數(shù)學歸納法典型例題課件

數(shù)學歸納法是用來證明某些與

有關(guān)的數(shù)學命題的一種方法．基本步驟：①證明：當

時，命題成立；②假設

時命題成立，證明：當

時，命題成立．根據(jù)①②可以斷定命題對一切正整數(shù)n≥n0

數(shù)學歸納法部分1．數(shù)學歸納法2．數(shù)學歸納法證明步驟n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋1數(shù)學歸納法是用來證明某些與有關(guān)1.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學歸納法是一種證明方法．歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學歸納法的作用是證明猜想．“觀察——猜想——證明”是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑．1.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學歸納法是一種證明方法．歸精品資料精品資料你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點的難點，你是否會認為老師的教學方法需要改進？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學問無顏見爹娘……”“太陽當空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”數(shù)學歸納法典型例題課件利用數(shù)學歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等等，所涉及的題型主要有以下幾個方面：(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和；(2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題，求使命題成立的參數(shù)的值或范圍；(3)猜想并證明對正整數(shù)n都成立的一般性命題．2.數(shù)學歸納法的主要應用利用數(shù)學歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題．(2)在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可．3．應用數(shù)學歸納法的注意事項(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題．3．應用【例1】用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋

1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．

．題型一恒等式問題【例1】用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋

(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，當n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N＋都成立．證明(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1

用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時，等式兩邊會增加多少項．難點在于尋找n＝k時和n＝k＋1時的等式的聯(lián)系． 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于“先看【例2】幾個半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，求證這些半圓被所有的交點最多分成的圓弧段數(shù)為f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．題型二幾何問題【例2】幾個半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個半圓每兩個

用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實在分析不出來的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧．用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”

題型三不等式問題題型三不等式問題【例4】

(12分)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，

bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論． 歸納——猜想——證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律．題型四“歸納、猜想、證明”問題審題指導【例4】(12分)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，【題后反思】對于已知遞推公式求通項公式，可以把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的知識來解決，當用上述方法不能解決問題時，常用歸納、猜想和證明的方法來解決問題，用該法要求計算準確，歸納、猜想正確．然后用數(shù)學歸納法證明猜想對任何自然數(shù)都成立．【題后反思】對于已知遞推公式求通項公式，可以把遞推公式變形【訓練4】設數(shù)列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)當a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；

(2)當a1≥3時，證明對所有的n≥1，有an≥n＋2.(3)在（2）的前提下，證明：【訓練4】設數(shù)列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，(2)證明①當n＝1時，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假設當n＝k(k≥1)時不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1時，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知，對n≥1，都有an≥n＋2.（3）證明（略）學生證自己證(2)證明①當n＝1時，a1≥3＝1＋2，不等式成立．【示例】當n為正奇數(shù)時，7n＋1能否被8整除？若能，用數(shù)學歸納法證明；若不能，請舉出反例．

[錯解](1)當n＝1時，7＋1＝8能被8整除．命題成立．

(2)假設當n＝k時命題成立，即7k＋1能被8整除．則當n＝k＋1

時，7k＋1＋1＝7(7k＋1)－6不能被8整除．由(1)和(2)知，n為正奇數(shù)時，7n＋1不能被8整除．題型五整除問題【示例】當n為正奇數(shù)時，7n＋1能否被8整除？若能，用數(shù)學

不要機械套用數(shù)學歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是正奇數(shù)的條件．證明前要看準已知條件．[正解](1)當n＝1時，7＋1＝8能被8整除，命題成立；(2)假設當n＝k時命題成立，即7k＋1能被8整除，則當n＝k＋2時，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因為7k＋1能被8整除，且48能被8整除，所以7k＋2＋1能被8整除．所以當n＝k＋2時命題成立．由(1)和(2)知，當n為正奇數(shù)時，7k＋1能被8整除．不要機械套用數(shù)學歸納法中的兩個步驟，而忽略數(shù)學歸納法是用來證明某些與

有關(guān)的數(shù)學命題的一種方法．基本步驟：①證明：當

時，命題成立；②假設

時命題成立，證明：當

時，命題成立．根據(jù)①②可以斷定命題對一切正整數(shù)n≥n0

數(shù)學歸納法部分1．數(shù)學歸納法2．數(shù)學歸納法證明步驟n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋1數(shù)學歸納法是用來證明某些與有關(guān)1.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學歸納法是一種證明方法．歸納法幫助我們提出猜想，而數(shù)學歸納法的作用是證明猜想．“觀察——猜想——證明”是解答與正整數(shù)有關(guān)命題的有效途徑．1.說明：歸納法是一種推理方法，數(shù)學歸納法是一種證明方法．歸精品資料精品資料你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點的難點，你是否會認為老師的教學方法需要改進？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學問無顏見爹娘……”“太陽當空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”數(shù)學歸納法典型例題課件利用數(shù)學歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何問題、整除性問題等等，所涉及的題型主要有以下幾個方面：(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和；(2)由一些恒等式、不等式改編的探究性問題，求使命題成立的參數(shù)的值或范圍；(3)猜想并證明對正整數(shù)n都成立的一般性命題．2.數(shù)學歸納法的主要應用利用數(shù)學歸納法證明的命題范圍比較廣泛，可以涵蓋代數(shù)、三角恒等(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題．(2)在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可．3．應用數(shù)學歸納法的注意事項(1)用數(shù)學歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題．3．應用【例1】用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋

1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．

．題型一恒等式問題【例1】用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋

(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，當n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N＋都成立．證明(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1

用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由n＝k到n＝k＋1時，等式兩邊會增加多少項．難點在于尋找n＝k時和n＝k＋1時的等式的聯(lián)系． 用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式命題時，關(guān)鍵在于“先看【例2】幾個半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，求證這些半圓被所有的交點最多分成的圓弧段數(shù)為f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．題型二幾何問題【例2】幾個半圓的圓心在同一條直線l上，這幾個半圓每兩個

用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實在分析不出來的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何命題的一大技巧．用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”

題型三不等式問題題型三不等式問題【例4】

(12分)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，

bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論． 歸納——猜想——證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例中歸納性問題需要從特殊情況入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律．題型四“歸納、猜想、證明”問題審題指導【例4】(12分)在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，【題后反思】對于已知遞推公式求通項公式，可以把遞推公式變形轉(zhuǎn)化成我們熟悉的知識來解決，當用上述方法不能解決問題時，常用歸納、猜想和證明的方法來解決問題，用該法要求計算準確，歸納、猜想正確．然后用數(shù)學歸納法證明猜想對任何自然數(shù)都成立．【題后反思】對于已知遞推公式求通項公式，可以把遞推公式變形【訓練4】設數(shù)列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)當a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；

(2)當a1≥3時，證明對所有的n≥1，有an≥n＋2.(3)在（2）的前提下，證明：【訓練4】設數(shù)列{an}滿足an＋1＝an2－nan＋1，(2)證明①當n＝1時，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假設當n＝k(k≥1)時不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1時，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①