩”的例子，求表格中的指定項，并求2021在表中出現(xiàn)了幾次．著重考查了等差數(shù)列的通項公式及其應用的知識，屬于中檔題．16．（5分）若橢圓與橢圓的焦距相等，給出如下四個結論：①和一定有交點；②若，則；③若，則；④設與在第一象限內相交于點，，若，則．其中，所有正確結論的序號是②④．【分析】根據橢圓的標準方程和基本幾何性質逐一判斷每個選項即可．【解答】解：①橢圓和橢圓的焦距均為2，但兩個橢圓沒有交點，即①錯誤；②由題意可知，，化簡得，因為，所以，即②正確；③在橢圓中，；在橢圓中，，滿足，但，即③錯誤；④因為兩個橢圓有交點，，且，所以，因為，所以，所以，即④正確．故答案為：②④．【點評】本題考查橢圓的標準方程和基本幾何性質，考查學生分析問題的能力和計算能力，屬于基礎題．三、解答題（本大題共6小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項．（2）設，求數(shù)列的前項和．【分析】（1）根據得出遞推式，確定是等比數(shù)列，再計算，從而得出通項公式；（2）根據錯位相減法求和．【解答】解：（1），，兩式相減得：，即，又，，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，．（2），，，兩式相減得：，．【點評】本題考查了等比數(shù)列的判斷，通項公式，錯位相減法求和，屬于中檔題．18．（12分）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：（1）頂點的坐標；（2）直線的方程．【分析】（1）設，利用點與直線的位置關系、相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出；（2）利用中點坐標公式、點斜式即可得出．【解答】解：（1）設，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．，解得．．（2）設，則，解得．．直線的方程為，化為．【點評】本題考查了點與直線的位置關系、相互垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、點斜式，考查了計算能力，屬于基礎題．19．（12分）某學習軟件以數(shù)學知識為題目設置了一項闖關游戲，共有15關，每過一關可以得到一定的積分，現(xiàn)有三種積分方案供闖關者選擇．方案一：每闖過一關均可獲得40積分；方案二：闖過第一關可獲得5積分，后面每關的積分都比前一關多5；方案三：闖過第一關可獲得0.5積分，后面每關的積分都是前一關積分的2倍．若某關闖關失敗則停止游戲，最終積分為闖過的各關的積分之和，設三種方案闖過且關后的積分之和分別為，，，要求闖關者在開始前要選擇積分方案．（1）求出，，的表達式；（2）為獲得盡量多的積分，如果你是一個闖關者，試分析這幾種積分方案該如何選擇？小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關，則他應該選擇第幾種積分方案？【分析】（1）利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式求解即可．（2）通過數(shù)列的和的大小，判斷小明通過試驗后覺得自己至少能闖過12關，則他應該選擇第幾種積分方案即可．【解答】解：（1）按方案一闖過各關所得積分構成常數(shù)數(shù)列，故；按方案二闖過各關所得積分構成首項為5，公差為5的等差數(shù)列，故；按方案三闖過各關所得積分構成首項為，公比為2的等比數(shù)列，故．（2）令，即，解得，而當時，，又因為且，故恒成立，故方案二不予考慮．令，即，解得，故有，當時，；當，，故當能闖過的關數(shù)小于10時，應選擇方案一；當能闖過的關數(shù)大于等于10時，應選擇方案三．小明應該選擇方案三．【點評】本題考查數(shù)列求和，以及數(shù)列和的大小的比較，是基本知識的考查，轉化思想的應用，是中檔題．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且，．（1）在上是否存在一點，使得平面，若存在，找出的位置，若不存在，請說明理由；（2）求二面角的大?。痉治觥浚?）方法①：證明，結合，推出，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，假設在上存在一點，使得平面，設，求出平面的一個法向量為，通過平面，解得，得到結果．方法②：存在，在線段上，且，證明，過點作交于，連接，說明四邊形為平行四邊形，推出，然后證明平面．（2）求出平面的法向量，平面的法向量，通過空間向量的數(shù)量積，轉化求解二面角的大小即可．【解答】解：（1）方法①：平面，平面，，又，，，則可以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，假設在上存在一點，使得平面，設，由，0，，，3，，得，由可得，，，又，0，，故．易知：平面，故可取平面的一個法向量為，若平面，則，解得，故在上存在點，當時，有平面．方法②：存在，在線段上，且，證明如下過點作交于，連接，當時，，又且，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）由（1）可知，0，，，0，，，3，，，3，，，設平面的法向量，則即，令，則，，此時，1，，設平面的法向量，則，即令，則，，此時，，，二面角為銳二面角，二面角的大小為．【點評】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應用，存在性問題的解決方法，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力邏輯推理能力以及計算能力；是中檔題．21．（12分）在中，兩直角邊，的長分別為，（其中，以的中點為圓心，作半徑為的圓．（1）若圓與的三邊共有4個交點，求的取值范圍；（2）設圓與邊交于，兩點；當變化時，甲乙兩位同學均證明出為定值甲同學的方法為：連接，，，利用兩個小三角形中的余弦定理來推導；乙同學的方法為；以為原點建立合適的直角坐標系，利用坐標法來計算．請在甲乙兩位同學的方法中選擇一種來證明該結論，定值用含、的