高等代數(shù)-高代課件

§6

對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形§7向量到子空間的距離─最小二乘法§8酉空間介紹小結(jié)與習(xí)題第九章歐氏空間§1

定義與基本性質(zhì)§2

標(biāo)準(zhǔn)正交基§3

同構(gòu)§4

正交變換§5

子空間§9.6

對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形一、實對稱矩陣的一些性質(zhì)二、對稱變換三、實對稱矩陣可正交相似于實對角矩陣四、實二次型的主軸問題一、實對稱矩陣的一些性質(zhì)

x

n

引理1

設(shè)A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數(shù)．證：設(shè)0

是A的任意一個特征值，則有非零向量

x1

x2

滿足A

0

.i其中xi

為x

的共軛復(fù)數(shù)，nx

x1

x2

,

令0又由A實對稱，有

A

A,

A

A,0

(

)

A

A

(

)

(

A

)

(

A)0

(

A

)

(

A

)

(

A

)0

(

)

0

12n

x1

x

x2

x

xn

x

0由于

是非零復(fù)向量，必有故0

0

.

0

R.等式，0

0

引理2設(shè)A是實對稱矩陣，在n維歐氏空間Rn

上定義一個線性變換

如下：有

(

)

A

,

Rn則對任意

,

Rn

,

(

),

,

(

),或

(

A

)

(

A

).1

2

n

0

0

,

1

,

...,

0

0

0

1

證：取Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，

1

0

任取則

在基

1

,

2

,...,

n

下的矩陣為A，即

(1

,

2

,...,

n

)

(1

,

2

,...,

n

)

A

x1

y1

x2

,

y2

Rn

,

x

y

n

n

X

(

AY

)即

x11

x2

2

...

xn

n

(1

,

2

,...,

n

)X

,

y11

y2

2

...

yn

n

(1

,

2

,...,

n

)Y

,于是

(

)

(1

,

2

,...,

n

)

X

(1

,

2

,...,

n

)

AX

,

(

)

(1

,

2

,...,

n

)Y

(1

,

2

,...,

n

)

AY

,又1

,

2

,...,

n是標(biāo)準(zhǔn)正交基，

X

AY

(

),

(

AX

)Y

(

X

A)Y

,

(

)即有

(

A

)

,

(

)

(

),

,

(

)

(

A

).

Y

,又注意到在Rn

中

X

,

,

V

,

(

),

,

(

),則稱

為對稱變換．二、對稱變換1．定義設(shè)

為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足2．基本性質(zhì)1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：①實對稱矩陣可確定一個對稱變換．事實上，設(shè)A

Rnn

,A

A,1

,

2

,...,

n

為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．

定義V的線性變換

：

(1

,...

n

)

(1

,...

n

)

A則

即為V的對稱變換．②對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實對稱矩陣．事實上，設(shè)

為n維歐氏空間V上的對稱變換，1

,

2

, ,

n

為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，

A

(aij為 在這組基下的矩陣，即

(1

,

2

,

,

n

)

(1

,

2

,

,

n

)

A或n

ani

ni

1,

2, ,

n

(

i

)

a1i1

a2i

2

aki

k

,k

1于是

na

,

(

),

i

j

ki

k j

k

1n

aki

(

k

,

j)k

1j

a

ji

(

ni

ji

,

a

a

ji

,

(

)

kj k

k

1nkj

i

ka

(

,

)k

1i

aij

(

aijij

ji

,i,

j

1,

2,

n,所以A為對稱矩陣．由即是對稱變換，有

(

i

),

j

i

,

(

j

)2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是它的不變子空間．對

W

,任取

W

,證明：設(shè)

是對稱變換，W為要證

(

)W

,的不變子空間．即證

(

)

W

.由W是子空間，有

(

)W

,

(

),

因此即

(

)

W

,

(

)

W

.故W

也為

的不變子空間．

,

分別是屬于

,

的特征向量．則三、實對稱矩陣的正交相似對角化正交基下的矩陣，1．(引理4)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的．證：設(shè)實對稱矩陣A為Rn上對稱變換

的在標(biāo)準(zhǔn)

,

是A的兩個不同特征值，由

(

)

A

,

(

)

A

,

(

),

,

(

)有(

,

)

(

,

),

(

,

)

(

,

).即又

,

(

,

)

0即

,

正交．２．(定理7)對A

Rnn

,A

A,總有正交矩陣T，使TAT

T

1

AT

diag(

,

,

,

).1

2

n證：設(shè)A為Rn上對稱變換

在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣．由實對稱矩陣和對稱變換互相確定的關(guān)系，只需證

有n個特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可．對Rn

的維數(shù)n用歸納法．n=1時，結(jié)論是顯然的．假設(shè)n－1時結(jié)論成立，對

Rn

,設(shè)其上的對稱變換有一單位特征向量1

，其相應(yīng)的特征值為1

，即

(1

)

11

, |

1

|

1設(shè)子空間L(1

)

W

,顯然W是子空間，則W

也是

子空間，且有W

W

Rn

, dimW

n

1又對

,

W

,

(

),

(

),

,

(

)

,

(

)W

W所以

是

W

上的對稱變換．W由歸納假設(shè)知

有n－1

個特征向量

,

,W

2

3,n構(gòu)成W

的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．從而1

,2

,3

,,n

就是

R

的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，n又都是Rn

的特征向量．即結(jié)論成立．3．實對稱矩陣正交相似實對角矩陣步驟設(shè)A

Rnn

,

A

A(i)求出A的所有不同的特征值：1

,2

,,r

R,其重數(shù)n1

,n2

,ri

1,

nr必滿足ni

n

;(ii)

對每個i

，解齊次線性方程組(i

E

A)X

0求出它的一個基礎(chǔ)解系：i1

,i

2

,,in它是A的屬于特征值i

的特征子空間

V

的一組基．i把它們按S正交基i1

,i

2

,idt

正交化過程化成V

的一組標(biāo)準(zhǔn)i,in

.(iii)因為1

,2

,...r且rdimWi1,r1

,r

2

,

,rnri1

11

,12

, ,1n

,就是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．

V

(i

j)j互不相同，所以Vi

n

,1

r,rn將

11

,12

, ,1n

, ,r1

,r

2

,的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，則T是正交矩陣，且使T

AT

T

1

AT

為對角形．例1．設(shè)A

1

0

1

1

10

1

1

1

1

0

1

1

1

10

求一正交矩陣T使TAT

成對角形．解：先求A的特征值．|

E

A

|

1

1

1

1

11

1

11

1

1

1

1 1

2

10

10

1

1

(

1)3

(

3)A的特征值為1

1（三重）,2

3.01

0

10

0

1

1

1

1

1

1

(

1)3

1

0

10

1

1其次求屬于1

1

的特征向量，即求解方程組(

E

AE

A

1得其基礎(chǔ)解1

(1,1,0,0)2

(1,0,1,0)3

(1,0,0,1)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

11

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

把它正交化，得1

1

(1,1,0,0

2

2

3再單位化，得1112

2|

|

(

1

,

1

,0,0)222116

6

6|

|

(

1

,

1

,

2

,0)33311

1

1

312

12

12

12|

|1這是特征值

1

1

(三重)的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間V

的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．

(

,

,

,

)再求屬于2

3

的特征向量，即解方程組A1

01

0

0

2

2

0

0

2

0

23E

4

1

10

1

0

0

0

1

0

0

0得其基礎(chǔ)解4

(1,

1,

1,1再單位化得42

2

(

1

,

1

,

這樣1

,2

,3

,4

構(gòu)成R4

的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是A的特征向量，正交矩陣T

(1

,使得11

.

1T

AT

3

注：①

對于實對稱矩陣A，使

TAT

diag(1

,2

,

,n

)成立的正交矩陣不是唯一的．而且對于正交矩陣T,還可進(jìn)一步要求T

1.事實上，如果由上述方法求得的正交矩陣TT

AT

diag(1

,2

,

,n

),

T

1取正交矩陣S

diag(1,1,

,1),則T1

T是S正交矩陣且T1

T

S

1,同時有T

'

AT

(TS

)

A(TS

)

S(TAT

)S1

112

1

1

1

1

1

1

n

diag(1

,2

,

,n

)②如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的．③因為正交相似的矩陣也是互相合同的，所以可用實對稱矩陣的特征值的性質(zhì)刻畫其正定性：設(shè)1

2

n

為實對稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的

n0A為半正定的

n

0A為負(fù)定（半負(fù)定）的

1

0(1

0)(iv)A為不定的

10

且n

0④實對稱矩陣A的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特特征值的個數(shù)（重根按重數(shù)計）．n－秩(A)是0為A的特征值的重數(shù).四、實二次型的主軸問題解析幾何中主軸問題將R2上有心二次曲線或R3上有心二次曲面通過坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，這個變換的矩陣是正交矩陣.任意n

二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形1）正交線性替換如果線性替換

X=CY的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.f

(

x1

,

x2

,i

1

j1ij

ji

,i,j,

xn

)

ij

xi

x

j

,2）任一n二次型n

n都可以通過正交的線性替換

X

CY

變成平方和

y

2

y

2

...

y

n1

1

2

2

n

n其中平方項的系數(shù)

1

,2

,

,n

為A的全部特征值．例2、在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是23a

x2

a

y2

a

z2

2a xy

2a xz

2a

yz11

22

33

12

132b1

x

2b2

y

2b3

z

d

0（1）（2）則（1）式可以寫成X

'

AX

2B'

X

d

0.令

x

,aA

aaX

y