最新高中必修五數(shù)學數(shù)列講義

PAGEPAGE17第二章數(shù)列第一節(jié)：數(shù)列及其通項公式一．數(shù)列的概念1．數(shù)列的定義：；2．表示法：；3．數(shù)列的分類：；4．通項公式：；5．遞推公式的概念：；注意：①數(shù)列與集合有本質的區(qū)別；②項與項數(shù)的區(qū)別；③與的區(qū)別；④不是每一個數(shù)列都有通項公式；⑤是n的函數(shù)。二．數(shù)列通項公式的求法1．根據(jù)數(shù)列的有限項，寫出數(shù)列的通項公式。練習1．數(shù)列{an}的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式〔1〕1，4，9，16，……；an=;〔2〕……；an=;〔3〕an=;〔4〕9，99，999，9999，……；an=;〔5〕7，77，777，7777，……；an=;〔6〕7，-77，777，-7777，……；an=;〔7〕0.5,0.55,0.555,0.5555,……；an=;〔8〕1．-1，1，-1，……；an=;〔9〕1，0，1，0，……；an=;〔10〕11，101，1001，10001，……；an=;〔11〕……；an=;〔12〕；an=;〔13〕，……；an=;2．數(shù)列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是〔〕A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，1233．數(shù)列1，1，2，3，5，8，……；的第7項是。4．數(shù)列中，，那么的前5項是。5.函數(shù)，設(1)求證：；〔2〕{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？2．數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式數(shù)列{an}的前n項和為，求數(shù)列{an}的通項公式；數(shù)列{an}的前n項和為，求數(shù)列{an}的通項公式。注意：1.用數(shù)列的前n項和求通項的公式是：；2.什么時候運用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性：。練習：(3)數(shù)列{an}的前n項和為,那么通項an=;〔4〕數(shù)列{an}的前n項和為,那么通項an=;〔5〕數(shù)列{an}的前n項和為,那么通項an=;〔6〕數(shù)列{an}的前n項和為,那么通項an=;注意：〔1〕公式表示的是數(shù)列的前n項和與通項之間的關系?！?〕要注意不要無視n=1的情形，這是大家易出錯的地方。3．用遞推公式求數(shù)列的通項公式〔1〕數(shù)列中，〕，那么它的前5項是。〔2〕數(shù)列中，那么?！?〕數(shù)列中，滿足，求數(shù)列{an}的通項公式；〔4〕數(shù)列中，滿足，求數(shù)列{an}的通項公式；〔5〕數(shù)列中，滿足，求數(shù)列{an}的通項公式；〔6〕數(shù)列中，滿足，求數(shù)列{an}的通項公式；第二節(jié)：等差數(shù)列一.1.定義：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列；這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。2.通項公式：或3.等差中項：成等差數(shù)列，A叫a,b的等差中項〔注：任意兩個數(shù)都有等差中項〕4.證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：一般用〔常數(shù)〕，而不用其它等價形式，假設確實無法證明，有時也可采用證明來完成。5.等差數(shù)列的性質：〔1〕，單增；，單減；，是常數(shù)列。〔2〕等差數(shù)列中任意連續(xù)的三項也成等差數(shù)列，反之亦然?！?〕一個數(shù)列是等差數(shù)列，那么通項公式可寫成〔，反之亦然。一個數(shù)列是等差數(shù)列，那么其前n項和可寫成〔，反之亦然。〔4〕數(shù)列是等差數(shù)列，假設m+n=p+q，那么〔5〕數(shù)列是等差數(shù)列，項數(shù)m,p,n成等差數(shù)列，那么也成等差數(shù)列。〔6〕數(shù)列是等差數(shù)列，那么仍成等差數(shù)列。二.等差數(shù)列的前n項和：或練習與應用：通項公式、前n項和公式的根本運算在等差數(shù)列{an}中，a5=10,a12=31,求首項a1與公差d.2.在等差數(shù)列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1=.3.在等差數(shù)列{an}中，a15=8,a20=20,那么a25=.4.在等差數(shù)列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a75.在等差數(shù)列{an}中，a15=8,a60=20,那么a75=.仍成等差數(shù)列6.在等差數(shù)列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn與通項an.假設m+n=p+q，那么6．在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,那么a2+a8=.7.a3,a15是方程x2-6x-1=0的兩個根，求a7+a8+a9+a10+a11=.8．在等差數(shù)列中，，那么該數(shù)列的前5項和為〔〕〔A〕10〔B〕16〔C〕20〔D〕329.在等差數(shù)列中，表示前項和，且，那么的值為〔〕〔A〕18〔B〕60〔C〕54〔D〕2710.等差數(shù)列{an}，，那么項數(shù)n為〔〕11．在等差數(shù)列{an}中，前4項的和為21，后4項的和為67，前n項的和為286，那么項數(shù)n=.12.在等差數(shù)列中，表示前項和，且，當取得最大值時的值為〔〕〔A〕6〔B〕7〔C〕12〔D〕不能確定13.假設是等差數(shù)列，首項，，，那么使前項和成立的最大自然數(shù)是〔〕〔A〕48〔B〕47〔C〕46〔D〕4514〔04年重慶卷.文理9〕假設數(shù)列是等差數(shù)列，首項，那么使前n項和成立的最大自然數(shù)n是：〔〕A4005B4006C4007D400815.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和為Sn，Tn，且,求.16.設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，假設，那么的值為〔〕A：B：2C：1D：-117．在等差數(shù)列{an}中，am=n,an=m,且m≠n,那么am+n=.18.等差數(shù)列，是其前n項和，對于不相等的正整數(shù)m,n，有，那么的值為.其奇數(shù)項和、偶數(shù)項和1、假設等差數(shù)列共有偶數(shù)項項〔奇數(shù)項、偶數(shù)項各項〕：即那么，〔中間一對〕2、假設等差數(shù)列共有奇數(shù)項項〔奇數(shù)項比偶數(shù)項多項〕：即那么〔為中間項〕，〔項數(shù)之比〕19..等差數(shù)列{an}共有2n-1項，所有奇數(shù)項的和為132，所有偶數(shù)項的和為120，那么n=.20.如果等差數(shù)列{an}共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，那么其公差為。21．如果等差數(shù)列{an}的項數(shù)是奇數(shù)，，{an}的奇數(shù)項的和是175，偶數(shù)項的和是150，求這個等差數(shù)列的公差d。的最值問題22.等差數(shù)列{an}中，an=2n-10,那么的最小值時n=.23.等差數(shù)列{an}中，an=2n-11,那么的最小值時n=.24．在等差數(shù)列{an}中,那么前n項和的最小值為〔〕A：-80B：-76C：-75D：-7425.等差數(shù)列，是其前n項和，且，那么以下結論錯誤的是〔〕〔A〕d<0〔B〕〔C〕〔D〕與均為的最大值.第三節(jié)：等比數(shù)列一。等比數(shù)列及其性質1。定義：〔略〕〔有既是等差又是等比的數(shù)列嗎？〕2。通項公式：；〔〕3。等比中項：a,G,b成等比數(shù)列，G叫a,b的等比中項。注：任意兩個實數(shù)都有等差中項，但不是任意兩個實數(shù)都有等比中項，只有兩個實數(shù)同號時才有等比中項，等差中項只有一個，但等比中項有兩個。4。證明數(shù)列是等比數(shù)列的根本方法：5。有關性質：〔1〕數(shù)列是等比數(shù)列，假設m+n=p+q，那么〔2〕正項等比數(shù)列的對數(shù)列是等差數(shù)列，等差數(shù)列的指數(shù)列是等比數(shù)列。〔3〕數(shù)列是等比數(shù)列，那么，，成等比數(shù)列嗎？〔4〕數(shù)列是等比數(shù)列，那么，，仍是等比數(shù)列。練習與應用：1。數(shù)列是等比數(shù)列，那么在①；②；③；④；⑤；⑥這6個數(shù)列中仍成等比數(shù)列的是。2。數(shù)列是等比數(shù)列，，求公比q。3。等差數(shù)列a,b,c三項的和為12，且a,b,c+2成等比數(shù)列，求a的值。4。數(shù)列是等比數(shù)列，，求5。數(shù)列是等比數(shù)列，，，，那么這個數(shù)列的項數(shù)為〔〕A3B4C5D66。等比數(shù)列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a7。等比數(shù)列{an},〔〕A：-4B：±4C：-2D：±28。等比數(shù)列{an}，，公比q為整數(shù)，那么。9.等比數(shù)列{an}中，那么〔〕A：90B：120C：15D：8010。等比數(shù)列{an}中，那么〔〕A：B：C：D：11。{an}是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，，那么=〔〕A：12B：10C：8D：12．數(shù)列{an}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，設，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。13。等比數(shù)列的，且，求的通項公式.14。各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設，那么；15．為等比數(shù)列，〔1〕，求〔2〕前項的和為前項之和，求二。等比數(shù)列的前n項和。1．等比數(shù)列{an}中，，，，求q和n。2．等比數(shù)列{an}中，，求和q。3．等比數(shù)列{an}中，，，那么=。4．等比數(shù)列{an}中，求q。5．求數(shù)列的前n項和。6．求的前n項和7．求，求前2k項的和。8．求的前n項和。9．等比數(shù)列{an},前n項和為48,前2n項和為60,前3n項的和為() A:183B:108C:75D:6310．{an}成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，那么該等比數(shù)列的公比為〔〕A：B：2C：D：11．{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，，假設，，那么〔〕A：B：C：D：或12．成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，那么的取值范圍是〔〕A：B：〔0，4〕C：D：13．一個項數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項的和是奇數(shù)項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，那么此等比數(shù)列的項數(shù)為〔〕A．12B．10C．8D．6第四節(jié)數(shù)列的綜合應用一、數(shù)列求和〔一〕．公式法求1，4，7，10，…，〔3n-2〕,…的前n項和。求數(shù)列，求前2k項的和.求〔二〕．分項求和1．求和〔1+2〕+〔3+4〕+…+〔2n-1+2n〕2．(x-2)+(x2-2)+…+〔xn-2〕3.4.求和5.6.〔三〕．裂項求和1.求和2.3..數(shù)列{an}成等比數(shù)列,各項都為正數(shù)，且q≠1,求證4.5.6．7.8.9．求〔四〕．錯位相減、其它1．2.3.4．求和5．1+2×3+3×7+…+n(2n-1)6.數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，，，求放縮及其他1．2．數(shù)列，……的前10項和為〔〕?！睞〕〔B〕11〔C〕11〔D〕113.求和4.求5.求值設，求:6.求證：7.8．二、用數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式〔前文已有〕三、用遞推公式求通項1．數(shù)列{an}，滿足，a1=2,an+1=an+2,求{an}的通項公式。2。數(shù)列{an}，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通項公式。3。數(shù)列{an}，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通項公式。數(shù)列{an}，滿足，a1=2,an+1=an+，求{an}的通項公式。點擊：但凡具有an+1=an+形式都可運用此法，其中表示可求和的數(shù)列。5．數(shù)列{an}，滿足，a1=2,an=3an-1,〔n≥2〕求{an}的通項公式。6．數(shù)列{an}，滿足，a1=1,求{an}的通項公式。7．數(shù)列{an}滿足，，求{an}的通項公式。規(guī)律：。8．數(shù)列{an}，滿足，a1=2,an+1=2an+1,求{an}的通項公式。9．數(shù)列{an}，滿足，a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通項公式。點擊：型通項公式可用此法。10*．，求{an}的通項公式。11*.數(shù)列{an}，求{an}的通項公式。12*.數(shù)列{an}，求{an}的通項公式。13*.，求{an}的通項公式。點擊：型通項公式可用此法。遞推公式的變形1．數(shù)列{an}，滿足，a1=,，求{an}的通項公式。2．數(shù)列{an}，滿足，a1=1,求{an}的通項公式。3．項為1的正項數(shù)列，，求數(shù)列的通項公式。四．與的相互轉化1．數(shù)列{an}滿足，，〔1〕問數(shù)列是否為等差數(shù)列。〔2〕求Sn和an.2．數(shù)列{an}滿足，，求數(shù)列{an}的通項公式。3．數(shù)列{an}，滿足，求通項an.4．數(shù)列{an}滿足，，當時，,求Sn和an.5．正數(shù)數(shù)列{an}，，求數(shù)列{an}的通項公式。6．〔05，山東〕數(shù)列{an}，，前n項和為，且，〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式?！?〕求幾個必須熟練掌握的綜合題目1.數(shù)列是等差數(shù)列，前項和為且；求數(shù)列的通項公式.〔2〕設數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前和.2.〔05濟南2?！硵?shù)列{an}的前n項和Sn是n的二次函數(shù)，且an.求Sn和an.3.數(shù)列{an}滿足，，求數(shù)列{an}的通項公式。4.數(shù)列數(shù)列{an}，滿足，當時，，求數(shù)列{an}的通項公式。5.設函數(shù)，數(shù)列{}中，，時，前n項和滿足求數(shù)列{}的通項公式；〔2〕設，求{bn}的前n項和。6.點列在直線上，且軸的交點，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.〔1〕求數(shù)列,的通項公式；〔2〕假設求7.在等比數(shù)列中，，公比q>0，設，且〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕假設，求數(shù)列的前n項和。8.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是前n項和，且，〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式。〔2〕令，求數(shù)列{bn}的前n項和。9.〔07天津文〕在數(shù)列中，，，．〔Ⅰ〕證明數(shù)列是等比數(shù)列；〔Ⅱ〕求數(shù)列的前項和；〔Ⅲ〕證明不等式，對任意皆成立．10．數(shù)列的