高等數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)指南

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指南第一章函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.理解函數(shù)的概念．2.了解分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念．3.了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).4.會建立簡單實際問題的函數(shù)模型.重點函數(shù)的概念、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域.難點分段函數(shù)的概念，建立簡單實際問題的函數(shù)模型.（二）內(nèi)容提要1.函數(shù)的定義函數(shù)的定義定義1設(shè)和是兩個變量,是一個給定的數(shù)集,如果對于每個數(shù),變量按照一定法則總有惟一確定的數(shù)值與其對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域,稱為自變量,稱為因變量.當(dāng)自變量取數(shù)值時，因變量按照法則所取定的數(shù)值稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值，記作.當(dāng)自變量遍取定義域的每個數(shù)值時,對應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集=稱為函數(shù)的值域.定義2設(shè)與是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應(yīng)規(guī)則，使得對中任何一個實數(shù)，在中都有惟一確定的實數(shù)與對應(yīng)，則對應(yīng)規(guī)則稱為在上的函數(shù)，記為,稱為對應(yīng)的函數(shù)值，記為,其中，稱為自變量，稱為因變量.由定義2知,函數(shù)是一種對應(yīng)規(guī)則，在函數(shù)中，表示函數(shù)，是對應(yīng)于自變量的函數(shù)值，但在研究函數(shù)時，這種對應(yīng)關(guān)系總是通過函數(shù)值表現(xiàn)出來的，所以習(xí)慣上常把在處的函數(shù)值稱為函數(shù)，并用的形式表示是的函數(shù).但應(yīng)正確理解，函數(shù)的本質(zhì)是指對應(yīng)規(guī)則.例如就是一個特定的函數(shù)，確定的對應(yīng)規(guī)則為

就是一個函數(shù).(2)函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，而函數(shù)值又是由對應(yīng)規(guī)則來確定的，所以函數(shù)實質(zhì)上是由其定義域和對應(yīng)規(guī)則所確定的，因此通常稱函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)則為函數(shù)的兩個要素.也就是說，只要兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)規(guī)則也相同，就稱這兩個函數(shù)為相同的函數(shù)，與變量用什么符號表示無關(guān)，如，就是相同的函數(shù).2．函數(shù)的三種表示方法圖像法用函數(shù)的圖形來表示函數(shù)的方法稱為函數(shù)的圖像表示方法,簡稱圖像法.這種方法直觀性強并可觀察函數(shù)的變化趨勢,但根據(jù)函數(shù)圖形所求出的函數(shù)值準(zhǔn)確度不高且不便于作理論研究.表格法將自變量的某些取值及與其對應(yīng)的函數(shù)值列成表格表示函數(shù)的方法稱為函數(shù)的表格表示方法,簡稱表格法.這種方法的優(yōu)點是查找函數(shù)值方便，缺點是數(shù)據(jù)有限、不直觀、不便于作理論研究.公式法用一個（或幾個）公式表示函數(shù)的方法稱為函數(shù)的公式表示方法,簡稱公式法，也稱為解析法.這種方法的優(yōu)點是形式簡明，便于作理論研究與數(shù)值計算，缺點是不如圖像法來得直觀.在用公式法表示函數(shù)時經(jīng)常遇到下面幾種情況：分段函數(shù)在自變量的不同取值范圍內(nèi)，用不同的公式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).如就是一個定義在區(qū)間上的分段函數(shù).②用參數(shù)方程確定的函數(shù)用參數(shù)方程（）表示的變量與之間的函數(shù)關(guān)系，稱為用參數(shù)方程確定的函數(shù).例如函數(shù)可以用參數(shù)方程表示.隱函數(shù)如果在方程中，當(dāng)在某區(qū)間I內(nèi)任意取定一個值時，相應(yīng)地總有滿足該方程的惟一的值存在，則稱方程在區(qū)間I內(nèi)確定了一個隱函數(shù).例如方程就確定了變量是變量之間的函數(shù)關(guān)系.注意能表示成(其中僅為的解析式)的形式的函數(shù),稱為顯函數(shù).把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程稱為隱函數(shù)的顯化.例如可以化成顯函數(shù).但有些隱函數(shù)確不可能化成顯函數(shù),例如.3．函數(shù)的四種特性設(shè)函數(shù)的定義域為區(qū)間，函數(shù)的四種特性如下表所示.函數(shù)的四種特性表函數(shù)的特性定義圖像特點奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，若對任意滿足則稱是上的偶函數(shù)；若對任意滿足則稱是上的奇函數(shù)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱;奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱單調(diào)性若對任意，當(dāng)時，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)增加函數(shù)；當(dāng)時，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則稱區(qū)間為單調(diào)區(qū)間單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)上升的曲線;單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)下降的曲線有界性如果存在，使對于任意滿足則稱函數(shù)是有界的圖像在直線與之間周期性如果存在常數(shù)，使對于任意，，有則稱函數(shù)是周期函數(shù)，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小周期在每一個周期內(nèi)的圖像是相同的4．基本初等函數(shù)六種基本初等函數(shù)見下表六種基本初等函數(shù)表函數(shù)解析表達(dá)式常函數(shù)（為常數(shù)）冪函數(shù)（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)（,為常數(shù)）對數(shù)函數(shù)（,為常數(shù)）三角函數(shù)反三角函數(shù)arcarc,arc5.反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的定義見下表幾種函數(shù)的定義表函數(shù)種類定義舉例反函數(shù)設(shè)函數(shù)為定義在數(shù)集上的函數(shù)，其值域為．如果對于數(shù)集中的每個數(shù)，在數(shù)集中都有惟一確定的數(shù)使成立，則得到一個定義在數(shù)集上的以為自變量，為因變量的函數(shù)，稱其為函數(shù)的反函數(shù)，記為，其定義域為，值域為函數(shù)的反函數(shù)為復(fù)合函數(shù)若函數(shù)的定義域為，函數(shù)在上有定義，其值域為且，則對于任一，通過函數(shù)有確定的與之對應(yīng)，通過函數(shù)有確定的值與之對應(yīng)．這樣對于任一，通過函數(shù)有確定的值與之對應(yīng)，從而得到一個以為自變量，為因變量的函數(shù)，稱其為由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為，其定義域為，稱為中間變量由函數(shù)和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)為．由函數(shù)和不能復(fù)合成復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合運算而得到的，且用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)二、主要解題方法1．求函數(shù)定義域的方法例1求下列函數(shù)的定義域:(1)=+，(2)=.解(1)由所給函數(shù)知,要使函數(shù)有定義，必須滿足兩種情況，偶次根式的被開方式大于等于零或?qū)?shù)函數(shù)符號內(nèi)的式子為正，可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即推得這兩個不等式的公共解為與所以函數(shù)的定義域為.(2)由所給函數(shù)知，要使函數(shù)有定義，必須分母不為零且偶次根式的被開方式非負(fù)；反正弦函數(shù)符號內(nèi)的式子絕對值小于等于1.可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即推得即,因此，所給函數(shù)的定義域為.小結(jié)函數(shù)由解析式給出時，其定義域是使解析式子有意義的一切函數(shù).為此求函數(shù)的定義域時應(yīng)遵守以下原則：(I)在式子中分母不能為零；(II)在偶次根式內(nèi)非負(fù)；(III)在對數(shù)中真數(shù)大于零；(IV)反三角函數(shù)，要滿足；(V)兩函數(shù)和（差）的定義域，應(yīng)是兩函數(shù)定義域的公共部分；(VI)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.(VII)求復(fù)合函數(shù)的定義域時，一般是外層向里層逐步求.2．將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的方法例2將下列復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)(1)，（2）.解(1)最外層是二次方，即，次外層是正弦，即，從外向里第三層是冪函數(shù)，即，最里層是多項式，即,所以，分解得，，，.(2)最外層是對數(shù)，即次外層是正切，即,從外向里第三層是指數(shù)函數(shù)，即，最里層是簡單函數(shù)，即+2,所以，分解得，，，+2.小結(jié)（I）復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程是由里到外，函數(shù)套函數(shù)而成的.分解復(fù)合函數(shù)，是采取由外到內(nèi)層層分解的辦法.從而拆成若干基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運算.（II）基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).建立實際問題的函數(shù)模型的方法例3某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為若干臺，每臺售價為300元，當(dāng)年產(chǎn)量超過600臺時，超過部分只能打8折出售，這樣可出售200臺，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型.解設(shè)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為臺，收益函數(shù)為..因為產(chǎn)量超過600臺時，售價要打8折，而超過800臺時，多余部分本年銷售不出去，從而沒有效益，因此，把產(chǎn)量劃分為三個階段來考慮收益.根據(jù)題意，有即收益函數(shù)模型為例4一下水道的截面是矩形加半圓形(如圖)，截面積為，是一常量。這常量取決于預(yù)定的排水量.設(shè)截面的周長為，底寬為，試建立與的函數(shù)模型.解設(shè)矩形高為，根據(jù)等量關(guān)系寫關(guān)系式①顯見，在關(guān)系式①中有兩個變量及，此外我們應(yīng)把表成的一元函數(shù).為此，需把變量也表示成與有關(guān)的量.根據(jù)題中所給限制條件——截面積為,建立與的關(guān)系.即②將②代入①得此式即為我們所要找的周長與底寬的函數(shù)模型.小結(jié)運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題時，通常要先找出變量間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式子表示出來，然后再進(jìn)行分析和計算.建立函數(shù)模型的具體步驟可為：(1)分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示.(2)根據(jù)所給條件，運用數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)及其他知識，確定等量關(guān)系.(3)具體寫出解析式，并指明其定義域.三、學(xué)法建議1．本章的重點是函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)等概念以及定義域的求法.2．本章所介紹的內(nèi)容雖然絕大部分屬于基本概念，并且在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，但它們是微積分學(xué)本身研究問題時的主要依據(jù).因次，學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容應(yīng)在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行復(fù)習(xí)提高.3．從實際問題中建立函數(shù)模型是解決實際問題關(guān)鍵性的一步，也是比較困難的一步，因為要用到幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的知識與定律.但我們?nèi)砸⒁膺@方面的訓(xùn)練，以便逐步培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.第二章極限與函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1．了解極限的描述性定義．2．了解無窮小、無窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)．3．會用兩個重要極限公式求極限．4．掌握極限的四則運算法則．5．理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，知道間斷點的分類．6．了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）．7．會用函數(shù)的連續(xù)性求極限．重點極限的求法，兩個重要極限，函數(shù)在一點連續(xù)的概念．難點間斷點的分類，分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性．（二）內(nèi)容提要１．極限的定義(1)函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型描述性定義極限記號設(shè)函數(shù)在為某個正實數(shù))時有定義，如果當(dāng)自變量的絕對值無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于無窮”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量無限增大時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于正無窮”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)(為某個實數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量無限增大且時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于負(fù)無窮”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在內(nèi)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)（讀作“趨近于”）時函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)趨近于時函數(shù)的左極限或設(shè)函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無限接近于時，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)趨近于時函數(shù)的右極限或數(shù)列的極限對于數(shù)列，若當(dāng)自然數(shù)無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù),則稱為當(dāng)趨于無窮時數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于或若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散不存在（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理①的充分必要條件是．②的充分必要條件是．（３）極限存在準(zhǔn)則①單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限．②夾逼準(zhǔn)則若當(dāng)時，有，且，，則．夾逼準(zhǔn)則對自變量的其他變化過程也成立.2.極限的四則運算法則設(shè)及都存在，則(1)；(2),(為任意常數(shù));(3)．上述極限四則運算法則對自變量的其他變化過程下的極限同樣成立．3．兩個重要極限(1)一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）．(2)一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）．４．無窮小量與無窮大量在討論無窮小量與無窮大量的概念及其相關(guān)性質(zhì)時,均以的極限變化過程為例.其他極限變化過程,有完全類似的結(jié)論．（１）無窮小量在自變量的某個變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮?。?如果，則稱當(dāng)時,是無窮小量．注意一般說來，無窮小表達(dá)的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)．（２）無窮大量在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大．應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號，表示“當(dāng)時,是無窮大量”．（３）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量．（４）無窮小量的運算①有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量．②有限個無窮小量的乘積是無窮小量．③無窮小量與有界量的乘積是無窮小量．④常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量．（5）無窮小量的比較下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義．無窮小量的比較表設(shè)在自變量的變化過程中，均是無窮小量無窮小的比較定義記號（）（）（６）極限與無窮小量的關(guān)系定理的充分必要條件是，其中是當(dāng)時的無窮小量．（７）無窮小的替換定理設(shè)當(dāng)時，，，存在，則．5．函數(shù)的連續(xù)性⑴函數(shù)在一點連續(xù)的概念①函數(shù)在一點連續(xù)的兩個等價的定義：定義１設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即，則稱函數(shù)在點處連續(xù)，或稱是的一個連續(xù)點．定義２若，則稱函數(shù)在點處連續(xù)．②左右連續(xù)的概念若，則稱函數(shù)在點處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點處右連續(xù)．⑵函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處既左連續(xù)又右連續(xù)．由此可知，函數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件：①函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，②存在，③這個極限等于函數(shù)值．⑶函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點連續(xù)是指右連續(xù)．⑷間斷點若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點為函數(shù)的間斷點．⑸間斷點的分類設(shè)為的一個間斷點，如果當(dāng)時，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點；否則，稱為的第二類間斷點．對于第一類間斷點有以下兩種情形：當(dāng)與都存在，但不相等時，稱為的跳躍間斷點；②當(dāng)存在，但極限不等于時，稱為的可去間斷點．⑹初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．⑺閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)①最大值和最小值存在定理閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值．②根的存在定理設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且異號，則至少存在一點，使得．③介值定理設(shè)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，且，則對介于之間的任意一個數(shù)，則至少存在一點，使得．二、主要解題方法1．求函數(shù)極限方法利用極限存在的充分必要條件求極限例1求下列函數(shù)的極限：（1），（2）當(dāng)為何值時，在的極限存在.解(1),,因為左極限不等于右極限，所以極限不存在．（2）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達(dá)式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限．于是，有，，為使存在，必須有=，因此，當(dāng)=1時，存在且=1．小結(jié)對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在．（3）利用極限運算法則求極限例2求下列函數(shù)的極限：(1)，(2)，(3)，(4)．解(1)==．(2)當(dāng)時，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則．原式=．(3)當(dāng)時，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進(jìn)行通分化簡，再用商的運算法則．即原式=．(4)當(dāng)時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時除以，將無窮大的約去，再用法則求原式=．小結(jié)（）應(yīng)用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用．（II）求函數(shù)極限時，經(jīng)常出現(xiàn)等情況，都不能直接運用極限運算法則，必須對原式進(jìn)行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法．（）對于型，往往需要先通分，化簡，再求極限，（）對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，（）對分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，（）對于當(dāng)時的型，可將分子分母同時除以分母的最高次冪，然后再求極限．（3）利用無窮小的性質(zhì)求極限例3求下列函數(shù)的極限（1），（2）．解（1）因為而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決．因為，所以當(dāng)時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即．（2）不能直接運用極限運算法則，因為當(dāng)時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而，因此當(dāng)時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得.小結(jié)利用無窮小與無窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）．（4）利用兩個重要極限求函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：（1），（2）．解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式==．（2）解一原式==，解二原式==．小結(jié)（）利用求極限時，函數(shù)的特點是型，滿足的形式，其中為同一變量；（）用求極限時，函數(shù)的特點型冪指函數(shù)，其形式為型,為無窮小量，而指數(shù)為無窮大，兩者恰好互為倒數(shù)；（）用兩個重要極限公式求極限時，往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。(5)利用等價無窮小代換求極限常用等價無窮小有當(dāng)時,,,．例5求下列函數(shù)的極限（1），（2）．解（1）=（）．（2）===（）．小結(jié)利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯．如上題,即得一錯誤結(jié)果．（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6求下列函數(shù)的極限（1），（2）．解(1)因為是初等函數(shù)，在處有定義，所以，(2)函數(shù)看成由復(fù)合而成，利用分子有理化，然后利用復(fù)合函數(shù)求極限的法則來運算=．小結(jié)利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號與函數(shù)符號可交換次序．2．判斷函數(shù)連續(xù)性的方法由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性．例7討論函數(shù)，在點處的連續(xù)性．解由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限．因而有，而即，由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)．三、學(xué)法建議1．本章的重點是極限的求法及函數(shù)在一點的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣．因此要掌握這部分知識，建議讀者自己去總結(jié)經(jīng)驗體會，多做練習(xí)．2．本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調(diào)有界；發(fā)散，無界，無窮大；極限，無窮小，連續(xù)等．只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對它們有深刻的理解，因此讀者要注意弄清它們之間的實質(zhì)關(guān)系．3．要深刻理解在一點的連續(xù)概念，即極限值等于函數(shù)值才連續(xù)．千萬不要求到極限存在就下連續(xù)的結(jié)論，特別注意判斷分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性．第三章導(dǎo)數(shù)與微分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其幾何意義，會用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題.2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的四則運算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.3.熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法.4.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.5.了解可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系.重點導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.難點求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.（二）內(nèi)容提要1.導(dǎo)數(shù)的概念⑴導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點處有增量，仍在該鄰域內(nèi)時，相應(yīng)地，函數(shù)有增量，若極限存在，則稱在點處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點處的導(dǎo)數(shù)，記為，也可記為，即.若極限不存在，則稱在點處不可導(dǎo).若固定，令，則當(dāng)時，有，所以函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)也可表示為.⑵左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)①函數(shù)在點處的左導(dǎo)數(shù)＝.②函數(shù)在點處的右導(dǎo)數(shù)＝.③函數(shù)在點處可導(dǎo)的充分必要條件是在點處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等．２．導(dǎo)數(shù)的幾何意義⑴曲線的切線在曲線上點的附近，再取一點，作割線，當(dāng)點沿曲線移動而趨向于時，若割線的極限位置存在，則稱直線為曲線在點處的切線．⑵導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點處的切線斜率.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的3點說明:①曲線上點處的切線斜率是縱標(biāo)變量對橫標(biāo)變量的導(dǎo)數(shù).這一點在考慮用參數(shù)方程表示的曲線上某點的切線斜率時優(yōu)為重要.②如果函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)為無窮(即,此時在處不可導(dǎo)),則曲線上點處的切線垂直于軸.③函數(shù)在某點可導(dǎo)幾何上意味著函數(shù)曲線在該點處必存在不垂直于軸的切線.3.變化率函數(shù)的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時的極限，即導(dǎo)數(shù).在科學(xué)技術(shù)中常常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率(即因變量關(guān)于自變量的變化率就是因變量關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)).變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化而變化的快慢程度.4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點處可導(dǎo)，則在點處一定連續(xù).但反過來不一定成立，即在點處連續(xù)的函數(shù)未必在點處可導(dǎo).高階導(dǎo)數(shù)⑴二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)仍然是的函數(shù)，則將一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記為或或，即=或=.⑵階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)（=3，4，,,）分別記為 ,,,,，或,,,,，或,,,，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).6.微分⑴微分的定義如果函數(shù)在點處的改變量，可以表示成，其中是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，稱為的線性主部，又稱為函數(shù)在點處的微分，記為或，即.⑵微分的計算，其中,為自變量.⑶一階微分形式不變性對于函數(shù),不論是自變量還是因變量,總有成立.7.求導(dǎo)公式微分公式表3.1給出了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及微分公式.表3.1求導(dǎo)與微分公式求導(dǎo)公式微分公式基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式基本初等函數(shù)微分公式對求導(dǎo)公式作如下兩點說明:求導(dǎo)公式表示函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，即=,求導(dǎo)公式表示函數(shù)對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即=.8.求導(dǎo)法則微分法則⑴求導(dǎo)法則,微分法則見下表3.2⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則⑶參數(shù)方程求導(dǎo)法則⑷隱函數(shù)求導(dǎo)法⑸對數(shù)求導(dǎo)法表3.2求導(dǎo)與微分法則表求導(dǎo)法則微分法則函數(shù)的四則運算求導(dǎo)法則函數(shù)的四則運算微分法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)，，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為復(fù)合函數(shù)微分法則設(shè)函數(shù)，,則函數(shù)的微分為，此式又稱為一階微分形式不變性參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，則或=反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)的反函數(shù)為，則或9.微分近似公式（1）微分進(jìn)行近似計算的理論依據(jù)對于函數(shù),若在點處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)很小時，有函數(shù)的增量近似等于函數(shù)的微分,即有近似公式.(2)微分進(jìn)行近似計算的4個近似公式設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)，當(dāng)很小時，有近似公式，即，，令，則，特別地，當(dāng)，很小時，有.二、主要解題方法1．用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法例1求在處的導(dǎo)數(shù).解由導(dǎo)數(shù)的定義知.例2求，的導(dǎo)數(shù).解當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，因此，于是小結(jié)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，除了在分界點處的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)定義求之外，其余點則仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求得.用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的方法例3設(shè)求.解，.例4設(shè)求.解利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，得.小結(jié)若函數(shù)變形后能簡化求導(dǎo)運算，應(yīng)先簡化后再求導(dǎo)，在求高階導(dǎo)數(shù)時更要注意這一點.另外，還要注意應(yīng)用四則運算法則的前提條件是：函數(shù)在點可導(dǎo)，否則法則失效.如在點，用四則運算法則求導(dǎo)，不存在，但由例1知在的導(dǎo)數(shù)為0.對于復(fù)合函數(shù)，要根據(jù)復(fù)合結(jié)構(gòu)，逐層求導(dǎo)，直到最內(nèi)層求完，對例4中括號層次分析清楚，對掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是有幫助的.3．對數(shù)求導(dǎo)方法例5已知=，求.解兩邊取對數(shù)，得：，兩邊對同一自變量求導(dǎo)，得，.小結(jié)對數(shù)求導(dǎo)法適合兩類函數(shù)的求導(dǎo)：（1）冪指函數(shù)，（2）函數(shù)是由幾個初等函數(shù)經(jīng)過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的.4．隱含數(shù)的求導(dǎo)法例6已知求.解兩端對求導(dǎo)，得，，整理得，故，上式兩端再對求導(dǎo)，得=，將代入上式，得.小結(jié)在對隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時，要將的表達(dá)式代入中，注意，在的最后表達(dá)式中，切不能出現(xiàn).5．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法例7設(shè)求.解，.小結(jié)求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，不必死記公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二階導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行，必須分清是對哪個變量求導(dǎo).6．求函數(shù)微分的方法例8求函數(shù)的微分.解一用微分的定義求微分，有.解二利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得.小結(jié)求函數(shù)微分可利用微分的定義，微分的運算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變量之間是怎樣的復(fù)合關(guān)系，有時求微分更方便.7．利用微分求近似值例9求的近似值.解設(shè)，由近似公式，得，取，則有.例10有一批半徑為的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為，估計每只球需要用銅多少克？（銅的密度為）解所鍍銅的體積為球半徑從增加時，球體的增量.故由知，所鍍銅的體積為，質(zhì)量為.小結(jié)利用公式計算函數(shù)近似值時，關(guān)鍵是選取函數(shù)的形式及正確選取.一般要求便于計算，越小，計算出函數(shù)的近似值與精確值越接近.另外，在計算三角函數(shù)的近似值時，必須換成弧度.8．求曲線的切線方程例11求曲線的切線，使該切線平行于直線.解方程兩端對求導(dǎo)，得，，，由于該切線平行于直線所以有，，，.因為切線必在曲線上，所以，將代入曲線方程得，，解之，此時，切點的坐標(biāo)為,，切線的斜率分別為，，因此得切線的方程分別為，即，，即.9．求函數(shù)的變化率例12落在平靜水面上的石頭，產(chǎn)生同心圓形波紋，若最外一圈半徑的增大率總是，問2末受到擾動的水面面積的增大率為多少？解設(shè)最外圈波紋半徑為，擾動水面面積為，則兩邊同時對求導(dǎo)，得從而，又為常數(shù)，故（類似于勻速直線運動路程與速度、時間的關(guān)系），因此，故有.因此，2末受到擾動的水面面積的增大率為.小結(jié)對于求變化率的模型，要先根據(jù)幾何關(guān)系及物理知識建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式.若是相關(guān)變化率模型，求變化率時要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，弄清是對哪個變量的導(dǎo)數(shù).三、學(xué)法建議1．本章重點為導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，其難點是求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法.要正確理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，弄清各概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.比如，可導(dǎo)必連續(xù)，反之，不一定成立.可導(dǎo)與可微是等價的.這里等價的含義是：函數(shù)在某點可導(dǎo)必定得出在該點可微，反之，函數(shù)在某點可微，必能推出在該點可導(dǎo).但并不意味著可導(dǎo)與可微是同一概念.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限，微分是函數(shù)增量的線性主部，在概念上兩者有著本質(zhì)的區(qū)別.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法既是重點，又是難點，不易掌握，怎樣才能達(dá)到事半功倍的效果呢？首先，必須熟記基本的求導(dǎo)公式，其次，對求導(dǎo)公式必須弄清每一項是對哪個變量求導(dǎo)，如,因為理解公式還要和微商結(jié)合起來，右邊的微分約分之后必須等于左邊的微商.另外，要想達(dá)到求導(dǎo)既迅速又準(zhǔn)確，必須多做題.但要牢記，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量之比的極限，不能因為有了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則后，就認(rèn)為求導(dǎo)僅是利用這些公式與法則的某種運算而忘記了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).4．利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，本章主要有三類題型.一類幾何應(yīng)用，用來求切線、法線方程.其關(guān)鍵是求出切線的斜率及切點的坐標(biāo)；另一類是變化率模型，求變化率時，一定要弄清是對哪個變量的變化率，如速度再有一類是用微分近似計算求某個量的改變量，解決這類問題的關(guān)鍵是選擇合適的函數(shù)關(guān)系，正確選取及，切莫用中學(xué)數(shù)學(xué)方法求問題的準(zhǔn)確值，否則是不符合題意的.第四章微分學(xué)的應(yīng)用一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.會用洛必達(dá)法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.4.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法，會解簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.5.會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數(shù)的圖形.重點用洛必達(dá)法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與圖形凹性及拐點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法以及求簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.（二）內(nèi)容提要1.三個微分中值定理⑴羅爾（Rolle）定理如果函數(shù)滿足下列三個條件：①在閉區(qū)間上連續(xù);②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);③,則至少存在一點使.⑵拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數(shù)滿足下列兩個條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點，使得或.⑶柯西（Cauchy）中值定理如果函數(shù)與滿足下列兩個條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且,則在內(nèi)至少存在一點，使得.2.洛必達(dá)法則如果①;②函數(shù)與在某個鄰域內(nèi)（點可除外）可導(dǎo)，且；③,則.注意上述定理對于時的型未定式同樣適用,對于或時的型未定式也有相應(yīng)的法則.3.函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則有①若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；②若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少.4.函數(shù)的極值、極值點與駐點⑴極值的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任一點，都有，則稱是函數(shù)的極大值；如果對于該鄰域內(nèi)任一點，都有，則稱是函數(shù)的極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點.⑵駐點使的點稱為函數(shù)的駐點.⑶極值的必要條件設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在點處取得極值，那么.⑷極值第一充分條件設(shè)函數(shù)在點連續(xù)，在點的某一去心鄰域內(nèi)的任一點處可導(dǎo),當(dāng)在該鄰域內(nèi)由小增大經(jīng)過時，如果①由正變負(fù)，那么是的極大值點，是的極大值；②由負(fù)變正，那么是的極小值點，是的極小值；③不改變符號，那么不是的極值點.⑸極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)在點處有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則是函數(shù)的極值點，為函數(shù)的極值，且有①如果，則在點處取得極大值；②如果，則在點處取得極小值.5.函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的駐點、不可導(dǎo)點或閉區(qū)間的端點處取得.6.函數(shù)圖形的凹、凸與拐點⑴曲線凹向定義若在區(qū)間內(nèi)曲線各點的切線都位于該曲線的下方，則稱此曲線在內(nèi)是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在內(nèi)是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.⑵曲線凹向判定定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，①如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是上凹的.②如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是下凹的.⑶拐點若連續(xù)曲線上的點是曲線凹、凸部分的分界點，則稱點是曲線的拐點.7.曲線的漸近線⑴水平漸近線若當(dāng)(或或)時，有（為常數(shù)），則稱曲線有水平漸近線.⑵垂直漸近線若當(dāng)(或或)（為常數(shù)）時，有，則稱曲線有垂直漸近線.⑶斜漸近線若函數(shù)滿足，(其中自變量的變化過程可同時換成或)，則稱曲線有斜漸近線.二、主要解題方法1.用洛必達(dá)法則求未定式的極限的方法例1求下列極限（1）（2）（3）（4）（5）解（1）由于時，，故原極限為型，用洛必達(dá)法則所以（分母等價無窮小代換）.（2）此極限為，可直接應(yīng)用洛必達(dá)法則所以=.（3）所求極限為型，不能直接用洛必達(dá)法則，通分后可變成或型..（4）所求極限為型，得（型）==（5）此極限為型，用洛必達(dá)法則，得不存在，但.小結(jié)使用洛必達(dá)法則時，應(yīng)注意以下幾點：（1）洛必達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用法則前，必須檢驗是否屬于或未定型，若不是未定型，就不能使用法則；（2）如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；（3）當(dāng)不存在時，并不能斷定也不存在，此時應(yīng)使用其他方法求極限.2.單調(diào)性的判別與極限的求法例2試證當(dāng)時，.證令，易見在內(nèi)連續(xù)，且.當(dāng)時，可知為上的嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù)，即當(dāng)時，，可知為上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，即.故對任意有即.例3求函數(shù)的單調(diào)性與極值.解函數(shù)的定義域為.，令駐點列表-0-0+極小由上表知，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值求函數(shù)的極值也可以用二階導(dǎo)數(shù)來判別，此例中不能確定處是否取極值，得是極小值.小結(jié)用單調(diào)性來證明不等式，其方法是將不等式兩邊的解析式移到不等式的一邊，再令此不等式的左邊為函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性；最后利用已知條件與單調(diào)性，得到不等式。由例3知，用二階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在某點的極值不需列表也很方便，但它的使用范圍有限，對、及同時不存在的點不能使用.3.求函數(shù)的凹向及拐點的方法例4求函數(shù)的凹向及拐點.解函數(shù)的定義域，，令得，列表1(1,1)10+0拐點拐點由此可知，上凹區(qū)間,下凹區(qū)間，曲線的拐點是.小結(jié)求函數(shù)的凹向與拐點只需用拐點的定義及凹向的判別定理即可，注意拐點也可在使不存在的點取得.4.求函數(shù)的最大值與最小值的方法例5求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.解函數(shù)在上連續(xù)，由于，令，則，在處不存在.故.小結(jié)函數(shù)的最大（?。┲凳钦麄€區(qū)間上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步驟為（1）求出在內(nèi)的所有駐點及不可導(dǎo)點；（2）求出函數(shù)在駐點、不可導(dǎo)點、區(qū)間端點處的函數(shù)值；（3）比較這些值的大小，其中最大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值.5.求曲線漸近線的的方法.例6求下列曲線的漸近線（1）（2）.解（1）所給函數(shù)的定義域為.由于，可知為所給曲線的水平漸近線.由于，可知為曲線的鉛直漸近線.所給函數(shù)的定義域,.由于，，可知為所給曲線的鉛直漸近線（在的兩側(cè)的趨向不同）.又，，所以是曲線的一條斜漸近線.6.函數(shù)圖形的描繪例7作出函數(shù)的圖形.解函數(shù)的定義域，，，令，解得.列表-10+0+++++++0極小拐點由上表可知：極小值，拐點.（3）漸近線，-1xy-1xyO，所以是鉛直漸近線.（4）作圖如圖所示.7.求實際問題的最大值，最小值的方法例8一條邊長為的正方形薄片，從四角各截去一個小方塊，然后折成一個無蓋的方盒子，問截取的小方塊的邊長等于多少時，方盒子的容量最大？解設(shè)截取的小方塊的邊長為，則方盒子的容積為令，得駐點（不合題意，舍去）由于在內(nèi)只有一個駐點，由實際意義可知，無蓋方盒子的容積一定有最大值.因此，當(dāng)時取得最大值.故當(dāng)正方形薄片四角各截去一個邊長是的小方塊后，折成一個無蓋方盒子的容積最大.小結(jié)求最優(yōu)化問題，關(guān)鍵是在某個范圍內(nèi)建立目標(biāo)函數(shù)，若根據(jù)實際問題本身可以斷定可導(dǎo)函數(shù)一定存在最大值或最小值，而在所討論的區(qū)間內(nèi)部有惟一的極值點，則該極值點一定是最值點.三、學(xué)法建議1.本章重點是用洛必達(dá)法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性與凹向及拐點，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極限的方法以及求簡單函數(shù)的最大值與最小值問題.2.中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，一定要弄清楚它們的條件與結(jié)論.盡管定理中并沒有指明的確切位置，但它們在利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題與研究函數(shù)的性態(tài)方面所起的作用仍十分重要.建議在學(xué)習(xí)過程中借助幾何圖形，知道幾個中值定理的幾何解釋.3.洛必達(dá)法則求極限時，建議參照本章例1中的幾點注意，并且和教科書第二章求極限的方法結(jié)合起來使用.4.函數(shù)的圖形是函數(shù)的性態(tài)的幾何直觀表示，它有助于我們對函數(shù)性態(tài)的了解，準(zhǔn)確做出函數(shù)圖形的前提是正確討論函數(shù)的單調(diào)性，極值，凹向與拐點以及漸近線等，這就要求讀者按教材中指出的步驟完成.第五章不定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1．了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)．2．掌握不定積分的基本公式．3．掌握不定積分的換元法和分部積分法．重點原函數(shù)、不定積分的概念，不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法．難點不定積分的換元法和分部積分法．（二）內(nèi)容提要1．原函數(shù)與不定積分（1）原函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在該區(qū)間任一點處，均有,則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù)．關(guān)于原函數(shù)的問題，還要說明兩點:①原函數(shù)的存在問題：如果在某區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在（將在下章加以說明）．②原函數(shù)的一般表達(dá)式：若是的一個原函數(shù)，則是的全部原函數(shù)，其中為任意常數(shù)．(2)不定積分若是在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在該區(qū)間上的不定積分，記為，即積分運算與微分運算之間有如下的互逆關(guān)系：①,此式表明，先求積分再求導(dǎo)數(shù)（或求微分），兩種運算的作用相互抵消．②此式表明，先求導(dǎo)數(shù)（或求微分）再求積分，兩種運算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)．對于這兩個式子，要記準(zhǔn)，要熟練運用．2．不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式如下：3．不定積分的性質(zhì)（1）積分對于函數(shù)的可加性，即,可推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情況，即．(2)積分對于函數(shù)的齊次性，即．4．分部積分公式．二、主要解題方法1．直接積分法例1計算（1），（2）．解（1）不能直接用公式，用加項減項變換，即==（2）不能直接用公式，用二項和公式展開再利用三角變換．得原式==+=．小結(jié)計算簡單的不定積分，有時只需按不定積分的性質(zhì)和基本公式進(jìn)行計算；有時需要先利用代數(shù)運算或三角恒等變形將被積函數(shù)進(jìn)行整理．然后分項計算．2．換元積分法（1）第一換元積分法(湊微分法）=.例2計算（1），（2）．解（1）選擇換元函數(shù)使所給積分化為基本積分形式，再求出結(jié)果．為此，令，則，于是===．為簡便起見，令這一過程可以不寫出來，解題過程寫成下面形式即可,==（稱為湊微分）．（2）==．小結(jié)湊微分法一般不明顯換新變量，而是隱換，像上面所做，這樣省掉了回代過程，更簡便．（2）第二換元積分法=（其中是單調(diào)可微函數(shù)）例3計算（1），（2）．解（1）令,則,,于是原式=====.（2）設(shè),,,于是1原式===1===．小結(jié)第二換元法常用于消去根號，但有時也用于某些多項式，像也可用函數(shù)的三角代換求出結(jié)果．通常當(dāng)被積分函數(shù)含有根式時，可令,當(dāng)被積分函數(shù)含有根式時，可令,當(dāng)被積分函數(shù)含有根式時，可令.分部積分法分部積分的公式為=.應(yīng)用此公式應(yīng)注意:（1）要用湊微分容易求出,（2）比容易求.例4計算（1），（2）．解（1）選，，，,于是原式,對于再使用分部積分法,選，,則，,從而==．原式=（）,為了簡便起見，所設(shè),等過程不必寫出來，其解題步驟如下:==.（2）=====+=+,式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了移至左端，整理得=[+]+．小結(jié)此積分一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式,但也用于某些函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等，對于被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積，還有以及上面所講的等，需多次使用分部積分公式，在積分中出現(xiàn)原來的被積分函數(shù)再移項，合并解方程，方可得出結(jié)果，而且要記住，移項之后，右端補加積分常數(shù)．三、學(xué)法建議1．本章的重點是原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、換元積分法與分部積分法．難點是第一換元積分法，既基本又靈活，必須多下工夫，除了熟記積分基本公式外，還要熟記一些常用的微分關(guān)系式．如，，，,等等．2．不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運用積分方法．在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用針對不同的問題采用不同的積分方法．如，先換元，令，再用分部積分法即可，=，也可多次使用分部積分公式．3．求不定積分比求導(dǎo)數(shù)要難得多，盡管有一些規(guī)律可循，但在具體應(yīng)用時，卻十分靈活，因此應(yīng)通過多做習(xí)題來積累經(jīng)驗，熟悉技巧，才能熟練掌握．第六章定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1．理解定積分的概念及其性質(zhì)．2．了解定積分的幾何意義．3．了解變上限的定積分的性質(zhì)，熟練掌握牛頓萊布尼茨公式．4．掌握定積分的換元法和分部積分法．5．了解無窮區(qū)間上的廣義定積分的幾何意義，牛頓–萊布尼茨公式，定各分的換元法和分部積分法．重點定積分的概念及定積分的幾何意義，牛頓–萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法．難點變上限的定積分，定積分的換元法和分部積分法．（二）內(nèi)容提要1．曲邊梯形所謂曲邊梯形是指由曲線、直線和數(shù)軸所圍成的平面圖形．2．定積分的概念與定積分的幾何意義（1）定積分的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點，把區(qū)間分成個小區(qū)間，記為，再在每個小區(qū)間上，任取一點，取乘積的和式，即．如果時上述極限存在（即這個極限值與的分割及點的取法均無關(guān)），則稱函數(shù)在閉區(qū)間上可積，并且稱此極限值為函數(shù)在上的定積分，記做，即，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，與分別稱為積分下限與積分上限，符號讀做函數(shù)從到的定積分．關(guān)于定積分定義的說明：①定積分是特定和式的極限，它表示一個數(shù)．它只取決于被積函數(shù)與積分下限、積分上限，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，例如，一般地有=．②定積分的存在定理：如果在閉區(qū)間上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，則在上可積．（2）定積分的幾何意義設(shè)在上的定積分為，其積分值等于曲線、直線和所圍成的在軸上方部分與下方部分面積的代數(shù)和．3．定積分的性質(zhì)（1）積分對函數(shù)的可加性，即,可推廣到有限項的情況，即．（2）積分對函數(shù)的齊次性，即．（3）如果在區(qū)間上，則．（4）（積分對區(qū)間的可加性）如果，則．注意：對于三點的任何其他相對位置，上述性質(zhì)仍成立，仍有．（5）（積分的比較性質(zhì)）如果在區(qū)間上有，則．（6）（積分的估值性質(zhì)）設(shè)與分別是函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值，則．（7）（積分中值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點，使得．4．變上限的定積分（1）變上限的定積分當(dāng)在上變動時，對應(yīng)于每一個值，積分就有一個確定的值，因此是變上限的一個函數(shù)，記作，稱函數(shù)為變上限的定積分．（2）變上限的定積分的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則變上限定積分在閉區(qū)間上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，即．5．無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，任取實數(shù)，把極限稱為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記做，若極限存在，則稱廣義積分收斂；若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散．類似地，可定義函數(shù)在上的廣義積分為．函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分為，其中為任意實數(shù)，當(dāng)右端兩個廣義積分都收斂時，廣義積分才是收斂的；否則廣義積分是發(fā)散的．6．微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，如果是的任意一個原函數(shù)，則，以上公式稱為微積分基本定理，又稱牛頓–萊布尼茨公式．7．定積分的計算（1）定積分的換元法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，令，則有，其中函數(shù)應(yīng)滿足以下三個條件：①；②在上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；③當(dāng)在上變化時，對應(yīng)值在上變化．上述公式稱為定積分換元公式．在應(yīng)用換元公式時要特別注意：用變換把原來的積分變量換為新變量時，原積分限也要相應(yīng)換成新變量的積分限，也就是說，換元的同時也要換限．原上限對應(yīng)新上限，原下限對應(yīng)新下限．（2）定積分的分部積分公式設(shè)函數(shù)在區(qū)間上均有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則．以上公式稱為定積分的分部積分公式，其方法與不定積分類似，但結(jié)果不同，定積分是一個數(shù)值，而不定積分是一類函數(shù)．（3）偶函數(shù)與奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分設(shè)函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上連續(xù)，則①當(dāng)為偶函數(shù)時，，②當(dāng)為奇函數(shù)時，．利用上述結(jié)論，對奇、偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的定積分計算帶來方便．二、主要解題方法1．變上限的定積分對上限的求導(dǎo)方法例1已知，求．解=+=，=+=．小結(jié)如果定積分上限是的函數(shù)，那么利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式對上限求導(dǎo)；如果定積分的下限是的函數(shù)，那么將定積分的下限變?yōu)樽兩舷薜亩ǚe分，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式對上限求導(dǎo)；如果復(fù)合函數(shù)的上限、下限都是的函數(shù)，那么利用區(qū)間可加性將定積分寫成兩個定積分的和，其中一個定積分的上限是的函數(shù)，另一個定積分的下限也是的函數(shù)，都可以化為變上限的定積分來求導(dǎo)．利用換元積分法計算定積分的方法例2計算（1），（2）．解（1）利用換元積分法，注意在換元時必須同時換限．令，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是==（2）=．小結(jié)用換元積分法計算定積分，如果引入新的變量，那么求得關(guān)于新變量的原函數(shù)后，不必回代，直接將新的積分上下限代入計算就可以了．如果不引入新的變量，那么也就不需要換積分限，直接計算就可以得出結(jié)果．利用分部積分法計算定積分的方法分部積分公式為.例3計算（1），（2）．解（1）===．（2）由于在[]上；在[]上，所以=+=+=[+]+[]=（+）+（+）=+．小結(jié)被積函數(shù)中出現(xiàn)絕對值時必須去掉絕對值符號，這就要注意正負(fù)號，有時需要分段進(jìn)行積分.廣義積分的計算方法例4判別下列廣義積分的斂散性，如果收斂計算其值.(1)，(2)．解(1)因為積分區(qū)間為無窮區(qū)間，所以原式=====，故所給廣義積分收斂，且其值為．(2)因為時，，所以為間斷點．原式=+=+=+=，故廣義積分發(fā)散．小結(jié)由上例可見，對于積分區(qū)間是有限的積分，首先要判斷是定積分（稱常義積分）還是被積函數(shù)有無窮間斷點的廣義積分．否則會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果．如上例===錯誤結(jié)果．三、學(xué)法建議1．本章的重點是定積分的概念及幾何意義．牛頓–萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法．2．學(xué)好本章內(nèi)容，首先要理解定積分的概念，掌握用定積分的思想分析問題解決問題的方法．3．要深刻理解微積分基本定理：牛頓–萊布尼茨公式。微積分基本定理，一方面揭示了定積分與微分的互逆性質(zhì)；另一方面它又是聯(lián)系定積分與原函數(shù)（不定積分）之間的一條紐帶．4．計算定積分的著眼點是算出數(shù)值，因此我們除了應(yīng)用牛頓–萊布尼茨公式及積分方法（換元法、分部積分法）計算定積分以外，還要盡量利用定積分的幾何意義、被積函數(shù)的奇偶性（對稱區(qū)間上的定積分）以及遞推公式=的已有結(jié)果來算出數(shù)值．5．應(yīng)用牛頓–萊布尼茨公式計算有限區(qū)間定積分時，應(yīng)注意不要忽略了被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)或有第一類間斷點的條件，否則會出現(xiàn)錯誤的結(jié)果．第七章定積分的應(yīng)用一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1．掌握定積分的微元法.2．會用定積分的微元法求平面圖形的面積.3．會用定積分的微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積.4．會用定積分的微元法求變力所做的功.5．會用定積分的微元法求液體的側(cè)壓力.重點定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.難點定積分的微元法，微元法在實際問題中的應(yīng)用.（二）內(nèi)容提要1．定積分的微元法(1)在區(qū)間上任取一個微小區(qū)間,然后寫出在這個小區(qū)間上的部分量的近似值,記為(稱為的微元)；（2）將微元上無限“累加”，即在上積分，得上述兩步解決問題的方法稱為微元法.關(guān)于微元，我們有兩點要說明：①作為的近似表達(dá)式，應(yīng)該足夠準(zhǔn)確，確切地說，就是要求其差是關(guān)于的高階無窮小，即.稱做微元的量，實際上就是所求量的微分.②具體怎樣求微元呢？這是問題的關(guān)鍵，需要分析問題的實際意義及數(shù)量關(guān)系。一般按在局部上以“常代變”、“直代曲”的思路（局部線性化），寫出局部上所求量的近似值，即為微元.2.面積微元與體積微元（1）面積微元①由曲線軸所圍成的圖形,其面積微元,面積.②由上下兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積.③由左右兩條曲線所圍成的圖形，其面積微元，面積（注意，這時應(yīng)取橫條矩形為，即取為積分變量）.（2）體積微元不妨設(shè)直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于和之間的體積.用“微元法”.為求出體積微元，在微小區(qū)間上視不變，即把上的立體薄片近似看作以為底，為高的柱片，于是其體積微元，再在的變化區(qū)間上積分，則有.3．弧微元與平面曲線弧微分公式設(shè)曲線在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),仍用微元法，取為積分變量，在上任取小區(qū)間，切線上相應(yīng)小區(qū)間的小段的長度近似代替一段小弧的長度，得弧長微元為,這里.二、主要解題方法（微元法）1．求平面圖形的面積的方法例1求下列曲線所圍成的圖形的面積(1)拋物線與直線，(2)圓.解(1)先畫圖，如圖所示，并由方程，求出交點為（2，），（8，2）.解一取為積分變量,的變化區(qū)間為[，2]，在區(qū)間[，2]上任取一子區(qū)間[，+]，則面積微元=,則所求面積為==（）=9.解二取為積分變量，的變化區(qū)間為[0，8]，由圖知，若在此區(qū)間上任取子區(qū)間，需分成[0，2]，[2，8]兩部分完成.在區(qū)間[0，2]上任取一子區(qū)間[，+]，則面積微元1=,在區(qū)間[2，8]上任取一子區(qū)間[，+]，則面積微元2=[],于是得=1+2=+=+[]=9.顯然，解法一優(yōu)于解法二。因此作題時，要先畫圖，然后根據(jù)圖形選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量，盡量使計算方便.(2)如圖，利用極坐標(biāo)計算.的變化區(qū)間為[，]則面積微元 ==,于是所求圖形的面積為==2,利用對稱性，得=4=2=2（+）=,事實上，表示一個半徑為的圓.面積=是正確的.小結(jié)計算面積時要注意：（1）適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，以便簡化計算.如題（2）若采用直角坐標(biāo)系計算就比較麻煩.一般地曲邊梯形宜采用直角坐標(biāo)系，曲邊扇形宜采用極坐標(biāo)系.（2）要考慮圖形的對稱性.（3）積分區(qū)間盡量少分塊.2．求旋轉(zhuǎn)體體積的方法例2求由曲線,直線,,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的立體體積.解先畫圖形，因為圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，所以取為積分變量，的變化區(qū)間為[1,4]，相應(yīng)于[1，4]上任取一子區(qū)間[,+]的小窄條，繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的小旋轉(zhuǎn)體體積，可用高為，底面積為的小圓柱體體積近似代替，即體積微元為==,于是，體積==1616=12.小結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積時，第一要明確形成旋轉(zhuǎn)的平面圖形是由哪些曲線圍成，這些曲線的方程是什么；第二要明確圖形繞哪一條坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的直線旋轉(zhuǎn),正確選擇積分變量，寫出定積分的表達(dá)式及積分上下限.求曲線的弧長的方法例3(1)求曲線上從0到3一段弧的長度,(2)求圓的漸開線方程,上相應(yīng)于從0到的一段弧的長度.解(1)由公式=（）知,弧長為=====.(2)因為曲線方程以參數(shù)形式給出，所以弧微元為,=,=,故==,故所求弧長為====.4．求變力做功的方法設(shè)有一彈簧，假定被壓縮0.5cm時需用力1N（牛頓）,現(xiàn)彈簧在外力的作用下被壓縮3cm，求外力所做的功.解根據(jù)胡克定理，在一定的彈性范圍內(nèi)，將彈簧拉伸（或壓縮）所需的力與伸長量（壓縮量）成正比，即 =（為彈性系數(shù)）按假設(shè)當(dāng)=0.005m時，=1N，代入上式得=2N/m,即有=200,所以取為積分變量，的變化區(qū)間為[0，0.03]，功微元為==200,于是彈簧被壓縮了3cm時，外力所做的功為===0.09（J）.5．求液體對側(cè)面的壓力的方法例5一梯形閘門倒置于水中，兩底邊的長度分別為，（）,高為，水面與閘門頂齊平，試求閘門上所受的壓力.解取坐標(biāo)系如圖所示,則的方程為,取水深為積分變量，的變化區(qū)間為[0，]，在[0，]上任取一子區(qū)間[，+]，與這個小區(qū)間相對應(yīng)的小梯形上各點處的壓強=(為水的比重),小梯形上所受的水壓力=()=2（）小梯形上所受的總壓力為=2=2=2（）=（）.三、學(xué)法建議1．本章的重點是定積分的微元法，利用微元法求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵是如何應(yīng)用微元法，解決一些實際問題，這也是本章的難點.2．首先要弄清楚哪種量可以用積分表達(dá)，即用微元法來求它，所求的量必須滿足（1）與分布區(qū)間有關(guān)，且具有可加性；（2）分布不均勻，而部分量可以表示出來.3．用微元法解決實際問題的關(guān)鍵是如何定出部分量的近似表達(dá)式，即微元.如面積微元，功微元.微元一般是部分量的線性主部，求它雖有一定規(guī)律，可以套用一些公式，但我們不希望死套公式，而應(yīng)用所學(xué)知識學(xué)會自己去建立積分公式,這就需要多下工夫了.4．用微元法解決實際問題應(yīng)注意：（1）選好坐標(biāo)系，這關(guān)系到計算簡繁問題；（2）取好微元，經(jīng)常應(yīng)用“以勻代變”“以直代曲”的思想決定的線性主部，這關(guān)系到結(jié)果正確與否的問題.（3）核對的量綱是否與所求總量的量綱一致.第八章常微分方程一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的階、解、通解、初始條件與特解等概念.2．掌握可分離變量的微分方程和一階線性微分方程的解法.3．了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu).4．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法.5．會求自由項為或，時的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解.6.知道特殊的高階微分方程（，，）的降階法.7．會用微分方程解決一些簡單的實際問題.重點微分方程的通解與特解等概念，一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法。難點一階微分方程的分離變量法，一階線性微分方程的常數(shù)變易法，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，高階微分方程的降階法，用微分方程解決一些簡單的實際問題.（二）內(nèi)容提要⒈微分方程的基本概念⑴微分方程的定義①凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程.②未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本書只討論常微分方程，簡稱微分方程.⑵微分方程的階、解與通解微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.如果把函數(shù)代入微分方程后，能使方程成為恒等式,則稱該函數(shù)為該微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解.⑶初始條件與特解用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個特定點的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件.滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解.⑷獨立的任意常數(shù)①線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個不全為零的數(shù)，使得對于區(qū)間內(nèi)的任一，恒有成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).顯然，函數(shù)線性相關(guān)的充分必要條件是在區(qū)間內(nèi)恒為常數(shù).如果不恒為常數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)線性無關(guān).②獨立的任意常數(shù)在表達(dá)式(,為任意常數(shù))中,,為獨立的任意常數(shù)的充分必要條件為,線性無關(guān).2.可分離變量的微分方程⑴定義形如的微分方程，稱為可分離變量的方程.該微分方程的特點是等式右邊可以分解成兩個函數(shù)之積，其中一個僅是的函數(shù)，另一個僅是的函數(shù)，即分別是變量的已知連續(xù)函數(shù).⑵求解方法可分離變量的微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步:分離變量，第二步:兩邊積分.3.線性微分方程⑴一階線性微分方程①定義形如.的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中都是的已知連續(xù)函數(shù)，“線性”是指未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的.②求解方法一階線性微分方程的求解方法,一般有如下兩步:第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.第二步：設(shè)為一階線性微分方程的解,代入該方程后,求出待定函數(shù).第三步:將代入中,得所求一階線性微分方程的通解.注意只要一階線性微分方程是的標(biāo)準(zhǔn)形式,則將代入一階線性微分方程后,整理化簡后,必有,該結(jié)論可用在一階線性微分方程的求解過程中,以簡化運算過程.③一階線性微分方程的求解公式(其中為任意常數(shù)).⑵二階常系數(shù)齊次線性微分方程①定義形如的微分方程（其中均為已知常數(shù)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程.②求解方法求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程,一般分為如下三步:第一步寫出方程的特征方程，第二步求出特征方程的兩個特征根,，第三步根據(jù)下表給出的三種特征根的不同情形，寫出的通解.有兩個不同特征實根有兩個相同特征實根有一對共軛復(fù)根⑶二階常系數(shù)非齊次線性微分方程①定義形如的微分方程（其中均為已知常數(shù)），稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.求解方法求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,一般分為如下三步:第一步先求出非齊次線性微分方程所對應(yīng)的齊次線性微分方程方程的通解;第二步根據(jù)下表設(shè)出非齊次線性微分方程的含待定常數(shù)的特解,并將代入非齊次線性微分方程解出待定常數(shù),進(jìn)而確定非齊次方程的一個特解;第三步寫出非齊次線性微分方程的通解.方程的特解的形式表自由項的形式特解的形式的設(shè)法 不是特征根 是特征單根 是二重特征根或①令,構(gòu)造輔助方程=②求出輔助方程的特解③則是方程特解是方程特解注:表中的為已知的次多項式，為待定的次多項式，如（為待定常數(shù)）.4.二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)和是齊次線性微分方程的兩個解，則函數(shù)也是方程的解；且當(dāng)與線性無關(guān)時，就是方程的通解（其中是任意常數(shù)）.⑵非齊次線性微分方程解的疊加原理如果函數(shù)為非齊次線性微分方程的一個特解，為齊次線性微分方程的通解，則為該非齊次線性微分方程的通解.⑶非齊次線性微分方程解的分離定理如果是方程的解，是方程的解，則是方程的解.5.高階微分方程的降階法方程的形式引入的形式降階后的方程設(shè)設(shè)則對方程兩邊逐次積分次，即可得到該方程的通解二、主要解題方法1．一階微分方程的解法例1求微分方程滿足條件的特解.解這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有，兩邊積分，得，求積分得，，，，記，得方程的解.可以驗證時，，它們也是原方程的解，因此，式中的可以為任意常數(shù)，所以原方程的通解為（為任意常數(shù)）.代入初始條件得，所以特解為.例2求微分方程（1），（2）的通解.（1）解一原方程可化為，令，則，即，兩邊取積分，積分得，將代入原方程，整理得原方程的通解為（為任意常數(shù)）.解二原方程可化為為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法.解原方程所對應(yīng)的齊次方程，得其通解為.設(shè)為原方程的解，代入原方程，化簡得，，所以原方程的通解為，即（為任意常數(shù)）.（2）解一原方程對應(yīng)的齊次方程分離變量，得，，兩邊積分，得，，，，用常數(shù)變易法.設(shè)代入原方程，得，，，故原方程的通解為（為任意常數(shù)）.解二這里，代入通解的公式得===（為任意常數(shù)）.小結(jié)一階微分方程的解法主要有兩種：分離變量法，常數(shù)變易法.常數(shù)變易法主要適用線性的一階微分方程，若方程能化為標(biāo)準(zhǔn)形式，也可直接利用公式）求通解.可降階的高階微分方程例3求微分方程的通解.解方程中不顯含未知函數(shù)，令，，代入原方程，得，，這是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性微分方程，代入常數(shù)變易法的通解公式，所以）=）=）=）=，由此=，=，因此，原方程的通解為=（為任意常數(shù)）.例4求微分方程滿足初始條件，的特解.解方程不顯含，令，，則方程可化為，當(dāng)時，于是.根據(jù)，，知代入上式，得，從而得到，積分得，再由，求得，于是當(dāng)時，原方程滿足所給初始條件的特解為，當(dāng)時，得(常數(shù))，顯然這個解也滿足方程，這個解可包含在解中.故原方程滿足所給初始條件的特解為，即.二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解方法例5求微分方程的通解.解原方程對應(yīng)的特征方程為，=，當(dāng)，即或時，特征方程有兩個不相等的實根，，故原方程的通解為.當(dāng)，即或時，特征方程有兩個相等的實根，故原方程的通解為.（3）當(dāng)，即時，特征方程有兩個共軛復(fù)根，故原方程的通解為.4．二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的求解方法例6求微分方程滿足初始條件，的特解.解對應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根．故對應(yīng)齊次微分方程的通解為.因為是特征方程的單根，所以設(shè)特解為，代入原方程得，比較同類項系數(shù)得，，從而原方程的特解為，故原方程的通解為，由初始條件時，，得從而，.因此滿足初始條件的特解為.例7求微分方程的通解.解對應(yīng)的齊次微分方程的特征方程，特征根.于是所對應(yīng)的齊次微分方程通解為．為了求原方程的一個特解,先求（）的特解.由于是特征方程的單根，且是零次多項式。所以設(shè)特解為，代入原方程，化簡得,比較同類項系數(shù)，得，.所以，方程（）的特解為=,其虛部即為所求原方程的特解.因此原方程通解為.小結(jié)在設(shè)微分方程的特解時，必須注意把特解設(shè)全.如：，那么，而不能設(shè).另外，微分方程的特解都是滿足一定初始條件的解，上面所求的特解一般不會滿足題設(shè)初始條件，因此需要從通解中找出一個滿足該初始條件的特解.用微分方程解決實際問題的方法例8已知某曲線經(jīng)過點，它的切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標(biāo)，求它的方程.解設(shè)所求曲線方程為，為其上任一點，則過點的曲線的切線方程為，由假設(shè)，當(dāng)時，從而上式成為.因此求曲線的問題，轉(zhuǎn)化為求解微分方程的定解問題，的特解.由公式，得=，代入得，故所求曲線方程為.例9一質(zhì)量為的質(zhì)點由靜止開始沉入液體，當(dāng)下沉?xí)r，液體的反作用力與下沉速度成正比，求此質(zhì)點的運動規(guī)律.解設(shè)質(zhì)點的運動規(guī)律為.由題意，有（為比例系數(shù)）方程變?yōu)?，齊次方程的特征方程為，，，.故原方程所對應(yīng)的齊次方程的通解為，因是特征單根，故可設(shè)，代入原方程，即得，故，所以原方程的通解,由初始條件得，，因此質(zhì)點的運動規(guī)律為.小結(jié)用微分方程解決實際問題，包括建立微分方程，確定初始條件和求解方程這幾個主