高數(shù)3-差分方程1課件

第5章差分方程第5章差分方程15.1.1差分

微分方程是自變量連續(xù)取值的問(wèn)題,但在很多實(shí)際問(wèn)題中,有些變量不是連續(xù)取值的.例如,經(jīng)濟(jì)變量收入、儲(chǔ)蓄等都是時(shí)間序列,自變量t取值為0,1,2,,數(shù)學(xué)上把這種變量稱為離散型變量.通常用差商來(lái)描述因變量對(duì)自變量的變化速度.5.1.1差分微分方程是自變量連續(xù)取值的問(wèn)題,21.差分的定義定義5.1.1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分；一、差分方程的基本概念1.差分的定義定義5.1.1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階3

稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱4依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分．依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分5性質(zhì)5.1.1當(dāng)

是常數(shù)，是函數(shù)時(shí)，有以下結(jié)論成立：性質(zhì)5.1.1當(dāng)是常數(shù)，是函數(shù)時(shí)，有以下結(jié)論成立：6例1求則解設(shè)例2設(shè)求解

例1求則解設(shè)例2設(shè)求解7有某種商品t

時(shí)期的供給量St與需求量Dt都是這一時(shí)期價(jià)格Pt的線性函數(shù)：5.1.2差分方程一個(gè)例子：設(shè)t時(shí)期的價(jià)格Pt由t–1時(shí)期的價(jià)格與供給量及需求量之差按如下關(guān)系確定.

（為常數(shù)），

即

這樣的方程就是差分方程.有某種商品t時(shí)期的供給8定義5.1.2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的方程就稱為差分方程.例如差分方程的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化.差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階.5.1.2差分方程定義5.1.2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的方程9是一個(gè)二階差分方程，如果將原方程的左邊寫(xiě)為則原方程還可化為例如，可以化為是一個(gè)二階差分方程，如果將原方程的左邊寫(xiě)為則原方程還可化為例10又如：可化為

定義5.1.3

如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊其中A為任意常數(shù).恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解.又如：可化為定義5.1.3如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后11我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，對(duì)差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件.滿足初始條件的解稱之為特解.如果差分方程中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解.其中A為任意常數(shù).我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，其中A12

(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時(shí)，稱方程

(4)則(3)稱為一階常系數(shù)非齊次線性一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中當(dāng)為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.若差分方程.一階常系數(shù)線性差分方程(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時(shí)，稱方程(4)則(3)稱133.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)

的差分方程稱為n階常系數(shù)線性差分方程，其中為常數(shù)，且為已知函數(shù).時(shí)，差分方程(1)稱為齊次的，對(duì)應(yīng)的齊次差分方程為(2)定義A形如(1)當(dāng)否則稱為非齊次的.當(dāng)時(shí)，與差分方程(1)3.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)的差分方程稱為n階常系14

定理A

設(shè)的k個(gè)特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中是n階常系數(shù)齊次線性差分方程為任意常數(shù).定理A設(shè)的k個(gè)特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中15的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理Bn階常系數(shù)齊次線性差分方程一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解．若是方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理B16

定理Cn階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個(gè)特解之和，它對(duì)應(yīng)的齊次方程即通解等于其中是它自己本身的一個(gè)特解.定理Cn階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個(gè)17以上三個(gè)定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程的通解結(jié)構(gòu),它們是求解線性差分方程非常重要的基礎(chǔ)知識(shí)．在本書(shū)中．我們只探討一階常系數(shù)線性差分方程的解法．以上三個(gè)定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程18(1)迭代法求解：一般地，對(duì)于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通常有如下兩種解法.5.2.1一階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解(1)迭代法求解：一般地，對(duì)于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通19(2)特征方程法求解：設(shè)化簡(jiǎn)得：即(2)特征方程法求解：設(shè)化簡(jiǎn)得：即20分別稱為方程和是方程(4)的解.

再由解的結(jié)構(gòu)及通解的定義知：

的特征方程和特征根.是齊次方程的通解.為任意常數(shù))故分別稱為方程和是方程(4)的解.再由解的結(jié)構(gòu)及通21例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常數(shù).解特征方程為例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常22的右端項(xiàng)為某些特殊形式的函數(shù)時(shí)的特解.考慮差分方程(c為任意常數(shù)),則差分方程為1)采用迭代法求解：有迭代公式給定初值5.2.2一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解的右端項(xiàng)為某些特殊形式的函數(shù)時(shí)的特解.考慮差分方程(c為任意23高數(shù)3-差分方程1課件242)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，2)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時(shí)，(225例5求差分方程的通解.解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例5求差分方程的通解.解對(duì)應(yīng)26設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是27即解得于是和即解得于是和28例6

求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例6求差分方程29例6’

求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例6’求差分方程30設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后比較兩端同次項(xiàng)系數(shù)確定系數(shù)設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后31例7求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：例7求差分方程32原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為33例7’求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：例7’求差分方程34原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為35設(shè)差分方程具有形如的特解.綜上所述，有如下結(jié)論：若設(shè)差分方程具有形如的特解.綜上所述，有如下結(jié)論：若36當(dāng)時(shí)，(*)式左端為次多項(xiàng)式，要使(*)式成立，則要求當(dāng)時(shí)，(*)式左端為次多項(xiàng)式，要使37故可設(shè)差分方程（8）具有形如的特解.前面三種情況都是差分方程（8）的特殊情形：當(dāng)時(shí)，取否則，取故可設(shè)差分方程（8）具有形如的特解.前面三種情況都是差分方程38例8求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程消去比較系數(shù)：得例8求差分方程39原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為40例9求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程消去，得比較系數(shù)：例9求差分方程41原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為42例10求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程消去比較系數(shù)：得例10求差分方程43原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為44例8（存款模型)為期存款總額，利率，按年復(fù)利計(jì)息，則與有如下關(guān)系式：這是關(guān)于的一個(gè)一階常系數(shù)齊次線性差分方程，其中為初始存款總額.為存款其通解為設(shè)三、差分方程在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用例8（存款模型)為期存款總額，利率，按年復(fù)利計(jì)息，則與有如下45

第5章差分方程第5章差分方程465.1.1差分

微分方程是自變量連續(xù)取值的問(wèn)題,但在很多實(shí)際問(wèn)題中,有些變量不是連續(xù)取值的.例如,經(jīng)濟(jì)變量收入、儲(chǔ)蓄等都是時(shí)間序列,自變量t取值為0,1,2,,數(shù)學(xué)上把這種變量稱為離散型變量.通常用差商來(lái)描述因變量對(duì)自變量的變化速度.5.1.1差分微分方程是自變量連續(xù)取值的問(wèn)題,471.差分的定義定義5.1.1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分；一、差分方程的基本概念1.差分的定義定義5.1.1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階48

稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱49依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分．依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分50性質(zhì)5.1.1當(dāng)

是常數(shù)，是函數(shù)時(shí)，有以下結(jié)論成立：性質(zhì)5.1.1當(dāng)是常數(shù)，是函數(shù)時(shí)，有以下結(jié)論成立：51例1求則解設(shè)例2設(shè)求解

例1求則解設(shè)例2設(shè)求解52有某種商品t

時(shí)期的供給量St與需求量Dt都是這一時(shí)期價(jià)格Pt的線性函數(shù)：5.1.2差分方程一個(gè)例子：設(shè)t時(shí)期的價(jià)格Pt由t–1時(shí)期的價(jià)格與供給量及需求量之差按如下關(guān)系確定.

（為常數(shù)），

即

這樣的方程就是差分方程.有某種商品t時(shí)期的供給53定義5.1.2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的方程就稱為差分方程.例如差分方程的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化.差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階.5.1.2差分方程定義5.1.2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的方程54是一個(gè)二階差分方程，如果將原方程的左邊寫(xiě)為則原方程還可化為例如，可以化為是一個(gè)二階差分方程，如果將原方程的左邊寫(xiě)為則原方程還可化為例55又如：可化為

定義5.1.3

如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊其中A為任意常數(shù).恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解.又如：可化為定義5.1.3如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后56我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，對(duì)差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件.滿足初始條件的解稱之為特解.如果差分方程中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解.其中A為任意常數(shù).我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，其中A57

(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時(shí)，稱方程

(4)則(3)稱為一階常系數(shù)非齊次線性一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中當(dāng)為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.若差分方程.一階常系數(shù)線性差分方程(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時(shí)，稱方程(4)則(3)稱583.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)

的差分方程稱為n階常系數(shù)線性差分方程，其中為常數(shù)，且為已知函數(shù).時(shí)，差分方程(1)稱為齊次的，對(duì)應(yīng)的齊次差分方程為(2)定義A形如(1)當(dāng)否則稱為非齊次的.當(dāng)時(shí)，與差分方程(1)3.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)的差分方程稱為n階常系59

定理A

設(shè)的k個(gè)特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中是n階常系數(shù)齊次線性差分方程為任意常數(shù).定理A設(shè)的k個(gè)特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中60的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理Bn階常系數(shù)齊次線性差分方程一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解．若是方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則方程的通解為其中為任意常數(shù)．定理B61

定理Cn階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個(gè)特解之和，它對(duì)應(yīng)的齊次方程即通解等于其中是它自己本身的一個(gè)特解.定理Cn階非齊次線性差分方程的通解與它自己本身的一個(gè)62以上三個(gè)定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程的通解結(jié)構(gòu),它們是求解線性差分方程非常重要的基礎(chǔ)知識(shí)．在本書(shū)中．我們只探討一階常系數(shù)線性差分方程的解法．以上三個(gè)定理揭示了n階齊次及非齊次線性差分方程63(1)迭代法求解：一般地，對(duì)于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通常有如下兩種解法.5.2.1一階常系數(shù)齊次線性差分方程的通解(1)迭代法求解：一般地，對(duì)于一階常系數(shù)齊次線性差分方程通64(2)特征方程法求解：設(shè)化簡(jiǎn)得：即(2)特征方程法求解：設(shè)化簡(jiǎn)得：即65分別稱為方程和是方程(4)的解.

再由解的結(jié)構(gòu)及通解的定義知：

的特征方程和特征根.是齊次方程的通解.為任意常數(shù))故分別稱為方程和是方程(4)的解.再由解的結(jié)構(gòu)及通66例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常數(shù).解特征方程為例4求的通解.從而特征根為于是原方程的通解為其中C為任意常67的右端項(xiàng)為某些特殊形式的函數(shù)時(shí)的特解.考慮差分方程(c為任意常數(shù)),則差分方程為1)采用迭代法求解：有迭代公式給定初值5.2.2一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解的右端項(xiàng)為某些特殊形式的函數(shù)時(shí)的特解.考慮差分方程(c為任意68高數(shù)3-差分方程1課件692)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，2)一般法求解：設(shè)差分方程的特解.具有形如(1)當(dāng)時(shí)，(270例5求差分方程的通解.解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例5求差分方程的通解.解對(duì)應(yīng)71設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是設(shè)差分方程(6)具有形如的特解。于是72即解得于是和即解得于是和73例6

求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例6求差分方程74例6’

求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為：代入方程，解得：故原差分方程通解為：例6’求差分方程75設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后比較兩端同次項(xiàng)系數(shù)確定系數(shù)設(shè)差分方程(7)具有形如的特解.將特解代入差分方程(7)后76例7求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：例7求差分方程77原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解為78例7’求差分方程

的通解。解對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為由于故可設(shè)其特解為代入方程，得比較系數(shù)：例7’求差分方程79原差分方程通解為解得故方程特解為原差分方程通解為解得故方程特解